ค่าที่เพิ่มค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน

ฉันสับสนโดยคำสั่งต่อไปนี้:

"เพื่อเพิ่มค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของชุดตัวเลขคุณต้องเพิ่มค่าที่มากกว่าหนึ่งค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานจากค่าเฉลี่ย"

อะไรคือสิ่งที่พิสูจน์ว่า? ฉันรู้แน่นอนว่าเรากำหนดค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน แต่ส่วนที่ฉันดูเหมือนจะพลาดอย่างใด มีคำแนะนำอะไรมั้ย?

สำหรับตัวเลขใด ๆ มีค่าเฉลี่ย ความแปรปรวนจะได้รับโดย การใช้ไปยังชุดตัวเลขกำหนด ซึ่งเราใช้เพื่อความสะดวกในการแสดงนิทรรศการที่มีค่าเฉลี่ยเรามีสิ่งนั้น y 1 , y 2 , … , y N ˉ y = $N$$y_1,y_2, \ldots, y_N$ σ $\displaystyle \bar{y} = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^N y_i$(1)nx1,x2,…xnˉx=0σ2=

$$\begin{align} \sigma^2 &= \frac{1}{N-1}\sum_{i=1}^N (y_i-\bar{y})^2\\ &= \frac{1}{N-1}\sum_{i=1}^N \left(y_i^2 - 2y_i\bar{y} + \bar{y}^2\right)\\ &= \frac{1}{N-1}\left[\left(\sum_{i=1}^Ny_i^2\right) - 2N(\bar{y})^2 + N(\bar{y})^2 \right] \\ \sigma^2 &=\frac{1}{N-1}\sum_{i=1}^N \left(y_i^2 - (\bar{y})^2\right) \tag{1} \end{align}$$ $(1)$$n$$x_1, x_2, \ldots x_n$$\bar{x} = 0$ $$\sigma^2 = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n \left(x_i^2-(\bar{x})^2\right) = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n x_i^2$$ หากเราเพิ่มการสังเกตใหม่ในชุดข้อมูลนี้ดังนั้นค่าเฉลี่ยใหม่ของชุดข้อมูลคือ ในขณะที่ความแปรปรวนใหม่คือ Soจะต้องมีขนาดใหญ่กว่า$x_{n+1}$ $$\frac{1}{n+1}\sum_{i=1}^{n+1}x_i = \frac{n\bar{x} + x_{n+1}}{n+1} = \frac{x_{n+1}}{n+1}$$ $$\begin{align} \hat{\sigma}^2 &= \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n+1} \left(x_i^2-\frac{x_{n+1}^2}{(n+1)^2}\right)\\ &= \frac{1}{n}\left[\left((n-1)\sigma^2 + x_{n+1}^2\right) - \frac{x_{n+1}^2}{n+1}\right]\\ &= \left.\left.\frac{1}{n}\right[(n-1)\sigma^2 + \frac{n}{n+1}x_{n+1}^2\right]\\ &> \sigma^2 ~ \text{only if}~ x_{n+1}^2 > \frac{n+1}{n}\sigma^2. \end{align}$$ $|x_{n+1}|$$\displaystyle\sigma\sqrt{1+\frac{1}{n}}$ หรือโดยทั่วไปแล้วจำเป็นต้องแตกต่างจากค่าเฉลี่ยของชุดข้อมูลดั้งเดิมที่มากกว่าเพื่อให้ชุดข้อมูลเพิ่มเติมมีความแปรปรวนมากกว่าชุดข้อมูลดั้งเดิม เห็นด้วยคำตอบของ Ray Koopman ซึ่งชี้ให้เห็นว่าความแปรปรวนใหม่มีขนาดใหญ่กว่าเท่ากับหรือเล็กกว่าความแปรปรวนดั้งเดิมตาม แตกต่างจากค่าเฉลี่ยมากกว่าหรือน้อยกว่า{n}}$x_{n+1}$$\bar{x}$$\displaystyle\sigma\sqrt{1+\frac{1}{n}}$$x_{n+1}$$\displaystyle\sigma\sqrt{1+\frac{1}{n}}$

ข้อความทำให้งงนั้นให้เงื่อนไขที่จำเป็น แต่ไม่เพียงพอสำหรับค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานที่จะเพิ่มขึ้น หากขนาดตัวอย่างเก่าคือค่าเฉลี่ยเดิมคือส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเก่าคือและเพิ่มจุดใหม่ลงในข้อมูลดังนั้นค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานใหม่จะน้อยกว่าเท่ากับหรือมากกว่าตาม เป็นน้อยกว่าเท่ากับหรือมากกว่าn}$n$$m$$s$$x$$s$$|x-m|$$s\sqrt{1+1/n}$

ทิ้งพีชคณิต (ซึ่งใช้งานได้) คิดแบบนี้: ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานคือสแควร์รูทของความแปรปรวน ความแปรปรวนคือค่าเฉลี่ยของระยะกำลังสองจากค่าเฉลี่ย หากเราเพิ่มค่าที่ใกล้เคียงกับค่าเฉลี่ยมากกว่านี้ความแปรปรวนจะลดลง หากเราเพิ่มค่าที่อยู่ห่างจากค่าเฉลี่ยมากกว่านี้มันจะเติบโต

สิ่งนี้เป็นจริงของค่าเฉลี่ยใด ๆ ที่ไม่ใช่ค่าลบ หากคุณเพิ่มค่าที่สูงกว่าค่าเฉลี่ยค่าเฉลี่ยจะเพิ่มขึ้น ถ้าคุณเพิ่มค่าที่น้อยกว่ามันจะลดลง

ฉันจะให้คุณเริ่มต้นกับพีชคณิต แต่จะไม่ทำอย่างนั้น ขั้นแรกให้สร้างมาตรฐานข้อมูลของคุณโดยการลบค่าเฉลี่ยและหารด้วยค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน:โปรดทราบว่าถ้าอยู่ในค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานหนึ่งค่าเฉลี่ยของคือระหว่าง -1 ถึง 1 Z จะเป็น 1 ถ้าอยู่ห่างจากค่าเฉลี่ยเพียงหนึ่ง sd จากนั้นดูที่สมการของคุณสำหรับค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน:เกิดอะไรขึ้นกับถ้าอยู่ระหว่าง -1 และ 1? xZxσ=

$$Z = \frac{x-\mu}{\sigma} .$$ $x$$Z$$x$ σZ $$\sigma = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{N}Z_i^2}{N-1}}$$ $\sigma$$Z_N$