เกี่ยวกับความเป็นอิสระตามเงื่อนไขและการแสดงกราฟิก

เมื่อศึกษาการเลือกความแปรปรวนร่วมฉันเคยอ่านตัวอย่างต่อไปนี้ ด้วยความเคารพต่อรูปแบบดังต่อไปนี้:

เมทริกซ์ความแปรปรวนร่วมและเมทริกซ์ความแปรปรวนร่วมผกผันมีดังต่อไปนี้

ฉันไม่เข้าใจว่าทำไมความอิสระของและจึงถูกตัดสินโดยความแปรปรวนร่วมที่นี่?$x$$y$

ตรรกะทางคณิตศาสตร์ที่เป็นรากฐานของความสัมพันธ์นี้คืออะไร?

นอกจากนี้กราฟด้านซ้ายในรูปต่อไปนี้อ้างว่าสามารถจับความสัมพันธ์ที่เป็นอิสระระหว่างและ ; ทำไม?$x$$y$

เมทริกซ์ความแปรปรวนร่วมแบบผกผันสามารถใช้เพื่อหาผลต่างความแปรปรวนแบบมีเงื่อนไขและความแปรปรวนร่วมสำหรับการแจกแจงแบบเกาส์หลายตัวแปร คำถามก่อนหน้านี้ให้การอ้างอิงบางอย่าง

ตัวอย่างเช่นการค้นหาความแปรปรวนร่วมแบบมีเงื่อนไขของและให้ค่าคุณจะได้มุมล่างขวาของเมทริกซ์ความแปรปรวนร่วมผกผันZ X = $Y$$Z$$X=x$

$$\left( \begin{array}{rr} 1 & -1 \\ -1 & 3 \end{array} \right) \text{ and re-invert it to }\left( \begin{array}{rr} \tfrac32 & \tfrac12 \\ \tfrac12 & \tfrac12 \end{array} \right)$$

ซึ่งไม่แน่นอนให้เมทริกซ์ความแปรปรวนของและปรับอากาศในค่าสำหรับ xZ X = $Y$$Z$$X=x$

ดังนั้นในทำนองเดียวกันเพื่อหาเมทริกซ์ความแปรปรวนร่วมแบบมีเงื่อนไขของและให้ค่าสำหรับคุณจะใช้มุมซ้ายบนของเมทริกซ์ความแปรปรวนร่วมแบบผกผันY Z = $X$$Y$$Z=z$

$$\left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right) \text{ and re-invert it to }\left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right)$$

บอกคุณว่าความแปรปรวนแบบมีเงื่อนไขระหว่างและได้รับคือ (และความแปรปรวนแบบมีเงื่อนไขแต่ละครั้งของพวกเขาคือ ) Y Z = z 0 $X$$Y$$Z=z$$0$$1$

เพื่อสรุปว่าการแปรปรวนแบบมีเงื่อนไขเป็นศูนย์นี้แสดงถึงความเป็นอิสระแบบมีเงื่อนไขคุณยังต้องใช้ความจริงที่ว่านี่คือ Gaussian หลายตัวแปร (เช่นเดียวกับความแปรปรวนร่วมศูนย์ทั่วไปโดยทั่วไปไม่จำเป็น คุณรู้เรื่องนี้จากการก่อสร้าง

เนื้อหาที่คุณรู้เกี่ยวกับความเป็นอิสระตามเงื่อนไขจากการก่อสร้างเนื่องจากคุณได้รับการบอกว่าและเป็น iid ดังนั้นเงื่อนไขบนค่าเฉพาะสำหรับ ,และเป็น iid ด้วย . ถ้าคุณรู้ว่าไม่มีข้อมูลเพิ่มเติมจากที่ช่วยให้คุณพูดอะไรเกี่ยวกับค่าที่เป็นไปของYϵ 2 Z = z X = z + ϵ 1 Y = z $\epsilon_1$$\epsilon_2$$Z=z$$X=z+\epsilon_1$ Z = z X $Y=z+\epsilon_2$$Z=z$$X$$Y$

นี่คือส่วนเสริมของคำตอบที่ถูกต้องและเป็นที่ยอมรับ โดยเฉพาะอย่างยิ่งคำถามดั้งเดิมประกอบด้วยคำถามที่ตามมาเกี่ยวกับคำแถลงที่หนังสือทำ

นอกจากนี้กราฟด้านซ้ายในรูปต่อไปนี้อ้างว่าสามารถจับความสัมพันธ์ที่เป็นอิสระระหว่างและได้ทำไม? $X$$Y$

นี่คือสิ่งที่ระบุไว้ในคำตอบนี้และเป็นสิ่งเดียวที่แก้ไขในคำตอบนี้

เพื่อให้แน่ใจว่าเราอยู่ในหน้าเดียวกันในสิ่งต่อไปนี้ฉันใช้คำจำกัดความของกราฟความเป็นอิสระ (ไม่ระบุทิศทาง) ตามเงื่อนไขซึ่งสอดคล้อง (อย่างน้อยคร่าวๆ) กับเขตข้อมูลสุ่มของมาร์คอฟ:

คำที่เกี่ยวข้อง:กราฟอิสระตามเงื่อนไขของคือไม่มีทิศทางกราฟที่และคือไม่ได้อยู่ในชุดขอบและถ้าหาก\}} (โดยที่ หมายถึงเวกเตอร์ของตัวแปรสุ่มทั้งหมดยกเว้นและ .)$X$$G=(K,E)$$K=\{ 1, 2, \dots, k \}$$(i,j)$ X K ∖ { i , j } X i X $X_i \perp \! \! \! \perp X_j | X_{K \setminus \{i,j\}}$$X_{K \setminus \{i,j\}}$$X_i$$X_j$

จากหน้า 60 ของ Whittaker แบบกราฟิกในสถิติประยุกต์หลายตัวแปรทางสถิติ (1990)

ที่นี่การใช้อาร์กิวเมนต์ที่เฮนรี่ได้ให้ไว้ในคำตอบที่ถูกต้องและเป็นที่ยอมรับเราสามารถพิสูจน์ได้ว่าและนั้นมีความเป็นอิสระตามเงื่อนไขที่กำหนดจากในรูปแบบ .Y Z X $X$$Y$$Z$$X \perp \! \! \perp Y \ | Z$

เนื่องจากตัวแปรสุ่มเพียงสามตัวเท่านั้นคือและนี่หมายความว่าและนั้นมีความเป็นอิสระตามเงื่อนไขเมื่อได้รับตัวแปรสุ่มอื่น ๆ ที่เหลือทั้งหมด (ในกรณีนี้คือ )Z X Y $X, Y$$Z$$X$$Y$$Z$

ใช้คำนิยามของกราฟเป็นอิสระตามเงื่อนไขดังกล่าวข้างต้นนี้หมายถึงที่ขอบทั้งหมดในกราฟควรจะรวมยกเว้นขอบระหว่างและYอันที่จริงนี่คือสิ่งที่ปรากฏบนกราฟด้านขวาของภาพนั้น$X$$Y$

เกี่ยวกับกราฟด้านซ้ายมันไม่ชัดเจนโดยไม่มีบริบทมากขึ้น แต่ฉันคิดว่าแนวคิดนี้เป็นเพียงการแสดงให้เห็นว่ากราฟความเป็นอิสระตามเงื่อนไขจะมีลักษณะเป็นอย่างไรถ้าเราไม่มีเลขศูนย์ในรายการของเมทริกซ์ความแปรปรวนร่วมแบบผกผัน

โดยเฉพาะอย่างยิ่งเมื่อใช้คำจำกัดความข้างต้นเราจะเห็นว่าเราสามารถเริ่มต้นด้วยกราฟที่สมบูรณ์บนโหนดซึ่งเป็นกราฟด้านซ้ายในภาพนั้นและได้รับกราฟความเป็นอิสระตามเงื่อนไขจากกราฟแรกโดยการลบทั้งหมด ขอบที่สอดคล้องกับตัวแปรสุ่มแบบมีเงื่อนไข ภาพเปรียบเทียบกราฟสองกราฟอย่างชัดเจน ("กับ") ซึ่งสำหรับฉันแนะนำการเปรียบเทียบระหว่างกราฟที่สมบูรณ์ที่หนึ่งอาจเริ่มต้นด้วยและกราฟความเป็นอิสระตามเงื่อนไขที่หนึ่งจบลงด้วย if / เมื่อใช้นิยามของกราฟความเป็นอิสระตามเงื่อนไขตามที่กำหนด ข้างบน.$X, Y, Z$