ความสัมพันธ์ถือว่ามีความคงที่ของข้อมูลหรือไม่?

การวิเคราะห์ระหว่างตลาดเป็นวิธีการสร้างแบบจำลองพฤติกรรมของตลาดโดยใช้วิธีการค้นหาความสัมพันธ์ระหว่างตลาดที่แตกต่างกัน บ่อยครั้งที่ความสัมพันธ์ถูกคำนวณระหว่างสองตลาดพูดว่า S&P 500 และสมบัติ 30 ปีของสหรัฐฯ การคำนวณเหล่านี้มักจะไม่ได้ขึ้นอยู่กับข้อมูลราคาซึ่งเห็นได้ชัดสำหรับทุกคนว่ามันไม่เหมาะกับคำจำกัดความของอนุกรมเวลาคงที่

วิธีแก้ปัญหาที่เป็นไปได้ (ใช้การส่งคืนแทน) การคำนวณความสัมพันธ์ซึ่งข้อมูลไม่อยู่นิ่งแม้จะคำนวณทางสถิติที่ถูกต้องหรือไม่

คุณจะบอกว่าการคำนวณสหสัมพันธ์นั้นค่อนข้างไม่น่าเชื่อถือหรือไร้สาระธรรมดา ๆ ?

correlation stationarity

— Milktrader
แหล่งที่มา

คุณหมายถึงอะไรโดย "การคำนวณทางสถิติที่ถูกต้อง" คุณควรพูดการคำนวณทางสถิติ (การประมาณค่า) ที่ถูกต้องของบางสิ่ง นี่คือบางสิ่งที่สำคัญมาก ความสัมพันธ์คือการคำนวณที่ถูกต้องของความสัมพันธ์เชิงเส้นระหว่างชุดข้อมูลสองชุด ฉันไม่เห็นว่าทำไมคุณต้องมีความนิ่งคุณหมายถึงความสัมพันธ์อัตโนมัติหรือไม่?

— robin girard

มีเว็บไซต์ใหม่ซึ่งอาจจะเป็นมากขึ้นเหมาะสำหรับคำถามของคุณ: quant.stackexchange.com ตอนนี้คุณกำลังสับสนกับการตีความอย่างชัดเจน

— mpiktas

@mpiktas ชุมชน quant ได้รับการตัดสินโดยใช้ผลตอบแทนเทียบกับราคาเนื่องจากความคงที่ของผลตอบแทนและความไม่แน่นอนของราคา ฉันขออะไรมากกว่าคำอธิบายง่ายๆว่าทำไมถึงเป็นเช่นนั้น

— Milktrader

@robin มีหลายสิ่งที่ทำให้คุณต้องถามวิเคราะห์ทางสถิติ ขนาดของกลุ่มตัวอย่างคำนึงถึงสิ่งต่างๆเช่นข้อมูลที่ถูกจัดการ การไม่เรียกข้อมูลที่ไม่ชัดเจนทำให้เกิดการคำนวณสหสัมพันธ์หรือไม่?

— Milktrader

ไม่ใช่การคำนวณบางทีการตีความหากความสัมพันธ์ไม่สูง ถ้ามันสูงหมายถึงสหสัมพันธ์สูง (เช่นความสัมพันธ์เชิงเส้นสูง) อนุกรมเวลาที่ไม่ใช่ stationnary พูดและอาจมีความสัมพันธ์สูง (ตัวอย่างเช่นเมื่อ .

(X_{t})

$(X_t)$

(Y_{t})

$(Y_t)$

X_{t} = Y_{t}

$X_t=Y_t$

— robin girard

คำตอบ:

ความสัมพันธ์วัดความสัมพันธ์เชิงเส้น ความสัมพันธ์ในบริบทที่ไม่เป็นทางการหมายถึงสิ่งที่มีเสถียรภาพ เมื่อเราคำนวณความสัมพันธ์ตัวอย่างสำหรับตัวแปรนิ่งและเพิ่มจำนวนจุดข้อมูลที่มีความสัมพันธ์ตัวอย่างนี้มีแนวโน้มที่จะมีความสัมพันธ์ที่แท้จริง

มันสามารถแสดงให้เห็นว่าสำหรับราคาซึ่งมักจะเป็นเดินสุ่มความสัมพันธ์ตัวอย่างมีแนวโน้มที่จะตัวแปรสุ่ม ซึ่งหมายความว่าไม่ว่าเราจะมีข้อมูลเท่าใดก็ตามผลลัพธ์จะแตกต่างกันเสมอ

หมายเหตุฉันพยายามแสดงสัญชาตญาณทางคณิตศาสตร์โดยไม่ใช้คณิตศาสตร์ จากมุมมองทางคณิตศาสตร์คำอธิบายนั้นชัดเจนมาก: ช่วงเวลาตัวอย่างของกระบวนการคงที่มาบรรจบกันในความน่าจะเป็นกับค่าคงที่ ช่วงเวลาตัวอย่างของการเดินแบบสุ่มมาบรรจบกับอินทิกรัลของการเคลื่อนไหวบราวน์ซึ่งเป็นตัวแปรสุ่ม เนื่องจากความสัมพันธ์มักแสดงเป็นตัวเลขและไม่ใช่ตัวแปรสุ่มเหตุผลในการไม่คำนวณความสัมพันธ์ของตัวแปรที่ไม่อยู่นิ่งจะเห็นได้ชัด

ปรับปรุงเนื่องจากเรามีความสนใจในความสัมพันธ์ระหว่างสองตัวแปรถือว่าเป็นครั้งแรกที่พวกเขามาจากกระบวนการนิ่งY_t) stationarity หมายความว่าและไม่ขึ้นอยู่กับทีดังนั้นความสัมพันธ์ $Z_t=(X_t,Y_t)$ $EZ_t$ $cov(Z_t,Z_{t-h})$ $t$

c o r r (X_{t}, Y_{t}) = \frac{c o v (X_{t}, Y_{t})}{\sqrt{D X_{t} D Y_{t}}}

$corr(X_t,Y_t)=\frac{cov(X_t,Y_t)}{\sqrt{DX_tDY_t}}$

ยังไม่ได้ขึ้นอยู่กับเนื่องจากปริมาณทั้งหมดในสูตรมาจากเมทริกซ์ซึ่งไม่ได้ขึ้นอยู่กับทีดังนั้นการคำนวณความสัมพันธ์ตัวอย่าง $t$ $cov(Z_t)$ $t$

\hat{ρ} = \frac{\frac{1}{T} \sum_{t = 1}^{T} (X_{t} - \bar{X}) (Y_{t} - \bar{Y})}{\sqrt{\frac{1}{T^{2}} \sum_{t = 1}^{T} (X_{t} - \bar{X})^{2} \sum_{t = 1}^{T} (Y_{t} - \bar{Y})^{2}}}

$\hat{\rho}=\frac{\frac{1}{T}\sum_{t=1}^T(X_t-\bar{X})(Y_t-\bar{Y})}{\sqrt{\frac{1}{T^2}\sum_{t=1}^T(X_t-\bar{X})^2\sum_{t=1}^T(Y_t-\bar{Y})^2}}$ ทำให้รู้สึกตั้งแต่เราอาจจะมีความหวังที่เหมาะสมที่ความสัมพันธ์ของกลุ่มตัวอย่างจะประมาณการY_t) มันกลับกลายเป็นว่าความหวังนี้ไม่ได้ไม่มีมูลความจริงเพราะสำหรับกระบวนการคงที่ที่ตอบสนองเงื่อนไขบางอย่างเรามี , เป็นในความน่าจะเป็น นอกจากในการจัดจำหน่ายเพื่อให้เราสามารถทดสอบสมมติฐานเกี่ยวกับ\

ρ = c o r r (X_{t}, Y_{t})

$\rho=corr(X_t,Y_t)$

\hat{ρ} \to ρ

$\hat{\rho}\to\rho$

T \to \infty

$T\to\infty$

\sqrt{T} (\hat{ρ} - ρ) \to N (0, σ_{ρ}^{2})

$\sqrt{T}(\hat{\rho}-\rho)\to N(0,\sigma_{\rho}^2)$

ρ

$\rho$

ตอนนี้สมมติว่าไม่หยุดนิ่ง จากนั้นอาจขึ้นอยู่กับทีดังนั้นเมื่อเราสังเกตตัวอย่างขนาดเราจำเป็นที่จะประเมิน potentialyความสัมพันธ์ที่แตกต่างกัน\นี่เป็นไปไม่ได้แน่นอนดังนั้นในสถานการณ์กรณีที่ดีที่สุดเราสามารถประมาณการทำงานของเช่นค่าเฉลี่ยหรือความแปรปรวน แต่ผลลัพธ์อาจไม่มีการตีความที่สมเหตุสมผล $Z_t$ $corr(X_t,Y_t)$ $t$ $T$ $T$ $\rho_t$ $\rho_t$

ตอนนี้ให้เราตรวจสอบสิ่งที่เกิดขึ้นกับสหสัมพันธ์ของการเดินสุ่มที่ไม่ได้ศึกษากระบวนการที่ไม่มีการศึกษา เราเรียกการเดินแบบสุ่มหากโดยที่เป็นกระบวนการที่อยู่กับที่ สำหรับความเรียบง่ายคิดว่า 0 แล้วก็ $Z_t=(X_t,Y_t)$ $Z_t=\sum_{s=1}^t(U_t,V_t)$ $C_t=(U_t,V_t)$ $EC_t=0$

\begin{aligned} c o r r (X_{t} Y_{t}) = \frac{E X_{t} Y_{t}}{\sqrt{D X_{t} D Y_{t}}} = \frac{E \sum_{s = 1}^{t} U_{t} \sum_{s = 1}^{t} V_{t}}{\sqrt{D \sum_{s = 1}^{t} U_{t} D \sum_{s = 1}^{t} V_{t}}} \end{aligned}

$\begin{align} corr(X_tY_t)=\frac{EX_tY_t}{\sqrt{DX_tDY_t}}=\frac{E\sum_{s=1}^tU_t\sum_{s=1}^tV_t}{\sqrt{D\sum_{s=1}^tU_tD\sum_{s=1}^tV_t}} \end{align}$

หากต้องการทำให้เรื่องต่างๆง่ายขึ้นให้สันนิษฐานว่าเป็นเสียงสีขาว ซึ่งหมายความว่ามีความสัมพันธ์ทั้งหมดเป็นศูนย์สำหรับ 0 โปรดทราบว่าสิ่งนี้ไม่ จำกัดเป็นศูนย์ $C_t=(U_t,V_t)$ $E(C_tC_{t+h})$ $h>0$ $corr(U_t,V_t)$

จากนั้น

\begin{aligned} c o r r (X_{t}, Y_{t}) = \frac{t E U_{t} V_{t}}{\sqrt{t^{2} D U_{t} D V_{t}}} = c o r r (U_{0}, V_{0}) . \end{aligned}

$\begin{align} corr(X_t,Y_t)=\frac{tEU_tV_t}{\sqrt{t^2DU_tDV_t}}=corr(U_0,V_0). \end{align}$

จนถึงขั้นตอนที่ดีถึงแม้ว่ากระบวนการจะไม่หยุดนิ่ง แต่ความสัมพันธ์ก็สมเหตุสมผลแม้ว่าเราจะต้องตั้งสมมติฐานอย่างเข้มงวดเช่นเดียวกัน

ตอนนี้เพื่อดูว่าเกิดอะไรขึ้นกับความสัมพันธ์ของตัวอย่างเราจะต้องใช้ข้อเท็จจริงต่อไปนี้เกี่ยวกับการเดินสุ่มซึ่งเรียกว่าทฤษฎีบทขีด จำกัด ศูนย์กลางการทำงาน:

\begin{aligned} \frac{1}{\sqrt{T}} Z_{[T s]} = \frac{1}{\sqrt{T}} \sum_{t = 1}^{[T s]} C_{t} \to (c o v (C_{0}))^{- 1 / 2} W_{s}, \end{aligned}

$\begin{align} \frac{1}{\sqrt{T}}Z_{[Ts]}=\frac{1}{\sqrt{T}}\sum_{t=1}^{[Ts]}C_t\to (cov(C_0))^{-1/2}W_s, \end{align}$ ในการกระจายโดยที่และคือ bivariate Brownian motion (กระบวนการ Wiener สองมิติ) เพื่ออำนวยความสะดวกแนะนำนิยามM_s

s \in [0, 1]

$s\in[0,1]$

W_{s} = (W_{1 s}, W_{2 s})

$W_s=(W_{1s},W_{2s})$

M_{s} = (M_{1 s}, M_{2 s}) = (c o v (C_{0}))^{- 1 / 2} W_{s}

$M_s=(M_{1s},M_{2s})=(cov(C_0))^{-1/2}W_s$

อีกครั้งเพื่อความง่ายให้เรานิยามความสัมพันธ์ตัวอย่างเป็น

\begin{aligned} \hat{ρ} = \frac{\frac{1}{T} \sum_{t = 1}^{T} X_{t} Y_{t}}{\sqrt{\frac{1}{T} \sum_{t = 1}^{T} X_{t}^{2} \frac{1}{T} \sum_{t = 1}^{T} Y_{t}^{2}}} \end{aligned}

$\begin{align} \hat{\rho}=\frac{\frac{1}{T}\sum_{t=1}^TX_{t}Y_t}{\sqrt{\frac{1}{T}\sum_{t=1}^TX_t^2\frac{1}{T}\sum_{t=1}^TY_t^2}} \end{align}$

ให้เราเริ่มด้วยความแปรปรวน เรามี

\begin{aligned} E \frac{1}{T} \sum_{t = 1}^{T} X_{t}^{2} = \frac{1}{T} E \sum_{t = 1}^{T} {(\sum_{s = 1}^{t} U_{t})}^{2} = \frac{1}{T} \sum_{t = 1}^{T} t σ_{U}^{2} = σ_{U} \frac{T + 1}{2} . \end{aligned}

$\begin{align} E\frac{1}{T}\sum_{t=1}^TX_t^2=\frac{1}{T}E\sum_{t=1}^T\left(\sum_{s=1}^tU_t\right)^2=\frac{1}{T}\sum_{t=1}^Tt\sigma_U^2=\sigma_U\frac{T+1}{2}. \end{align}$

สิ่งนี้จะไปที่อนันต์เมื่อเพิ่มขึ้นดังนั้นเราจึงพบปัญหาแรกความแปรปรวนตัวอย่างไม่ได้มาบรรจบ ในอีก ทฤษฎีการทำแผนที่อย่างต่อเนื่องร่วมกับทฤษฎีบทขีด จำกัด กลางการทำงานให้เรา $T$

\begin{aligned} \frac{1}{T^{2}} \sum_{t = 1}^{T} X_{t}^{2} = \sum_{t = 1}^{T} \frac{1}{T} {(\frac{1}{\sqrt{T}} \sum_{s = 1}^{t} U_{t})}^{2} \to \int_{0}^{1} M_{1 s}^{2} d s \end{aligned}

$\begin{align} \frac{1}{T^2}\sum_{t=1}^TX_t^2=\sum_{t=1}^T\frac{1}{T}\left(\frac{1}{\sqrt{T}}\sum_{s=1}^tU_t\right)^2\to \int_0^1M_{1s}^2ds \end{align}$ โดยที่คอนเวอร์เจนซ์คือการบรรจบกันในการกระจายตาม\

T \to \infty

$T\to \infty$

ในทำนองเดียวกันเราได้รับ

\begin{aligned} \frac{1}{T^{2}} \sum_{t = 1}^{T} Y_{t}^{2} \to \int_{0}^{1} M_{2 s}^{2} d s \end{aligned}

$\begin{align} \frac{1}{T^2}\sum_{t=1}^TY_t^2\to \int_0^1M_{2s}^2ds \end{align}$ และ

\begin{aligned} \frac{1}{T^{2}} \sum_{t = 1}^{T} X_{t} Y_{t} \to \int_{0}^{1} M_{1 s} M_{2 s} d s \end{aligned}

$\begin{align} \frac{1}{T^2}\sum_{t=1}^TX_tY_t\to \int_0^1M_{1s}M_{2s}ds \end{align}$

ในที่สุดสำหรับความสัมพันธ์ตัวอย่างของการเดินสุ่มของเรา

\begin{aligned} \hat{ρ} \to \frac{\int_{0}^{1} M_{1 s} M_{2 s} d s}{\sqrt{\int_{0}^{1} M_{1 s}^{2} d s \int_{0}^{1} M_{2 s}^{2} d s}} \end{aligned}

$\begin{align} \hat{\rho}\to \frac{\int_0^1M_{1s}M_{2s}ds}{\sqrt{\int_0^1M_{1s}^2ds\int_0^1M_{2s}^2ds}} \end{align}$ ในการจัดจำหน่ายเป็น\

T \to \infty

$T\to \infty$

ดังนั้นแม้ว่าความสัมพันธ์จะถูกกำหนดไว้อย่างดี แต่ความสัมพันธ์ของกลุ่มตัวอย่างไม่ได้มาบรรจบกันดังเช่นในกรณีของกระบวนการคงที่ แต่กลับกลายเป็นตัวแปรสุ่มที่แน่นอน

— mpiktas
แหล่งที่มา

คำอธิบายมุมมองทางคณิตศาสตร์คือสิ่งที่ฉันกำลังมองหา มันทำให้ฉันได้ไตร่ตรองและสำรวจเพิ่มเติม ขอบคุณ

— Milktrader

การตอบสนองนี้ดูเหมือนจะหลีกเลี่ยงคำถามเดิม: คุณไม่เพียงแค่บอกว่าใช่การคำนวณสหสัมพันธ์มีเหตุผลสำหรับกระบวนการคงที่

— whuber

@ โฮเบอร์ฉันตอบคำถามโดยคำนึงถึงความคิดเห็น แต่ฉันอ่านคำถามอีกครั้งและเท่าที่ฉันเข้าใจ OP จะถามเกี่ยวกับการคำนวณความสัมพันธ์สำหรับข้อมูลที่ไม่อยู่นิ่ง การคำนวณความสัมพันธ์สำหรับกระบวนการที่อยู่กับที่ทำให้การวิเคราะห์ทางเศรษฐศาสตร์มหภาค (VAR, VECM) ทั้งหมดนั้นขึ้นอยู่กับว่า

— mpiktas

ฉันจะพยายามอธิบายคำถามของฉันพร้อมคำตอบ

— whuber

@ เมื่อฉันนำออกไปจากคำตอบก็คือความสัมพันธ์ที่อิงกับข้อมูลที่ไม่อยู่นิ่งทำให้เกิดตัวแปรสุ่มซึ่งอาจมีประโยชน์หรือไม่ก็ได้ ความสัมพันธ์ที่ยึดตามข้อมูลที่อยู่กับที่จะแปรเปลี่ยนเป็นค่าคงที่ สิ่งนี้อาจอธิบายได้ว่าทำไมผู้ค้าถึงถูกดึงดูดให้“ ความสัมพันธ์แบบกลิ้งข้ามวัน” เพราะพฤติกรรมที่สัมพันธ์กันนั้นหายวับไปและไม่จริง ไม่ว่า "สหสัมพันธ์กลิ้งวัน" ถูกต้องหรือมีประโยชน์สำหรับคำถามอื่น

— Milktrader

... การคำนวณความสัมพันธ์ซึ่งข้อมูลไม่อยู่นิ่งแม้จะคำนวณทางสถิติที่ถูกต้องหรือไม่

ให้เป็นการเดินสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง เลือกจำนวนบวกชั่วโมงกำหนดกระบวนการและโดย ,ถ้าและอื่น ๆ ; และ(t) ในคำอื่น ๆเริ่มออกเหมือนกับแต่ทุกครั้งที่เพิ่มขึ้นสูงกว่าก็สลับสัญญาณ (มิฉะนั้นการลอกเลียนแบบทุกประการ) $W$ $h$ $P$ $V$ $P(0) = 1$ $P(t+1) = -P(t)$ $V(t) > h$ $P(t+1) = P(t)$ $V(t) = P(t)W(t)$ $V$ $W$ $V$ $h$ $W$

ป้อนคำอธิบายรูปภาพที่นี่

(ในรูปนี้ (สำหรับ )คือสีน้ำเงินและเป็นสีแดงมีสัญญาณสี่สวิตช์ในการลงชื่อเข้าใช้) $h=5$ $W$ $V$

ในระยะเวลาสั้น ๆมักมีความสัมพันธ์อย่างสมบูรณ์กับหรือมีความสัมพันธ์กับมันอย่างสมบูรณ์แบบ แม้กระนั้นการใช้ฟังก์ชันความสัมพันธ์เพื่ออธิบายความสัมพันธ์ระหว่างและจะไม่เป็นประโยชน์ (คำที่มักจะจับปัญหาได้ดีกว่า "ไม่น่าเชื่อถือ" หรือ "ไร้สาระ") $V$ $W$ $V$ $W$

รหัส Mathematica เพื่อผลิตภาพ:

With[{h=5},
pv[{p_, v_}, w_] := With[{q=If[v > h, -p, p]}, {q, q w}];
w = Accumulate[RandomInteger[{-1,1}, 25 h^2]];
{p,v} = FoldList[pv, {1,0}, w] // Transpose;
ListPlot[{w,v}, Joined->True]]

— whuber
แหล่งที่มา

มันเป็นเรื่องดีที่คำตอบของคุณชี้ไปที่ แต่ฉันจะไม่พูดว่ากระบวนการนั้นมีความสัมพันธ์กันฉันจะบอกว่ามันขึ้นอยู่กับ นี่คือประเด็น การคำนวณความสัมพันธ์คือวาลเดและที่นี่มันจะพูดว่า "ไม่มีความสัมพันธ์" และเราทุกคนรู้ว่าสิ่งนี้ไม่ได้หมายความว่า "ไม่มีการพึ่งพา"

— robin girard

@robin นั้นเป็นจุดที่ดี แต่ฉันสร้างตัวอย่างนี้โดยเฉพาะเพื่อให้ระยะเวลานานที่อาจเกิดขึ้นทั้งสองกระบวนการมีความสัมพันธ์กันอย่างสมบูรณ์ ปัญหาไม่ได้เป็นหนึ่งในการพึ่งพาอาศัยกันและความสัมพันธ์ แต่โดยเนื้อแท้จะเกี่ยวข้องกับปรากฏการณ์ subtler: ที่ความสัมพันธ์ระหว่างกระบวนการเปลี่ยนแปลงในช่วงเวลาสุ่ม สั้น ๆ นั่นคือสิ่งที่สามารถเกิดขึ้นได้ในตลาดจริง (หรืออย่างน้อยเราก็ควรกังวลว่ามันจะเกิดขึ้นได้!)

— whuber

@whertert ใช่และนี่เป็นตัวอย่างที่ดีมากที่แสดงว่ามีกระบวนการที่มีความสัมพันธ์สูงมากเป็นเวลานานและยังไม่สัมพันธ์กันเลย (แต่ขึ้นอยู่กับสูง) เมื่อเกี่ยวข้องกับขนาดชั่วคราว

— robin girard

@robin girard ฉันคิดว่ากุญแจที่นี่ก็คือสำหรับกระบวนการที่ไม่หยุดนิ่งความสัมพันธ์เชิงทฤษฎีแตกต่างกันไปตามกาลเวลาเมื่อกระบวนการคงที่ความสัมพันธ์เชิงทฤษฎียังคงเหมือนเดิม ดังนั้นด้วยความสัมพันธ์ตัวอย่างซึ่งโดยทั่วไปคือจำนวนหนึ่งมันเป็นไปไม่ได้ที่จะจับความแปรปรวนของความสัมพันธ์ที่แท้จริงในกรณีของกระบวนการที่ไม่หยุดนิ่ง

— mpiktas