ทำความเข้าใจกับทฤษฎีการแยก d ในเครือข่าย Bayesian ที่เป็นสาเหตุ

ฉันกำลังพยายามทำความเข้าใจกับตรรกะการแบ่งแยกในเครือข่าย Causal Bayesian ฉันรู้ว่าอัลกอริทึมทำงานอย่างไร แต่ฉันไม่เข้าใจว่าทำไม "การไหลของข้อมูล" ทำงานตามที่ระบุไว้ในอัลกอริทึม

ตัวอย่างเช่นในกราฟด้านบนสมมติว่าเราได้รับ X เท่านั้นและไม่พบตัวแปรอื่น จากนั้นตามกฎของการแยก d การไหลของข้อมูลจาก X ถึง D:

1. X อิทธิพลซึ่งเป็นX) ไม่เป็นไรเนื่องจาก A เป็นสาเหตุของ X และหากเราทราบเกี่ยวกับผลกระทบ X สิ่งนี้จะส่งผลต่อความเชื่อของเราเกี่ยวกับสาเหตุ A. ข้อมูลไหล$P(A)\neq P(A|X)$

2. X มีอิทธิพลต่อ B ซึ่งเป็นX) ไม่เป็นไรเนื่องจากความรู้ของเราเกี่ยวกับ X เปลี่ยนแปลงไป A การเปลี่ยนแปลงที่ A สามารถส่งผลต่อความเชื่อของเราเกี่ยวกับสาเหตุ B เช่นกัน$P(B)\neq P(B|X)$

3. X มีอิทธิพลต่อ C ซึ่งเป็นX) ไม่เป็นไรเพราะเรารู้ว่า B นั้นลำเอียงโดยความรู้ของเราเกี่ยวกับผลกระทบทางอ้อม X และเนื่องจาก B ถูกทำให้ลำเอียงโดย X สิ่งนี้จะมีผลต่อ B ของผลกระทบทางตรงและทางอ้อมทั้งหมดของ B C เป็นผลโดยตรงของ B และได้รับอิทธิพลจากความรู้ของเราเกี่ยวกับ X$P(C)\neq P(C|X)$

ถึงตอนนี้ทุกอย่างก็โอเคสำหรับฉันตั้งแต่การไหลของข้อมูลเกิดขึ้นตามความสัมพันธ์ที่เป็นเหตุและผล แต่ฉันไม่ได้รับพฤติกรรมพิเศษที่เรียกว่า "โครงสร้าง V" หรือ "Colliders" ในรูปแบบนี้ ตามทฤษฎี d-Separation B และ D เป็นสาเหตุทั่วไปของ C ในกราฟข้างต้นและมันบอกว่าถ้าเราไม่ได้สังเกต C หรือลูกหลานของมันข้อมูลการไหลจาก X จะถูกบล็อกที่ C ดี, OK แต่คำถามของฉันคือทำไม

จากสามขั้นตอนข้างต้นเริ่มต้นจาก X เราเห็นว่า C ได้รับอิทธิพลจากความรู้ของเราเกี่ยวกับ X และการไหลของข้อมูลที่เกิดขึ้นตามความสัมพันธ์ระหว่างสาเหตุและผลกระทบ ทฤษฎีการแยกตัวบอกว่าเราไม่สามารถไปจาก C ถึง D เนื่องจาก C ไม่ได้ถูกสังเกต แต่ฉันคิดว่าเนื่องจากเรารู้ว่า C นั้นเอนเอียงและ D เป็นสาเหตุของ C ดังนั้น D ควรได้รับผลกระทบเช่นกันในขณะที่ทฤษฎีบอกว่าตรงกันข้าม ฉันขาดอะไรบางอย่างในรูปแบบความคิดของฉันอย่างชัดเจน แต่มองไม่เห็นว่ามันคืออะไร

ดังนั้นฉันต้องการคำอธิบายว่าทำไมการไหลของข้อมูลที่ถูกบล็อกที่ C หากไม่ได้สังเกต C

ไม่ใช่เรื่องง่ายที่คุณไม่สามารถให้เหตุผลจากสาเหตุถึงผลที่ไม่ได้สังเกตการณ์ไปยังสาเหตุอื่นได้หรือไม่? หากฝน (B) และสปริงเกอร์ (D) เป็นสาเหตุของพื้นเปียก (C) คุณสามารถโต้แย้งได้ว่าการเห็นฝนหมายความว่าพื้นดินอาจเปียกและยังคงให้เหตุผลว่าสปริงเกอร์ต้องอยู่ตั้งแต่พื้นดิน เปียกหรือไม่! ไม่แน่นอน คุณแย้งว่าพื้นดินเปียกเพราะฝน - คุณไม่สามารถหาสาเหตุเพิ่มเติมได้!

หากคุณสังเกตพื้นเปียกแน่นอนว่าสถานการณ์เปลี่ยนแปลง ตอนนี้คุณอาจสามารถเหตุผลจากสาเหตุหนึ่งไปอีกสาเหตุได้ตามที่ Frank อธิบาย

ลองลืมเกี่ยวกับ X สักครู่แล้วพิจารณาเพียง collider ของ B, C และ D เหตุผลที่โครงสร้าง v สามารถบล็อกเส้นทางระหว่าง B และ D คือโดยทั่วไปถ้าคุณมีตัวแปรสุ่มอิสระสองตัว (B และ D) ที่ส่งผลต่อผลลัพธ์เดียวกัน (C) จากนั้นการรู้ผลลัพธ์สามารถช่วยให้คุณสามารถสรุปข้อสรุปเกี่ยวกับความสัมพันธ์ระหว่างตัวแปรสุ่มซึ่งทำให้สามารถรับข้อมูลได้

$P(B|D) \neq P(B)$$P(D|B) \neq P(D)$) ดังนั้นการรู้ว่าสนามหญ้าเปียกจะปลดล็อคเส้นทางและทำให้ B และ D ขึ้นอยู่กับ

เพื่อให้เข้าใจสิ่งนี้ดีขึ้นอาจเป็นประโยชน์หากคุณได้ดูที่Berkson Paradoxซึ่งอธิบายสถานการณ์เดียวกัน

ถึงตอนนี้ทุกอย่างก็โอเคสำหรับฉันเนื่องจากการไหลของข้อมูลเกิดขึ้นตามความสัมพันธ์ที่เป็นเหตุและผล แต่ฉันไม่ได้รับพฤติกรรมพิเศษที่เรียกว่า "โครงสร้าง V" หรือ "Colliders" ในรูปแบบนี้

จากนั้นน็อตแข็งที่จะแตกที่นี่คือโครงสร้างวี ฉันต้องการแสดงให้เห็นถึงความแตกต่างระหว่างความน่าจะเป็นของตัวแปร S ที่มีต่อการสังเกตผลกระทบและอิทธิพลของการสังเกตตัวแปร D อีกตัวหนึ่งซึ่งไม่ขึ้นอยู่กับ S ในสถานการณ์เดียวกันโดยใช้ตัวอย่างที่สมมติขึ้น

สมมุติว่ามีใครกำลังเรียนอยู่พูดพีชคณิตเชิงเส้น ถ้าเขาสามารถผ่านมันขึ้นอยู่กับความยากลำบากในการสอบเป็นหลัก เราจะแสดงเหตุการณ์ที่ผ่านหลักสูตรโดย P ผ่านเป็น 1 และ 0 อย่างอื่น และความยากลำบากในการสอบเป็น D, ยากเท่ากับ 1 และง่ายที่สุดเท่าที่ 0 และบางสิ่งที่ไร้สาระอาจมีอิทธิพลต่อการแสดงหรือผลลัพธ์ของเขาสมมติว่าภาวะเอกฐานเกิดขึ้นและเขาจะถูกล้างสมองโดยเครื่องแล้วตัดสินใจว่าจะไม่ ทำข้อสอบ. เราแสดงว่าเหตุการณ์โดย S และความน่าจะเป็นคือ 0.0001 ดูเหมือนว่าเป็นไปไม่ได้ แต่ตามคำนิยามโอกาสของมันไม่ควรจะเป็นศูนย์

ดังนั้นเราจึงมีกราฟของรูปแบบโครงสร้างวีในขณะนี้:

 D   S
  | |
 \| |/ 
   P  

$P(\neg P|S) = 0.999999$$P(P|S)=0.000001$

| d0   | d1      |      
|:-----|--------:|   
| 0.5  | 0.5     |  

| s0     | s1      |      
|:-------|--------:|   
| 0.9999 | 0.0001  |

| S     | D    | P(p0|S,D) | P(p1|S,D) |  
|:------|-----:|----------:|----------:|
|s0     | d0   |   0.20    |   0.80    |
|s0     | d1   |   0.90    |   0.10    |
|s1     | d0   |   0.999999|   0.000001|
|s1     | d1   |   0.999999|   0.000001| 

$P(S|P)$$P(S|P, D)$

1) ถ้าเราไม่รู้ผลลัพธ์เราสามารถคำนวณความน่าจะเป็นของภาวะเอกฐานที่เกิดขึ้นเนื่องจากหลักสูตรนั้นง่าย

$$\begin{align} P(S|\neg D) & = P(S, P|\neg D)+P(S, \neg P| \neg D) \\ & = \frac{P(S=1, P=1, D=0)}{P(D=0)} + \frac{P(S=1, P=0, D=0)}{P(D=0)} \\ & = \frac{P(S=1)P(D=0|S=1)P(P=1|D=0,S=1)}{P(D=0)} + \frac{P(S=1)P(D=0|S=1)P(P=0|D=0,S=1)}{P(D=0)} \\ & = \frac{P(S=1)P(D=0|S=1)}{P(D=0)} \\ & = \frac{P(S=1)P(D=0)}{P(D=0)} \\ & = P(S=1) \\ & = 0.0001 \end{align}$$

ดังที่คุณเห็นด้านบนที่ไม่สำคัญว่าการสอบผ่านหรือไม่ เกิดอะไรขึ้นตามที่ควรจะเป็น มันอาจถูกมองว่าเป็นความน่าจะเป็นที่มากกว่าพี

และเรายังสามารถหาความน่าจะเป็นที่ภาวะเอกฐานเกิดขึ้นเนื่องจากนักเรียนไม่ผ่านการสอบ:

$$\begin{align} P(S, |\neg P) &= \frac{P(S,\neg P)}{P(\neg P)} \\ &= \frac{P(S,\neg p, D) + P(S,\neg P, \neg D)}{P(\neg P)}\\ &= \frac{P(\neg P|S, D) P(S) P(D)+P(\neg P|S, \neg D)P(S)P(\neg D)}{\sum_{S,D}P(\neg P |S,D)P(S)P(D) }\\ &= 0.0001818 \end{align}$$

การรู้ว่าผู้ชายคนนั้นไม่ผ่านการสอบเราสามารถเดาได้ว่าเขาอาจถูกล้างสมองด้วยเครื่องจักรคือ 0.0001818 ซึ่งใหญ่กว่าเมื่อเราไม่รู้

$$\begin{align} P(S, |\neg P, \neg D) &= \frac{P(S=1, P=0, D=0)}{P(P=0, D=0)} \\ & = \frac{P(P=0|S=1, D=0)P(S=1)P(D=0)}{P(P=0|S=1, D=0)P(S=1)P(D=0)+P(P=0|S=0, D=0)P(S=0)P(D=0)} \\ & = \frac{0.999999 \times 0.0001 \times 0.5}{0.2 \times 0.9999 \times 0.5+0.999999 \times 0.0001 \times 0.5} \\ & = 0.0004998 \end{align}$$

ดูเถิดและเห็นว่าการเปลี่ยนแปลงนั้นยิ่งใหญ่กว่าที่เราเพิ่งรู้ว่าเขาไม่ได้ทำการสอบ ถ้าอย่างนั้นเรามาดูกันว่า$P(S|P) \neq P(S|P, D)$ เราสามารถอนุมานได้ว่า $S \perp D | P \notin I(P(P, S, D))$ ซึ่งหมายความว่า D สามารถมีอิทธิพลต่อ S ผ่านทาง P

ขอให้รายละเอียดนี้มาจาก hlep