ความคาดหวังของความฉลาดทางของผลรวมของตัวแปรสุ่ม IID (แผ่นงานมหาวิทยาลัยเคมบริดจ์)

ฉันกำลังเตรียมตัวสำหรับการสัมภาษณ์ที่ต้องมีความรู้เกี่ยวกับความน่าจะเป็นพื้นฐาน (อย่างน้อยก็ต้องผ่านการสัมภาษณ์ด้วยตัวเอง) ฉันกำลังทำงานผ่านแผ่นงานด้านล่างจากวันที่นักเรียนของฉันเป็นการแก้ไข ส่วนใหญ่แล้วจะตรงไปตรงมา แต่ฉันก็นิ่งงันกับคำถามที่ 12

http://www.trin.cam.ac.uk/dpk10/IA/exsheet2.pdf

ความช่วยเหลือใด ๆ ที่จะได้รับการชื่นชม

แก้ไข: คำถามคือ:

สมมติว่า $X_1, X_2, ...$ เป็นตัวแปรสุ่มที่เป็นค่าบวกเชิงบวกแบบกระจายแบบอิสระ $\mathbb{E}(X_1) = \mu < \infty$ และ $\mathbb{E}(X_1^{-1}) < \infty$. ปล่อย$S_n = \sum_{i=1}^n X_i$. แสดงว่า$\mathbb{E}(S_m/S_n) = m/n$ เมื่อไหร่ $m<=n$และ $\mathbb{E}(S_m/S_n) = 1 + (m-n)\mu\mathbb{E}(S_n^{-1}))$ เมื่อไหร่ $m>=n$.

อันที่จริงแล้วในขั้นตอนการพิมพ์นี้ฉันได้แก้ไขส่วนที่สองแล้ว

สำหรับ $m>=n$, $\mathbb{E}(S_m/S_n) = \mathbb{E}(X_1+ . . . +X_m)/\mathbb{E}(X_1+ . . . +X_n)$

$=\mathbb{E}(1 + (X_{n+1} + ... + X_m)/(X_1 + ... + X_n))$

และตัวเศษและตัวส่วนของอัตราส่วนข้างต้นมีความเป็นอิสระอย่างชัดเจนดังนั้น:

$= 1 + \mathbb{E}(X_{n+1} + ... + X_m)\mathbb{E}(S_n^{-1})$

และเราได้รับผลลัพธ์ที่ต้องการ

ฉันยังคงติดอยู่ในส่วนแรกแม้ว่า

การจำเพื่อเพิ่ม $n$ สำเนาที่เหมือนกันของ $S_m/S_n$ฉลาดมาก! แต่พวกเราบางคนไม่ฉลาดดังนั้นจึงเป็นเรื่องดีที่สามารถ "เลื่อน" ความคิดที่ยิ่งใหญ่ไปสู่ขั้นตอนที่ชัดเจนว่าจะทำอย่างไร ดูเหมือนจะมีเงื่อนงำหลายอย่างที่สมมาตรอาจมีความสำคัญจริง ๆ (นอกจากนี้คือสมมาตรและเรามีการสรุปและตัวแปร iid มีความคาดหวังเหมือนกันดังนั้นบางทีพวกมันอาจถูกสับเปลี่ยนหรือเปลี่ยนชื่อด้วยวิธีที่มีประโยชน์) ในความเป็นจริงบิต "ยาก" ของคำถามนี้คือวิธีการจัดการกับแผนกการดำเนินการที่ไม่สมมาตร เราจะใช้ประโยชน์จากความสมมาตรของการรวมได้อย่างไร? จากเส้นตรงของความคาดหวังเรามี:

$\mathbb{E}(S_m/S_n) = \mathbb{E}\left(\frac{X_1 + ... + X_m}{X_1 + ... + X_n}\right) = \mathbb{E}\left(\frac{X_1}{X_1 + .... + X_n}\right) + ... + \mathbb{E}\left(\frac{X_m}{X_1 + .... + X_n}\right)$

แต่จากนั้นในพื้นที่สมมาตรระบุว่า $X_i$ คือ iid และ $m \le n$เงื่อนไขทั้งหมดทางด้านขวาเหมือนกัน! ทำไม? สลับป้ายกำกับของ$X_i$ และ $X_j$ สำหรับ $i, j \le n$. คำสองคำในตำแหน่งสวิตช์ส่วน แต่หลังจากการเรียงลำดับใหม่จะยังคงมีผลรวมอยู่$S_n$ในขณะที่ตัวเศษเปลี่ยนจาก $X_i$ ถึง $X_j$. ดังนั้น$\mathbb{E}(X_i/S_n) = \mathbb{E}(X_j/S_n)$. มาเขียนกัน$\mathbb{E}(X_i/S_n)=k$ สำหรับ $1 \le i \le n$ และเนื่องจากมี $m$ เงื่อนไขดังกล่าวเรามี $\mathbb{E}(S_m/S_n) = mk$.

ดูเหมือนว่า $k=1/n$ซึ่งจะให้ผลลัพธ์ที่ถูกต้อง แต่จะพิสูจน์ได้อย่างไร พวกเรารู้

$k=\mathbb{E}\left(\frac{X_1}{X_1 + .... + X_n}\right)=\mathbb{E}\left(\frac{X_2}{X_1 + .... + X_n}\right)=...=\mathbb{E}\left(\frac{X_n}{X_1 + .... + X_n}\right)$

เป็นเพียงในขั้นตอนนี้เท่านั้นที่มันเริ่มขึ้นกับฉันฉันควรจะเพิ่มเหล่านี้เข้าด้วยกันเพื่อให้ได้

$nk = \mathbb{E}\left(\frac{X_1}{X_1 + .... + X_n}\right) + \mathbb{E}\left(\frac{X_2}{X_1 + .... + X_n}\right) + ... + \mathbb{E}\left(\frac{X_n}{X_1 + .... + X_n}\right)$ $\implies nk = \mathbb{E}\left(\frac{X_1 + ... + X_n}{X_1 + .... + X_n}\right) = \mathbb{E}(1) = 1$

สิ่งที่ดีเกี่ยวกับวิธีนี้คือมันรักษาความเป็นเอกภาพของสองส่วนของคำถาม สาเหตุสมมาตรไม่สมบูรณ์ต้องการการปรับเปลี่ยนเมื่อ$m>n$คือว่าข้อกำหนดทางด้านขวาหลังจากใช้เส้นตรงของความคาดหวังจะเป็นสองประเภทขึ้นอยู่กับว่า $X_i$ในตัวเศษตั้งอยู่ในผลรวมในตัวส่วน (เหมือนก่อนหน้านี้ฉันสามารถสลับป้ายกำกับของ$X_i$ และ $X_j$ หากทั้งคู่ปรากฏในตัวส่วนเนื่องจากจะเป็นการเรียงผลรวม $S_n$หรือถ้าไม่ทำอย่างนี้จะทำให้ผลรวมไม่เปลี่ยนแปลง แต่ถ้ามีใครทำและไม่ได้เป็นเช่นนั้นเงื่อนไขหนึ่งในการเปลี่ยนแปลงส่วนและมันจะไม่รวมอีกต่อไป $S_n$.) สำหรับ $i \le n$ เรามี $\mathbb{E}\left(\frac{X_i}{X_1 + .... + X_n}\right)=k$ และสำหรับ $i>n$ เรามี $\mathbb{E}\left(\frac{X_i}{X_1 + .... + X_n}\right)=r$, พูด. เนื่องจากเรามี$n$ จากข้อกำหนดเดิมและ $m-n$ ของหลัง

$\mathbb{E}(S_m/S_n) = nk + (m-n)r = 1 + (m-n)r$

จากนั้นหา $r$ ตรงไปตรงมาโดยใช้ความเป็นอิสระของ $S_n^{-1}$ และ $X_i$ สำหรับ $i>n$: $r=\mathbb{E}(X_i S_n^{-1})=\mathbb{E}(X_i) \mathbb{E}(S_n^{-1})=\mu \mathbb{E}(S_n^{-1})$

ดังนั้น "กลอุบาย" เดียวกันนี้ใช้ได้กับทั้งสองส่วนมันเกี่ยวข้องกับการจัดการกับสองกรณีถ้า $m>n$. ฉันสงสัยว่านี่คือเหตุผลที่ทำให้คำถามทั้งสองส่วนได้รับตามลำดับนี้

ขอบคุณ whuber สำหรับคำแนะนำสำหรับส่วนแรก

พิจารณา $nS_m/S_n$ สำหรับกรณี $m<=n$

เรามี $\mathbb{E}(nS_m/S_n) = \mathbb{E}((nX_1 + . . . + nX_m)/(X_1 + . . . + X_n))$

$= \mathbb{E}(nX_1/X_1 + . . . + X_n) + . . . + \mathbb{E}(nX_m/X_1 + . . . + X_n)$

และโดยคุณสมบัติ iid นี่เท่ากับ:

$m\mathbb{E}((X_1+ . .+ X_n)/(X_1+ . . . + X_n)) = m$

ดังนั้น $\mathbb{E}(S_m/S_n) = m/n$ สำหรับ $m<=n$