การแจกแจงแบบใดที่ไม่สัมพันธ์กันแสดงถึงความเป็นอิสระ?

การเตือนความทรงจำที่มีเกียรติในสถิติคือ "ความสัมพันธ์ไม่ได้หมายถึงความเป็นอิสระ" โดยปกติการแจ้งเตือนนี้จะเสริมด้วยคำสั่งที่ผ่อนคลายทางจิตวิทยา (และถูกต้องทางวิทยาศาสตร์) "เมื่อ แต่อย่างไรก็ตามทั้งสองตัวแปรมีการกระจายตามปกติร่วมกันแล้ว uncorrelatedness หมายถึงความเป็นอิสระ"

ฉันสามารถเพิ่มจำนวนข้อยกเว้นที่มีความสุขจากหนึ่งเป็นสอง: เมื่อตัวแปรสองตัวถูกแจกจ่ายโดยBernoulliจากนั้นอีกครั้งความไม่สัมพันธ์กันหมายถึงความเป็นอิสระ ถ้าและเป็นสอง Bermoulli rv's,ซึ่งเรามีและคล้ายคลึงกับความแปรปรวนร่วมของพวกมันคือ $X$ $Y$ $X \sim B(q_x),\; Y \sim B(q_y)$ $P(X=1) = E(X) = q_x$ $Y$

Cov (X, Y) = E (X Y) - E (X) E (Y) = \underset{S_{X Y}}{Σ} พี (x, Y) x Y - Q_{x} Q_{Y}

$\operatorname{Cov}(X,Y)= E(XY) - E(X)E(Y) = \sum_{S_{XY}}p(x,y)xy - q_xq_y$

= P (X = 1, Y = 1) - Q_{x} Q_{Y} = P (X = 1 | Y = 1) P (Y = 1) - Q_{x} Q_{Y}

$= P(X=1,Y=1) - q_xq_y = P(X=1\mid Y=1)P(Y=1)-q_xq_y$

= (P (X = 1 | Y = 1) - Q_{x}) Q_{Y}

$= \Big(P(X=1\mid Y=1)-q_x\Big)q_y$

สำหรับ uncorrelatedness เราต้องการความแปรปรวนร่วมเป็นศูนย์ดังนั้น

Cov (X, Y) = 0 \Rightarrow P (X = 1 | Y = 1) = P (X = 1)

$\operatorname{Cov}(X,Y) = 0 \Rightarrow P(X=1\mid Y=1) = P(X=1)$

\Rightarrow P (X = 1, Y = 1) = P (X = 1) P (Y = 1)

$\Rightarrow P(X=1,Y=1) = P(X=1)P(Y=1)$

ซึ่งเป็นเงื่อนไขที่จำเป็นสำหรับตัวแปรที่จะเป็นอิสระเช่นกัน

ดังนั้นคำถามของฉันคือ: คุณรู้จักการแจกแจงอื่น ๆ (ต่อเนื่องหรือไม่ต่อเนื่อง) ซึ่ง uncorrelatedness แสดงถึงความเป็นอิสระ?

ความหมาย:สมมติว่ามีตัวแปรสุ่มสองตัวที่มีการแจกแจงส่วนเล็กน้อยที่เป็นของการแจกแจงแบบเดียวกัน สองเอ็กซ์โพเนนเชียลสองรูปสามเหลี่ยม ฯลฯ วิธีแก้ปัญหาทั้งหมดสำหรับสมการเป็นเช่นนั้นพวกเขายังหมายถึงความเป็นอิสระโดยอาศัยรูปแบบ / คุณสมบัติของฟังก์ชันการแจกแจงที่เกี่ยวข้องหรือไม่ นี่คือกรณีที่มีระยะขอบปกติ (เนื่องจากมีการกระจายแบบปกติแบบ bivariate) เช่นเดียวกับระยะขอบของ Bernoulli - มีกรณีอื่นอีกหรือไม่ $X,Y$ $\operatorname{Cov}(X,Y) = 0$

แรงจูงใจที่นี่คือว่ามันง่ายกว่าที่จะตรวจสอบว่าความแปรปรวนร่วมเป็นศูนย์เปรียบเทียบกับการตรวจสอบว่าเป็นอิสระ ดังนั้นหากได้รับการกระจายเชิงทฤษฎีโดยการตรวจสอบความแปรปรวนร่วมคุณกำลังตรวจสอบความเป็นอิสระ (เช่นกรณีที่มี Bernoulli หรือกรณีปกติ) แล้วนี่จะเป็นสิ่งที่มีประโยชน์ที่จะรู้
ถ้าเราได้ตัวอย่างสองตัวอย่างจาก rv สองตัวที่มีระยะขอบปกติเรารู้ว่าถ้าเราสามารถสรุปทางสถิติจากตัวอย่างว่าความแปรปรวนร่วมของพวกเขาเป็นศูนย์ได้เราก็สามารถพูดได้ว่าพวกมันมีความเป็นอิสระ มันจะมีประโยชน์ที่จะทราบว่าเราสามารถสรุปได้เช่นเดียวกันในกรณีที่ rv ของทั้งสองมีระยะขอบที่เป็นของการแจกแจงอื่น

— Alecos Papadopoulos
แหล่งที่มา

ไม่มีเหตุผลที่นี่: ใช้คู่ของตัวแปรอิสระใด ๆ เป็นการกระจาย ไม่ว่าพวกเขาจะมีความสัมพันธ์พวกเขาเป็นอิสระจากคำสั่ง ! คุณต้องแม่นยำมากขึ้นเกี่ยวกับความหมายของคำว่า "การกระจาย" และคำตอบประเภทใดที่คุณจะพบว่ามีประโยชน์

— whuber

@whuber ฉันไม่เข้าใจความคิดเห็นของคุณ ฉันเริ่มโดย uncorrelatedness และถามว่า "ถ้าฉันสามารถพิสูจน์ได้ว่าพวกเขาไม่ได้เกี่ยวข้องกันเมื่อใดนี่หมายความว่าพวกเขาเป็นอิสระเช่นกัน"? เนื่องจากผลลัพธ์ทั้งสองที่ระบุไว้ในคำถามขึ้นอยู่กับ rv ที่มีการแจกแจงเฉพาะ (ปกติหรือเบอร์นูลี) ฉันจึงถามว่า "จะมีการแจกแจงอื่น ๆ ที่รู้จักกันซึ่งหากตัวแปรสองตัวติดตามมัน

— Alecos Papadopoulos

รับตัวแปรอิสระสองตัวและให้เป็นตัวแจกแจง คือคำตอบที่ถูกต้องสำหรับคำถามของคุณ โปรดทราบว่าคุณกำลังขอให้พิสูจน์เงื่อนไขซึ่งตามคำจำกัดความเป็นจริงเมื่อใดก็ตามที่ผลลัพธ์เป็นจริงไม่ว่าสิ่งที่คุณค่าความจริงของบุคคลก่อนอาจเป็น ดังนั้นโดยกฎพื้นฐานของตรรกะทั้งหมดกระจายของตัวแปรอิสระนี้เป็นคำตอบสำหรับคำถามของคุณ

X, Y

$X,Y$

F

$F$

F

$F$

— whuber

@Wuber คุณเห็นได้ชัดว่าถูกต้อง ฉันเพิ่มข้อความบางส่วนที่เกี่ยวข้องกับแรงจูงใจสำหรับคำถามนี้ซึ่งฉันหวังว่าจะอธิบายแรงจูงใจของฉัน

— Alecos Papadopoulos

คุณเริ่มต้นข้อมูลอะไรกับเมื่อตัดสินใจนี้ จากการกำหนดตัวอย่างของคุณดูเหมือนว่าคุณจะได้รับไฟล์ PDF ส่วนเพิ่มสำหรับตัวแปรแต่ละตัวและข้อมูลที่ตัวแปรคู่แต่ละคู่ไม่มีความสัมพันธ์กัน จากนั้นคุณตัดสินใจว่าพวกเขาเป็นอิสระเช่นกัน ถูกต้องหรือไม่

— ความน่าจะเป็นที่เป็นไปได้

"แต่ถ้าตัวแปรทั้งสองมีการกระจายตามปกติแล้ว uncorrelatedness ไม่บ่งบอกถึงความเป็นอิสระ" เป็นความเชื่อที่ผิดที่พบบ่อยมาก

ที่ใช้เฉพาะในกรณีที่พวกเขาจะร่วมกันกระจายตามปกติ

ตัวอย่างที่ฉันพบบ่อยที่สุดคือและ Rademacherเป็นอิสระ(ดังนั้นมันคือ 1 หรือ -1 ที่มีความน่าจะเป็น 0.5 ต่อคน) แล้วก็เป็นเรื่องปกติ (ชัดเจนจากการพิจารณาฟังก์ชั่นการกระจาย), (ปัญหาที่นี่คือการแสดงเช่นโดยทำซ้ำความคาดหวังและสังเกตว่าคือหรือมีความน่าจะเป็น 0.5 ต่อคน) และเป็นที่ชัดเจนว่าตัวแปรนั้นขึ้นอยู่กับ (เช่นถ้าฉันรู้ว่าจากนั้นทั้งหรือดังนั้นข้อมูลเกี่ยวกับ $X \sim N(0,1)$ $Y$ $Z=XY$ $\operatorname{Cov}(X,Z)=0$ $\mathbb{E}(XZ)=0$ $Y$ $XZ$ $X^2$ $-X^2$ $X>2$ $Z>2$ $Z<-2$ $X$ ให้ข้อมูลเกี่ยวกับ ) $Z$

นอกจากนี้ยังควรคำนึงถึงด้วยว่าการแจกแจงร่อแร่ไม่ได้กำหนดการกระจายแบบร่วม ใช้เวลาสอง RVs จริงและมีขอบ CDFSและ(y) ถ้าอย่างนั้นมีฟังก์ชัน: $X$ $Y$ $F_X(x)$ $G_Y(y)$ $\alpha<1$

H_{X, Y} (x, Y) = F_{X} (x) G_{Y} (Y) (1 + α (1 - F_{X} (x)) (1 - F_{Y} (Y)))

$H_{X,Y}(x,y)=F_X(x)G_Y(y)\left(1+\alpha\big(1-F_X(x)\big)\big(1-F_Y(y)\big)\right)$

จะเป็น bivariate CDF (เพื่อให้ได้มาร์จากรับค่า จำกัด เมื่อไปที่อินฟินิตี้โดยที่ในทางกลับกันสำหรับ ) ชัดเจนโดยเลือกค่าต่าง ๆ ของคุณสามารถได้รับการแจกแจงร่วมที่แตกต่างกัน! $F_X(x)$ $H_{X,Y}(x,y)$ $y$ $F_Y(y)=1$ $Y$ $\alpha$

— สีเงิน
แหล่งที่มา

จริง ฉันลืม "ข้อต่อ"

— Alecos Papadopoulos

@Alecos เนื่องจากการกระจายส่วนเล็กน้อยไม่ได้ระบุการแจกแจงร่วมโดยทั่วไป (เพิ่งแก้ไขคำตอบของฉันเพื่อให้ชัดเจน) ซึ่งจะทำให้คำถามของคุณอยู่ที่ไหน

— Silverfish

@Alcos ฉันคิดว่าฉันมีความเข้าใจที่ดีขึ้นในเนื้อหาของคำถามในขณะนี้: จากการแจกแจงสองส่วนซึ่งมีการแจกแจงร่วมที่ไม่มีขอบเขต ในสถานการณ์ใดที่ทำให้เงื่อนไขความแปรปรวนเป็นศูนย์ปล่อยให้เรามีเพียงหนึ่งในการแจกแจงร่วมเหล่านั้นยังคงเป็นไปได้กล่าวคือสิ่งที่ตัวแปรสุ่มมีความเป็นอิสระหรือไม่?

— Silverfish

ถ้าฉันยึดติดกับคดี bivariate โดยมีข้อต่อ MGFและ MGFs ชายขอบและคำถามกลายเป็น: เมื่อใดบอกเป็นนัยว่า ?

M_{X, Y} (s, t)

$M_{X,Y}(s,t)$

M_{X} (s) = M_{X, Y} (s, 0)

$M_X(s)=M_{X,Y}(s,0)$

M_{Y} (t) = M_{X, Y} (0, t)

$M_Y(t)=M_{X,Y}(0,t)$

\frac{\partial^{2}}{\partial s \partial t} M_{X, Y} (s, t) |_{s = 0, t = 0} = \frac{\partial}{\partial s} M_{X, Y} (s, t) |_{s = 0, t = 0} \cdot \frac{\partial}{\partial t} M_{X, Y} (s, t) |_{s = 0, t = 0}

$\frac{\partial^2}{\partial s \partial t}M_{X,Y}(s,t)|_{s=0,t=0} = \frac{\partial}{\partial s} M_{X,Y}(s,t)|_{s=0,t=0} \cdot \frac{\partial}{\partial t} M_{X,Y}(s,t)|_{s=0,t=0}$

M_{X, Y} (s, t) = M_{X, Y} (s, 0) \cdot M_{X, Y} (0, t)

$M_{X,Y}(s,t)=M_{X,Y}(s,0) \cdot M_{X,Y}(0,t)$

— Silverfish

@Silverman ฉันจะตรวจสอบแนวคิดของการพึ่งพาซึ่งกันและกัน , en.wikipedia.org/wiki/Subindependenceเพื่อดูว่าปัญหานี้สามารถกำหนดได้ในแง่ของการสร้างฟังก์ชั่นช่วงเวลาหรือไม่

— Alecos Papadopoulos