ความแปรปรวนของค่าเฉลี่ยตัวอย่างของตัวอย่างบู๊ตสแตรป

9

ให้เป็นข้อสังเกตที่ชัดเจน (ไม่มีความสัมพันธ์) ให้แสดงตัวอย่าง bootstrap (ตัวอย่างจาก CDF เชิงประจักษ์) และให้{*} ค้นหาและ{*}) $X_{1},...,X_{n}$ $X_{1}^{*},...,X_{n}^{*}$ $\bar{X}_{n}^{*}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_{i}^{*}$ $E(\bar{X}_{n}^{*})$ $\mathrm{Var}(\bar{X}_{n}^{*})$

สิ่งที่ฉันมีอยู่คือคือแต่ละอันมีความน่าจะเป็นดังนั้น and ซึ่งให้ $X_{i}^{*}$ $X_{1},...,X_{n}$ $\frac{1}{n}$

E (X_{i}^{*}) = \frac{1}{n} E (X_{1}) + . . . + \frac{1}{n} E (X_{n}) = \frac{n μ}{n} = μ

$E(X_{i}^{*})=\frac{1}{n}E(X_{1})+...+\frac{1}{n}E(X_{n})=\frac{n\mu}{n}=\mu$

E (X_{i}^{* 2}) = \frac{1}{n} E (X_{1}^{2}) + . . . + \frac{1}{n} E (X_{n}^{2}) = \frac{n (μ^{2} + σ^{2})}{n} = μ^{2} + σ^{2},

$E(X_{i}^{*2})=\frac{1}{n}E(X_{1}^{2})+...+\frac{1}{n}E(X_{n}^{2})=\frac{n(\mu^{2}+\sigma^{2})}{n}=\mu^{2}+\sigma^{2}\>,$

V a r (X_{i}^{*}) = E (X_{i}^{* 2}) - (E (X_{i}^{*}))^{2} = μ^{2} + σ^{2} - μ^{2} = σ^{2} .

$\mathrm{Var}(X_{i}^{*})=E(X_{i}^{*2})-(E(X_{i}^{*}))^{2}=\mu^{2}+\sigma^{2}-\mu^{2}=\sigma^{2} \>.$

จากนั้น และ ตั้งแต่ ' s เป็นอิสระ สิ่งนี้จะให้

E ({\bar{X}}_{n}^{* * * *}) = E (\frac{1}{n} Σ_{ผม = 1}^{n} X_{ผม}^{* * * *}) = \frac{1}{n} Σ_{ผม = 1}^{n} E (X_{ผม}^{* * * *}) = \frac{n μ}{n} = μ

$E(\bar{X}_{n}^{*})=E(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_{i}^{*})=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}E(X_{i}^{*})=\frac{n\mu}{n}=\mu$

V a R ({\bar{X}}_{n}^{* * * *}) = V a R (\frac{1}{n} Σ_{ผม = 1}^{n} X_{ผม}^{* * * *}) = \frac{1}{n^{2}} Σ_{ผม = 1}^{n} V a R (X_{ผม}^{* * * *})

$\mathrm{Var}(\bar{X}_{n}^{*})=\mathrm{Var}(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_{i}^{*})=\frac{1}{n^{2}}\sum_{i=1}^{n}\mathrm{Var}(X_{i}^{*})$

X_{i}^{*}

$X_{i}^{*}$

V a r ({\bar{X}}_{n}^{*}) = \frac{n σ^{2}}{n^{2}} = \frac{σ^{2}}{n}

$\mathrm{Var}(\bar{X}_{n}^{*})=\frac{n\sigma^{2}}{n^{2}}=\frac{\sigma^{2}}{n}$

อย่างไรก็ตามฉันไม่ได้รับคำตอบเหมือนกันเมื่อฉันใช้กับและใช้สูตรสำหรับการแปรปรวนแบบมีเงื่อนไข: $X_{1},\ldots,X_{n}$

V a R ({\bar{X}}_{n}^{* * * *}) = E (V a R ({\bar{X}}_{n}^{* * * *} | X_{1}, . . ., X_{n})) + V a R (E ({\bar{X}}_{n}^{* * * *} | X_{1}, ..., X_{n})) .

$\mathrm{Var}(\bar{X}_{n}^{*})=E(\mathrm{Var}(\bar{X}_{n}^{*}|X_{1},...,X_{n}))+\mathrm{Var}(E(\bar{X}_{n}^{*}|X_{1},\ldots,X_{n})) \>.$

$E(\bar{X}_{n}^{*}|X_{1},\ldots,X_{n})=\bar{X}_{n}$ และดังนั้นการเสียบสิ่งเหล่านี้ลงในสูตรด้านบนจะให้ (หลังจากพีชคณิตบางตัว){2}} $\mathrm{Var}(\bar{X}_{n}^{*}|X_{1},\ldots,X_{n})=\frac{1}{n^{2}}(\sum X_{i}^{2}-n\bar{X}_{n}^{2})$ $\mathrm{Var}(\bar{X}_{n}^{*})=\frac{(2n-1)\sigma^{2}}{n^{2}}$

ฉันทำอะไรผิดที่นี่เหรอ? ความรู้สึกของฉันคือฉันไม่ได้ใช้สูตรแปรปรวนตามเงื่อนไขอย่างถูกต้อง แต่ฉันไม่แน่ใจ ความช่วยเหลือใด ๆ ที่จะได้รับการชื่นชม

— rrruss
แหล่งที่มา

อาจคำนวณ V (E (X | X1 ..Xn)) ของคุณไม่ถูกต้อง คำตอบควรเหมือนกัน

คุณอาจพูดถูก แต่คำตอบนี้ดูเหมือนจะไม่ให้ข้อมูลที่ดีนัก บางทีคุณอาจชี้ไปที่ส่วนใดไม่ถูกต้อง?

— whuber

5

คำตอบที่ถูกต้องคือ 2 ทางออกคือ # 4 ที่นี่ $\frac{n-1}{n^2}S^2$

— เกร็ก
แหล่งที่มา

4

นี้อาจจะเป็นคำตอบที่ปลาย แต่สิ่งที่ผิดในการคำนวณของคุณต่อไปนี้: คุณได้สันนิษฐานว่าไม่มีเงื่อนไขตัวอย่างบูตของคุณ IID นี่เป็นเท็จ: ตามเงื่อนไขในตัวอย่างของคุณตัวอย่างบูตสแตรปเป็นจริงแน่นอน แต่โดยไม่มีเงื่อนไขคุณจะสูญเสียความเป็นอิสระ (แต่คุณยังคงมีตัวแปรสุ่มแบบกระจาย) นี่คือการออกกำลังกายที่ 13 ใน Larry Wasserman สถิติที่ไม่ใช่พารามิเตอร์ทั้งหมด

— M Turgeon
แหล่งที่มา