การแปลง betas ที่ได้มาตรฐานกลับไปเป็นตัวแปรดั้งเดิม

ฉันรู้ว่านี่อาจเป็นคำถามง่าย ๆ แต่หลังจากค้นหาฉันไม่พบคำตอบที่ฉันค้นหา

ฉันมีปัญหาที่ฉันจำเป็นต้องสร้างมาตรฐานให้กับตัวแปรที่เรียกใช้ (การถดถอยริดจ์) เพื่อคำนวณค่าประมาณสันเขาของเบต้า

ฉันต้องแปลงกลับไปเป็นขนาดดั้งเดิม

แต่ฉันจะทำสิ่งนี้ได้อย่างไร

ฉันพบสูตรสำหรับกรณีที่มีการแปรสภาพนั้น

β^{*} = \hat{β} \frac{S_{x}}{S_{y}} .

$\beta^* = \hat\beta \frac{S_x}{S_y} \>.$

สิ่งนี้ได้รับใน D. Gujarati เศรษฐมิติพื้นฐานหน้า 175 สูตร (6.3.8)

โดยที่เป็นตัวประมาณจากการถดถอยที่ทำงานบนตัวแปรมาตรฐานและเป็นตัวประมาณเดียวกันที่แปลงกลับไปเป็นมาตราส่วนดั้งเดิมคือค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานตัวอย่างของรีจีสเตอร์และคือค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานตัวอย่าง $\beta^*$ $\hat\beta$ $S_y$ $S_x$

น่าเสียดายที่หนังสือเล่มนี้ไม่ครอบคลุมผลลัพธ์ที่คล้ายคลึงกันสำหรับการถดถอยหลายครั้ง

นอกจากนี้ฉันไม่แน่ใจว่าฉันเข้าใจคดี bivariate หรือไม่ การปรับพีชคณิตอย่างง่ายให้สูตรในระดับเดิม: $\hat\beta$

\hat{β} = β^{*} \frac{S_{y}}{S_{x}}

$\hat\beta=\beta^* \frac{S_y}{S_x}$

ดูเหมือนว่าแปลกสำหรับฉันที่ที่คำนวณกับตัวแปรที่ได้รับการยุบแล้วจะต้องมีการยุบโดยอีกครั้งเพื่อที่จะถูกแปลงกลับ? (และทำไมค่าเฉลี่ยไม่ถูกเพิ่มเข้ามา) $\hat\beta$ $S_x$ $S_x$

ดังนั้นใครบางคนสามารถอธิบายวิธีการทำเช่นนี้สำหรับกรณีหลายตัวแปรโดยมีแหล่งที่มาเพื่อให้ฉันเข้าใจผลลัพธ์

— Baz
แหล่งที่มา

สำหรับรูปแบบการถดถอยโดยใช้ตัวแปรมาตรฐานเราถือว่ารูปแบบต่อไปนี้สำหรับบรรทัดการถดถอย

E [Y] = β_{0} + \sum_{j = 1}^{k} β_{j} z_{j},

$\mathbb E[Y] =\beta_{0}+\sum_{j=1}^{k}\beta_{j}z_{j},$

โดยที่คือ j-th (มาตรฐาน) regressor สร้างขึ้นจากโดยการลบค่าเฉลี่ยตัวอย่างและหารด้วยค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานตัวอย่าง : $z_{j}$ $x_j$ $\bar x_j$ $S_j$

z_{j} = \frac{x_{j} - {\bar{x}}_{j}}{S_{j}}

$z_j = \frac{x_j - \bar{x}_j}{S_j}$

ดำเนินการถดถอยด้วย regressors ที่เป็นมาตรฐานเราจะได้รับบรรทัดการถดถอยที่เหมาะสม:

\hat{Y} = {\hat{β}}_{0} + \sum_{j = 1}^{k} {\hat{β}}_{j} z_{j}

$\hat Y = \hat \beta_0 +\sum_{j=1}^{k} \hat \beta_{j}z_{j}$

ตอนนี้เราต้องการค้นหาสัมประสิทธิ์การถดถอยสำหรับเครื่องทำนายที่ไม่ได้มาตรฐาน เรามี

\hat{Y} = {\hat{β}}_{0} + \sum_{j = 1}^{k} {\hat{β}}_{j} (\frac{x_{j} - {\bar{x}}_{j}}{S_{j}})

$\hat Y = \hat \beta_0 +\sum_{j=1}^{k} \hat \beta_{j}\left(\frac{x_j - \bar{x}_j}{S_j}\right)$

การจัดเรียงใหม่นิพจน์นี้สามารถเขียนเป็น

\hat{Y} = ({\hat{β}}_{0} - \sum_{j = 1}^{k} {\hat{β}}_{j} \frac{{\bar{x}}_{j}}{S_{j}}) + \sum_{j = 1}^{k} (\frac{{\hat{β}}_{j}}{S_{j}}) x_{j}

$\hat Y = \left( \hat \beta_0 - \sum_{j=1}^k \hat \beta_j \frac{\bar x_j}{S_j} \right) + \sum_{j=1}^k \left(\frac{\hat \beta_j}{S_j}\right) x_j$

ในฐานะที่เราสามารถมองเห็นตัดสำหรับการถดถอยโดยใช้ตัวแปรที่ไม่เปลี่ยนจะได้รับจาก{} ค่าสัมประสิทธิ์การถดถอยของ -th ทำนายมี{} $\hat \beta_0 - \sum_{j=1}^k \hat \beta_j \frac{\bar x_j}{S_j}$ $j$ $\frac{\hat \beta_j}{S_j}$

ในกรณีที่นำเสนอฉันได้สันนิษฐานว่ามีเพียงผู้ทำนายเท่านั้นที่ได้มาตรฐาน หากมีตัวแปรมาตรฐานการตอบสนองด้วยเช่นกันการแปลงค่าสัมประสิทธิ์ covariate กลับไปเป็นมาตราส่วนดั้งเดิมนั้นทำได้โดยใช้สูตรจากข้อมูลอ้างอิงที่คุณให้ เรามี:

\frac{E [Y] - \hat{y}}{S_{y}} = β_{0} + \sum_{j = 1}^{k} β_{j} z_{j}

$\frac{\mathbb E[Y] - \hat y}{S_y} =\beta_{0}+\sum_{j=1}^{k}\beta_{j}z_{j}$

เมื่อดำเนินการถดถอยเราจะได้สมการการถดถอยที่พอดี

{\hat{Y}}_{s c a l e d} = \frac{{\hat{Y}}_{u n s c a l e d} - \bar{y}}{S_{y}} = {\hat{β}}_{0} + \sum_{j = 1}^{k} {\hat{β}}_{j} (\frac{x_{j} - {\bar{x}}_{j}}{S_{j}}),

$\hat Y_{scaled} = \frac{\hat Y_{unscaled} - \bar y}{S_y} = \hat \beta_0 +\sum_{j=1}^{k} \hat \beta_{j}\left(\frac{x_j - \bar{x}_j}{S_j}\right),$

ที่ค่าติดตั้งอยู่ในระดับของการตอบสนองมาตรฐาน หากต้องการยกเลิกการกำหนดขนาดแล้วกู้คืนค่าสัมประสิทธิ์สำหรับแบบจำลองที่ไม่แปรเปลี่ยนเราคูณสมการด้วยและนำค่าเฉลี่ยตัวอย่างของไปยังอีกด้านหนึ่ง: $S_y$ $y$

{\hat{Y}}_{u n s c a l e d} = {\hat{β}}_{0} S_{y} + \bar{y} + \sum_{j = 1}^{k} {\hat{β}}_{j} (\frac{S_{y}}{S_{j}}) (x_{j} - {\bar{x}}_{j}) .

$\hat Y_{unscaled} = \hat \beta_0 S_y + \bar y +\sum_{j=1}^{k} \hat \beta_{j}\left(\frac{S_y}{S_j}\right) (x_j - \bar{x}_j).$

การสกัดกั้นที่สอดคล้องกับแบบจำลองที่ไม่มีการตอบสนองหรือตัวทำนายที่ได้มาตรฐานจึงได้รับโดย ขณะที่ค่าสัมประสิทธิ์ตัวแปรร่วมสำหรับรูปแบบที่น่าสนใจสามารถรับได้โดยการคูณค่าสัมประสิทธิ์แต่ละกับS_j $\hat \beta_0 S_y + \bar y - \sum_{j=1}^k \hat \beta_j \frac{S_y}{S_j}\bar x_j$ $S_y / S_j$

— Philipp Burckhardt
แหล่งที่มา