ความน่าจะเป็นที่ตัวแปรสุ่มต่อเนื่องถือว่าเป็นจุดคงที่

11

ผมอยู่ในระดับสถิติเบื้องต้นในการที่ฟังก์ชั่นความหนาแน่นของความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่มต่อเนื่องได้รับการกำหนดให้เป็นฉ ฉันเข้าใจว่าอินทิกรัลของแต่ฉันไม่สามารถแก้ไขสิ่งนี้ได้ด้วยสัญชาตญาณตัวแปรสุ่มแบบต่อเนื่อง Say X เป็นตัวแปรสุ่มเท่ากับจำนวนนาทีจากเวลาที่รถไฟมาถึง ฉันจะคำนวณความน่าจะเป็นที่รถไฟมาถึง 5 นาทีจากนี้ได้อย่างไร ความน่าจะเป็นนี้จะเป็นศูนย์ได้อย่างไร มันเป็นไปไม่ได้เหรอ? เกิดอะไรขึ้นถ้ารถไฟไม่มาถึงตรง 5 นาทีจากตอนนี้ว่ามันจะเกิดขึ้นถ้ามันมีความน่าจะเป็น 0? $P\left\{X\in B\right\}=\int_B f\left(x\right)dx$ $\int\limits_a^af(x)dx=0$

ขอบคุณ

— geofflittle
แหล่งที่มา

2

การยืนคำถามเหล่านี้ไว้บนหัวของพวกเขาจะเป็นประโยชน์ เช่นถ้าสัญชาตญาณของคุณบอกว่าทุกครั้งที่เป็นไปได้จะต้องมีความน่าจะเป็นบวกอย่างแน่นอนดังนั้น - เนื่องจากมีช่วงเวลาที่เป็นไปไม่ได้นับไม่ได้ในทุกช่วงเวลา - สัญชาตญาณของคุณแสดงถึงความน่าจะเป็นทั้งหมด เห็นได้ชัดว่าสัญชาตญาณผิด สิ่งหนึ่งที่ต้องยกเลิกคือความคิดที่ว่าความน่าจะเป็นที่เป็นศูนย์นั้นหมายถึงความเป็นไปไม่ได้: นั่นไม่เป็นความจริง ความน่าจะเป็นที่ไม่ได้บ่งบอกถึงความแน่นอน

— whuber

@whuber นั่นคือสิ่งที่ฉันไม่สามารถแก้ไขได้ หากความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นคือ 0 มันจะไม่เกิดขึ้น ตัวอย่างเช่นถ้าฉันมีตายหกด้านมาตรฐานความน่าจะเป็นที่ฉันหมุนหมายเลขใด ๆ

เป็น 0 และดังนั้นจะไม่เกิดขึ้น นอกจากนี้เหตุการณ์ที่มีความน่าจะเป็น 1 จะไม่แน่ใจในการทดสอบครั้งต่อไปอย่างไร คุณช่วยยกตัวอย่างได้ไหม

Z ∖ {1, 2, 3, 4, 5, 6}

$\mathcal{Z}\setminus\left\{1,2,3,4,5,6\right\}$

— geofflittle

1

สมมติว่าคุณเห็นวงกลมที่มีคอร์ดปรากฏขึ้นและดูเหมือนว่าเป็นเส้นผ่านศูนย์กลางทำให้คุณสงสัยว่า "อะไรคือโอกาสที่คอร์ดที่ถูกเลือกแบบสุ่มจะไม่เป็นเส้นผ่านศูนย์กลาง" เมื่อคอร์ดจะได้รับโดยการเลือกคู่ของจุดสม่ำเสมอและเป็นอิสระพร้อมเส้นรอบวงคำตอบคือ

, แต่เหตุการณ์นี้ไม่ได้เกิดขึ้น นั่นแสดงให้เห็น (ค่อนข้างแข็งแกร่ง!) หลักฐานว่าคอร์ดไม่ใช่ผลลัพธ์ของกระบวนการสุ่มที่คุณโพสต์ บทเรียนหนึ่งที่ได้รับจากการทดลองทางความคิดเช่นนั้นก็คือสัญชาตญาณที่อยู่บนพื้นที่ จำกัด ความน่าจะเป็นไม่ได้พูดคุยกันเสมอไป

1

$1$

— whuber

8

คุณอาจตกหลุมพรางของ 'ห้านาทีต่อจากนี้' เป็นเวลานานแน่นอน (ซึ่งจะมีความเป็นไปได้ที่ไม่ใช่ศูนย์)

"ห้านาทีต่อจากนี้" ในความรู้สึกแปรปรวนอย่างต่อเนื่องเป็นจริงทันที

ลองนึกภาพว่าการมาถึงของรถไฟขบวนต่อไปจะมีการแจกจ่ายอย่างสม่ำเสมอระหว่างเวลา 8:00 น. ถึง 8:15 น. ลองจินตนาการอีกครั้งว่าเรากำหนดการมาถึงของรถไฟเมื่อเกิดขึ้นทันทีที่ด้านหน้าของรถไฟผ่านจุดใดจุดหนึ่งบนสถานี (อาจเป็นจุดกึ่งกลางของชานชาลาถ้าไม่มีจุดสังเกตที่ดีกว่า) พิจารณาลำดับความน่าจะเป็นต่อไปนี้:

a) ความน่าจะเป็นที่รถไฟมาถึงระหว่าง 8:05 ถึง 8:10

b) ความน่าจะเป็นที่รถไฟมาถึงระหว่าง 8:05 ถึง 8:06

c) ความน่าจะเป็นที่รถไฟมาถึงระหว่าง 8:05:00 น. และ 8:05:01 น

d) ความน่าจะเป็นที่รถไฟมาถึงระหว่าง 8:05:00 น. และ 8: 05: 00.01 (เช่นในช่วงระยะเวลาหนึ่งร้อยของวินาที

e) ความน่าจะเป็นที่รถไฟมาถึงระหว่าง 8:05 ถึงหนึ่งพันล้านของวินาทีต่อมา

f) ความน่าจะเป็นที่รถไฟมาถึงระหว่าง 8:05 ถึงหนึ่งในสี่ของล้านในภายหลัง

... และต่อไป

ความน่าจะเป็นที่มาถึงอย่างแม่นยำที่ 8:05 คือค่าที่ จำกัด ของลำดับความน่าจะเป็นแบบนั้น น่าจะมีขนาดเล็กกว่าทุก 0 $\epsilon>0$

— Glen_b -Reinstate Monica
แหล่งที่มา

ฉันเข้าใจสิ่งนี้ แต่ถ้ารถไฟมาถึงก็มาถึงในบางเวลา เหตุใดขีด จำกัด นี้จึงยังไม่บรรจบกับความน่าจะเป็นบางอย่าง

— geofflittle

หากคุณเข้าใจตามที่คุณพูดคุณสามารถคำนวณความน่าจะเป็นในรูปแบบที่ระบุ ให้ฉันทำให้มันง่ายขึ้น: ลองนึกภาพเพื่อความสะดวกในการคำนวณว่าเวลาที่แน่นอนที่รถไฟ "มาถึง" (แต่เรากำหนดไว้ตราบใดที่มันต่อเนื่องจริง ๆ ) ในเวลาที่กระจายอย่างสม่ำเสมอในช่วงเวลา (0,1) เป็นหน่วยเวลาที่สะดวก) ความน่าจะเป็นที่รถไฟมาถึงก่อนเวลา

สำหรับ

ภายในช่วงเวลาเท่าใด มีอะไรน่าจะเป็นที่จะมาถึงหลังจากเวลา

? ความน่าจะเป็นที่มาถึงระหว่าง

และ

คือเท่าใด ... (ctd)

x

$x$

x

$x$

x

$x$

x

$x$

x + d x

$x+dx$

— Glen_b -Reinstate Monica

(CTD) ... จะบอกว่ามันถึงเวลา

'สำหรับตัวแปรต่อเนื่องหมายถึง "สิ่งที่เป็นขีด จำกัด ของการว่าน่าจะเป็นครั้งสุดท้ายในฐานะ

. ดังนั้นสิ่งที่เป็นข้อ จำกัด ที่? เคยทำมันออกมานั่นคือความน่าจะเป็นที่มาบรรจบกันคุณลักษณะนี้มีความเกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดกับสิ่งที่ทำให้ PDF ต่อเนื่องต่อเนื่อง

x

$x$

d x \to 0 ?

$dx\to 0?$

— Glen_b

โปรดทราบว่าหากขีด จำกัด สุดท้ายนั้นเป็นอะไรก็ได้ แต่เป็นศูนย์ความน่าจะเป็นสามอย่างของคุณ (ก่อน

, หลัง

และ "ที่"

) จะไม่เพิ่มเป็น 1

x

$x$

x

$x$

x

$x$

— Glen_b

5

ถ้ารถไฟมาถึง 5 นาทีจากนี้จะเกิดขึ้นได้อย่างไรถ้ามีโอกาสเป็น 0

ข้อความเกี่ยวกับความน่าจะเป็นไม่ใช่คำแถลงเกี่ยวกับความเป็นไปได้ / ความเป็นไปได้ของเหตุการณ์ มันสะท้อนให้เห็นถึงความพยายามของเราในการประเมินความไม่แน่นอนของปริมาณที่เกิดขึ้นเท่านั้น ดังนั้นเมื่อปรากฏการณ์อย่างต่อเนื่อง (หรือเป็นแบบจำลองเป็นหนึ่ง) จากนั้นเครื่องมือและสถานะปัจจุบันของความรู้ของเราไม่อนุญาตให้เราเพื่อให้มีคำสั่งน่าจะเกี่ยวกับเรื่องการคุ้มค่าที่เฉพาะเจาะจง เราสามารถสร้างคำแถลงดังกล่าวที่เกี่ยวข้องกับช่วงเท่านั้นของค่า แน่นอนว่ากลอุบายทั่วไปที่นี่คือการแยกการสนับสนุนเพื่อพิจารณาช่วงเวลา "เล็ก ๆ " ของค่ามากกว่าค่าเดียว เนื่องจากตัวแปรสุ่มต่อเนื่องนำมาซึ่งประโยชน์และความยืดหยุ่นที่ยอดเยี่ยมเมื่อเทียบกับตัวแปรสุ่มแบบแยกนี่จึงเป็นราคาที่ค่อนข้างเล็กที่ต้องจ่ายบางทีอาจจะเล็กตามช่วงเวลาที่เราถูกบังคับให้ต้องพิจารณา

— Alecos Papadopoulos
แหล่งที่มา

Pr (X = a) = 0

$\Pr(X=a)=0$

X

$X$

2

สวัสดี @whuber เกี่ยวกับความแตกต่างระหว่างแบบจำลองและปรากฏการณ์แผนที่ของโลกไม่ใช่โลก แต่อาจช่วยให้คุณท่องโลกได้ นี่คือสิ่งที่ฉันคิดเกี่ยวกับแบบจำลองเมื่อฉันไม่ถือว่าพวกเขาเป็นวัตถุที่มีความสุขทางปัญญาล้วนๆ สำหรับประเด็น "ความน่าจะเป็นศูนย์" มันเป็นความไม่สมบูรณ์หลังจากทั้งหมดมันจะดีหรือไม่ที่จะได้รับประโยชน์ทั้งหมดของความต่อเนื่องและสามารถสร้างความน่าจะเป็นเกี่ยวกับค่าเดียวได้หรือไม่? แต่ความไม่สมบูรณ์ไม่ได้ทำให้สิ่งที่ไม่เหมาะสมแน่นอนและในขณะที่ฉันเขียนความไม่สมบูรณ์นี้ได้พิสูจน์ว่ามีความสำคัญเล็กน้อย

— Alecos Papadopoulos

คุณคิดโดยนัยว่าความน่าจะเป็นเป็นสิ่งที่มีวัตถุประสงค์ "ออกมี" ในการเปรียบเทียบการทำแผนที่ของคุณ แต่ก็ไม่ได้ ความน่าจะเป็นมีความหมายเฉพาะภายในแบบจำลองเท่านั้น ฉันไม่เห็น "ความไม่สมบูรณ์" ในสัจพจน์ของความน่าจะเป็นและแน่นอนว่าเราสามารถสร้างข้อความที่ถูกต้องและสอดคล้องกันเกี่ยวกับความน่าจะเป็นของค่าเดียว: บ่อยครั้งที่พวกเขามีค่าเป็นศูนย์

— whuber

2

@whuber ไม่ฉันไม่คิดอย่างนั้นและฉันไม่เข้าใจที่คุณเห็นในสิ่งที่ฉันเขียน ฉันพูดว่า "แผนที่ไม่ใช่โลก" ซึ่งหมายถึง "สิ่งที่อยู่ในรูปแบบไม่มีอยู่จริง" ดังนั้นคุณจะอนุมานได้อย่างไรจากสิ่งที่ตรงกันข้าม "ความไม่สมบูรณ์" ไม่ได้อ้างถึงสัจพจน์ของความน่าจะเป็น แต่ความจริงที่ว่าเครื่องมือเหล่านี้นำเราไปสู่ความจริงใดและเครื่องมือเหล่านี้สามารถนำไปใช้ในการสร้างแบบจำลองศึกษาและเข้าใจโลกแห่งความเป็นจริงได้อย่างไร และเป็นที่ชัดเจนว่าฉันเชื่อว่าความน่าจะเป็นเป็นเครื่องมือที่มีประสิทธิภาพ

— Alecos Papadopoulos

4

เพื่อให้คุณได้สัญชาตญาณสำหรับข้างต้นลองการทดลอง (คิด) ต่อไปนี้:

วาดเส้นจริงรอบศูนย์ด้วยไม้บรรทัด ตอนนี้ใช้ลูกดอกที่แหลมแล้วปล่อยให้มันตกลงมาจากข้างบนโดยการสุ่มบนเส้น (สมมติว่าคุณจะโดนเส้นเสมอและมีเพียงตำแหน่งด้านข้างเท่านั้นที่มีความสำคัญในการโต้แย้ง)

อย่างไรก็ตามหลาย ๆ ครั้งที่คุณปล่อยให้โผตกบนเส้นอย่างสุ่มคุณจะไม่โดนจุดศูนย์ ทำไม? คิดว่าอะไรคือจุดศูนย์คิดว่าความกว้างของมันคืออะไร และหลังจากที่คุณรู้ว่าความกว้างของมันคือ 0 คุณยังคิดว่าคุณสามารถตีมันได้หรือไม่?

คุณจะสามารถไปยังจุดที่ 1 หรือ -2 ได้หรือไม่? หรือจุดอื่นใดที่คุณเลือกบนบรรทัดสำหรับเรื่องนั้น?

เพื่อกลับไปที่คณิตศาสตร์นี่คือความแตกต่างระหว่างโลกทางกายภาพและแนวคิดทางคณิตศาสตร์เช่นตัวเลขจริง (แสดงโดยเส้นจริงในตัวอย่างของฉัน) ทฤษฎีความน่าจะเป็นมีความหมายของความน่าจะเป็นที่ซับซ้อนกว่าที่คุณเห็นในการบรรยาย ในการหาปริมาณความน่าจะเป็นของเหตุการณ์และผลลัพธ์ที่รวมกันคุณต้องมีการวัดความน่าจะเป็น ทั้งการวัด Borelและการวัด Lebesgueถูกกำหนดไว้สำหรับช่วงเวลา [a, b] ในบรรทัดจริงเป็น: จากคำจำกัดความนี้คุณสามารถเห็นสิ่งที่เกิดขึ้นกับความน่าจะเป็นถ้าคุณลดช่วงเวลา เป็นตัวเลข (ตั้งค่า a = b)

μ ([a, ข]) = ข - a

$\mu([a,b])=b-a$

บรรทัดล่างคือตามคำจำกัดความปัจจุบันของทฤษฎีความน่าจะเป็น (ย้อนหลังไปถึง Kolmogorov) ความจริงที่ว่าเหตุการณ์ที่มีความน่าจะเป็น 0 ไม่ได้หมายความว่ามันจะไม่เกิดขึ้น

และตราบใดที่ตัวอย่างของคุณไปกับรถไฟหากคุณมีนาฬิกาที่แม่นยำอย่างไม่สิ้นสุดรถไฟของคุณจะไม่มาถึงที่ตรงเวลา

— หมายถึงการมีความหมาย
แหล่งที่มา

คุณพูดว่า "คุณจะไม่มีวันตีจุดศูนย์" แต่คุณสามารถพูดถึงจุดที่ฉันตีลูกดอกปาลูกแรกได้อย่างไร ให้เป็นจุดที่ฉันตี ก่อนที่จะปาลูกดอกฉันจะต้องพูดว่า "คุณจะไม่ตีจุด " แต่ฉันเพิ่งจะตีมัน ตอนนี้คืออะไร

x

$x$

x

$x$

— geofflittle

ฉันคิดว่าคุณต้องแยกความแตกต่างระหว่างคำถาม: ความน่าจะเป็นที่ฉันจะไปถึงจุดหนึ่งคืออะไร? ถ้าเรายอมรับว่าคุณปาเป้าปาเป้าเสมอและมันก็กระแทกที่ใดที่หนึ่งเสมอความน่าจะเป็นนั้นคือ 1 นอกจากนี้ฉันไม่ได้แค่บอกว่าคุณจะไม่ตี 0 ก่อนที่จะปาลูกดอกคือ 0 อันที่จริงแล้วคุณสามารถเลือกเซตของคะแนนได้และความน่าจะเป็นจะเป็น 0

— หมายถึงความหมาย

เกี่ยวกับคำถามของคุณฉันได้รับประเด็นของคุณแล้ว แต่การถามเกี่ยวกับความน่าจะเป็นของเหตุการณ์หลังจากเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นนั้นไม่สมเหตุสมผล คำสั่งเช่น P (X = x) หมายถึงการรับรู้ตัวแปรสุ่มแบบ X ในอนาคตดังนั้นหลังจากที่คุณถึงจุดหนึ่งฉันจะไม่พูดอะไรเกี่ยวกับมัน (แคปขนาดใหญ่ใช้เพื่อบอกเวลาการไหลเวียนไม่ต้องตะโกน…)

— หมายถึงความหมาย

1

การกระจายความน่าจะเป็นต้องมีความเป็นเอกภาพ หากการวัดต่อเนื่องจะมีค่าจำนวนอนันต์ที่สามารถรับได้ (เช่นจำนวนค่าที่ไม่สิ้นสุดตามแนวแกน x ของการแจกแจง) วิธีเดียวที่พื้นที่ทั้งหมดของการแจกแจงความน่าจะเป็นจะมีค่าสำหรับค่าที่แต่ละจำนวนอนันต์ของค่าที่จะเป็นศูนย์ หนึ่งหารด้วยอินฟินิตี้

ใน 'ชีวิตจริง' ไม่มีมาตรการใดที่ใช้ค่าจำนวนอนันต์ (โดยการโต้แย้งทางปรัชญาที่แตกต่างกันหลายเรื่องซึ่งไม่สำคัญมากที่นี่) ดังนั้นค่าไม่จำเป็นต้องมีความน่าจะเป็นที่แน่นอน ข้อโต้แย้งเชิงปฏิบัติที่มีประโยชน์ขึ้นอยู่กับความแม่นยำแน่นอนของการวัดในโลกแห่งความจริง หากคุณใช้นาฬิกาจับเวลาที่วัดได้ถึงหนึ่งในสิบของสองวินาทีรถไฟจะมีหนึ่งในสิบของวินาทีที่จะมาถึงใน 'ที่' ห้านาที

— Michael Lew
แหล่งที่มา

3

วรรคแรกที่นี่ยังมีบริการบางปรีชาคลุมเครือแม้ว่าขั้นตอนนิรนัยไม่ถูกต้อง มีการแจกแจงมากมายที่ยอมรับจำนวนอนันต์ของค่า แต่แต่ละค่ามีความน่าจะเป็นบวกอย่างเคร่งครัด ย่อหน้าที่สองอาจได้รับประโยชน์จากการอ้างอิงที่เน้นว่าค่าการวัดแต่ละค่านั้นเชื่อมโยงช่วงเวลา (เล็ก) ของค่าที่เป็นไปได้ของปริมาณดอกเบี้ยที่สนใจ

— พระคาร์ดินัล

อะไรคือความแตกต่างระหว่างค่าบวกอย่างเคร่งครัด (ของค่า จำกัด หารด้วยอนันต์?) และศูนย์ในบริบทนี้

— Michael Lew

2

จุดของฉันอาจทำไม่ดีคือการโต้แย้งในวรรคแรกจะขึ้นอยู่กับหลักฐานเท็จว่าเพราะตัวแปรสุ่มสามารถใช้ในค่ามากมายอนันต์แต่ละผลลัพธ์จะต้องมีศูนย์น่าจะเป็น แน่นอนว่าไม่ถูกต้อง (Poisson, เรขาคณิต ฯลฯ ); แนวคิดของ "อินฟินิตี้" ไม่ได้เป็นแข็งแรงพอที่นี่เราต้องuncountability

— พระคาร์ดินัล

0

$A$ $A$

ฉันกำลังเขียนสิ่งนี้เพื่อหวังว่าจะได้พูดถึงสิ่งอื่นที่ OP กล่าวในความคิดเห็น:

คุณพูดว่า "คุณจะไม่มีวันตีจุดศูนย์" แต่คุณสามารถพูดถึงจุดที่ฉันตีลูกดอกปาลูกแรกได้อย่างไร ให้𝑥เป็นจุดที่ฉันตี ก่อนที่จะปาลูกดอกคุณจะต้องพูดว่า "คุณจะไม่ตีจุด𝑥" แต่ฉันเพิ่งจะตีมัน ตอนนี้คืออะไร

$(\Omega, A, \mu)$ $\Omega$ $\mathbb{R}$ $\mathbb{Z}$ $\mathbb{R}$ $\mu$ $\mu(\Omega) = 1$ $([a,b], \text{all half open intervals on $[a,b]$}, \nu)$ $\nu$ $\nu( [c,d) ) = \frac{1}{d - c}$ $x \in [a,b]$ $\mathcal{F} = \{\mathcal{F}_t\}_{t \geq 0}$ $A$ $\mathcal{F}_t \subseteq \mathcal{F}_s$ $t < s$

F_{เสื้อ} = {x \in [a, ข] : โผตี x ในเวลา {เสื้อ}^{'} < เสื้อ} .

$\mathcal{F}_t = \{x \in [a,b]: \text{dart hit $x$ at time $t' < t$} \}.$ $\mathcal{F}_1$

Ω .

$\Omega.$

ν ([c, d]) = (d - c) / (b - a) .

$\nu([c,d])=(d-c)/(b-a).$ ในระดับพื้นฐานมากขึ้นมันไม่ชัดเจนว่าทำไมคุณต้องเรียกใช้เครื่องจักรของกระบวนการสโทแคสติกเพื่อพูดคุยเกี่ยวกับการสร้างแบบจำลองตัวแปรแบบสุ่มเวลาของเหตุการณ์เดียวและไม่ชัดเจนว่านี่เป็นข้อมูลเชิงลึกใด ๆ

— whuber