เงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอในการร่วม MGF เพื่อความเป็นอิสระ

สมมติว่าฉันมีร่วมฟังก์ชั่นช่วงเวลาที่สร้างสำหรับการจัดจำหน่ายร่วมกับ CDFy) คือทั้งที่จำเป็นและเพียงพอเงื่อนไขในการเป็นอิสระของและ ? ฉันตรวจสอบหนังสือสองเล่มซึ่งกล่าวถึงความจำเป็นเท่านั้น:F X , Y ( x , y ) M X , Y ( s , t ) = M X , Y ( s , 0 ) ⋅ M X , Y ( 0 , t $M_{X,Y}(s,t)$$F_{X,Y}(x,y)$$M_{X,Y}(s,t)=M_{X,Y}(s,0)⋅M_{X,Y}(0,t)$$X$$Y$

$$F_{X,Y}(x,y)=F_X(x)\cdot F_Y(y) \implies M_{X,Y}(s,t)=M_X(s) \cdot M_Y(t)$$

ผลลัพธ์นั้นชัดเจนว่าอิสรภาพหมายถึงTY) เนื่องจาก MGF ของมาร์จิ้นถูกกำหนดโดย MGF ร่วมเรามี$M_{X,Y}(s,t)=\mathbb{E}(e^{sX+tY})=\mathbb{E}(e^{sX}) \mathbb{E}(e^{tY})$

$$X,Y\text{ independent} \implies M_{X,Y}(s,t)=M_{X,Y}(s,0)⋅M_{X,Y}(0,t)$$

แต่หลังจากการค้นหาออนไลน์ฉันพบเพียงการอ้างอิงหายวับไปโดยไม่มีหลักฐานที่จะสนทนา หลักฐานภาพร่างต่อไปนี้สามารถใช้งานได้หรือไม่

ด้วยข้อต่อ MGFสิ่งนี้จะกำหนดขอบเขตการแจกแจงของและและ MGF ของพวกเขา, และt) ระยะขอบเพียงอย่างเดียวเข้ากันได้กับการแจกแจงร่วมที่เป็นไปได้อื่น ๆ และกำหนดการกระจายการร่วมที่และไม่ซ้ำกันโดยมี CDFและ MGF:X Y M X ( s ) = M X , Y ( s , 0 ) M Y ( t ) = M X , Y ( 0 , t ) X Y F ind X , Y ( x , y ) = F X ( x ) ⋅ $M_{X,Y}(s,t)$$X$$Y$$M_X(s)=M_{X,Y}(s,0)$$M_Y(t)=M_{X,Y}(0,t)$$X$$Y$$F_{X,Y}^{\text{ind}}(x,y)=F_X(x) \cdot F_Y(y)$

$$M_{X,Y}^{\text{ind}}(s,t) = M_X(s) \cdot M_Y(t) = M_{X,Y}(s,0)⋅M_{X,Y}(0,t)$$

ดังนั้นถ้าเราได้รับสำหรับ MGF ดั้งเดิมของเรานั้นนี่คือ เพียงพอที่จะแสดงt) จากนั้นด้วยเอกภาพของ MGFs การกระจายข้อต่อดั้งเดิมของเรามีและและเป็นอิสระM X , Y ( s , t ) = M ind X , Y ( s , t ) F x , Y ( x , Y ) = F $M_{X,Y}(s,t) = M_{X,Y}(s,0)⋅M_{X,Y}(0,t)$$M_{X,Y}(s,t) = M_{X,Y}^{\text{ind}}(s,t)$X$F_{X,Y}(x,y) = F_{X,Y}^{\text{ind}}(x,y) = F_X(x) \cdot F_Y(y)$$X$$Y$

ใช่นั่นเป็นเงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอสำหรับความเป็นอิสระไม่เพียง แต่สำหรับตัวแปรสุ่มสองตัวเท่านั้น แต่ยังสำหรับลำดับ (จำกัด ) ของตัวแปรสุ่ม ลองดูตัวอย่างหน้า 2 ในหน้า 242 ของความน่าจะเป็นที่มีแอพพลิเคชั่นทางสถิติโดย Rinaldo B. Schinazi หรือหน้า 259 ของการ วิเคราะห์เศรษฐมิติของข้อมูลนับซึ่งขึ้นอยู่กับฟังก์ชันการสร้างความน่าจะเป็น เพิ่งทราบว่า "ฟังก์ชั่นสร้างโมเมนต์ไม่สามารถเกิดขึ้นได้เสมอไป"