ฉันต้องการแสดง

10

ปล่อยเป็นตัวแปรสุ่มบนพื้นที่ความน่าจะเป็นแสดงว่า $X:\Omega \to \mathbb N$ $(\Omega,\mathcal B,P)$

E (X) = \sum_{n = 1}^{\infty} P (X \geq n) .

$E(X)=\sum_{n=1}^\infty P(X\ge n).$

คำจำกัดความของฉันจากเท่ากับ $E(X)$

E (X) = \int_{Ω} X d P .

$E(X)=\int_\Omega X \, dP.$

ขอบคุณ

probability self-study expected-value

— ambagher pual
แหล่งที่มา

อืมคุณอาจต้องการที่จะเพิ่ม ... ไม่?

X \geq 0

$X\geq 0$

— สถิติ

@Stat: ไม่มี1 เป็นธรรมชาติ พิจารณาเสมอเท่ากับ 2.2)

P (X \geq 0) = 1

$P(X \ge 0) = 1$

X

$X$

X

$X$

E (X) = 2 = P (X \geq 1) + P (X \geq 2)

$E(X) = 2 = P(X\ge 1) + P(X\ge 2)$

— มกราคม

อ๊ะไม่เห็น !

N

$N$

— สถิติ

1

คำสั่งคือ (เล็กน้อย) ไม่ถูกต้องเพราะรวมถึง , บวกจะต้องเริ่มต้นที่แทน1

N

$\mathbb{N}$

0

$0$

0

$0$

1

$1$

— whuber

4

@whuber ไม่ผลรวมต้องเริ่มต้นที่ (ลองใช้กรณีเมื่อ )

n = 1

$n=1$

P [X = 42] = 1

$P[X=42]=1$

— ทำ

12

ความหมายของสำหรับต่อเนื่องคือx_i) $E(X)$ $X$ $E(X) = \sum_i x_i \cdot P(X = x_i)$

P (X \geq i) = P (X = i) + P (X = i + 1) + \dots

$P( X \ge i ) = P( X = i ) + P( X = i + 1 ) + \cdots$

ดังนั้น

\begin{aligned} \sum_{i} P (X \geq i) = P (X \geq 1) + P (X \geq 2) + \dots \\ = & P (X = 1) + P (X = 2) + P (X = 3) + \dots + P (X = 2) + P (X = 3) + \dots \end{aligned}

$\begin{align} & \sum_i P( X \ge i ) = P( X \ge 1 ) + P( X \ge 2 ) + \cdots \\[8pt] = {} & P( X = 1 ) + P( X = 2 ) + P( X = 3 ) + \cdots + P(X = 2 ) + P( X = 3 ) + \cdots \end{align}$

(เราจัดเรียงข้อกำหนดในการแสดงออกล่าสุด)

\begin{aligned} = 1 \cdot P (X = 1) + 2 \cdot P (X = 2) + 3 \cdot P (X = 3) + \dots \\ = \sum_{i} i \cdot P (X = i) \end{aligned}

$\begin{align} & = 1 \cdot P( X = 1 ) + 2 \cdot P( X = 2 ) + 3 \cdot P( X = 3 ) + \cdots \\[8pt] & = \sum_i i \cdot P( X = i ) \end{align}$

QED

— มกราคม
แหล่งที่มา

4

คุณควรให้คำแนะนำที่เป็นประโยชน์สำหรับแท็กศึกษาด้วยตนเองไม่ใช่คำตอบที่สมบูรณ์ มันจะดีกว่าที่จะไม่แก้ปัญหาของพวกเขาได้รับมอบหมาย :)

— สถิติ

1

คุณไม่จำเป็นต้องอธิบายว่าทำไมคุณสามารถสั่งซื้อซ้ำอีกครั้งได้หรือไม่ นั่นจะเป็นสิ่งสำคัญหากคุณกำลังมองหาการสาธิตที่เข้มงวด

— มานูเอล

@ January.in คำถามคือตัวแปรสุ่มไม่พูดถึงคือไม่ต่อเนื่องหรือต่อเนื่อง

X

$X$

X

$X$

— pual ambagher

1

ใช่คุณได้ระบุว่านั้นไม่ต่อเนื่องในบรรทัดแรก: "discrete" (ในความหมายที่กว้างที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้) หมายความว่ามีเซตย่อยที่นับได้ของช่วงของตัวแปรที่มีความน่าจะเป็น ; และเนื่องจากสามารถนับได้ของคุณต้องไม่ต่อเนื่อง

X

$X$

1

$1$

N

$\mathbb{N}$

X

$X$

— whuber

@ whuber.I เห็นด้วยและรับมันและขอบคุณจากทั้งหมด

— pual ambagher

11

ฉันชอบคำตอบของเดือนมกราคม ฉันขอแนะนำวิธีในการเขียนซีรี่ส์เพื่อให้ตาจับการจัดเรียงใหม่ได้ง่ายขึ้น (นี่คือวิธีที่ฉันชอบเขียนลงบนกระดานดำ)? (การจัดเรียงใหม่จะมีเสียงทางคณิตศาสตร์เพราะนี่เป็นชุดของคำศัพท์เชิงบวก )

\begin{array}{rcl} \sum_{k = 1}^{\infty} P (X \geq k) & = & P (X \geq 1) = P (X = 1) & + & P (X = 2) & + & P (X = 3) & + & \dots \\ + & P (X \geq 2) & + & P (X = 2) & + & P (X = 3) & + & \dots \\ + & P (X \geq 3) & + & P (X = 3) & + & \dots \\ + & \dots & + & \dots \end{array}

$\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^\infty P(X\geq k) &=& \quad P(X\geq 1) \quad=\quad P(X=1)&+&P(X=2)&+&P(X=3) &+& \;\dots\\ &+& \quad P(X\geq 2) &+& P(X=2) &+&P(X=3)&+& \;\dots \\ \\ &+& \quad P(X\geq 3) && &+& P(X=3)&+& \;\dots \\ \\ &+& \quad\quad\;\; \dots && &&&+& \;\dots\\ \end{eqnarray}$

— เซน
แหล่งที่มา

คุณถือว่า X ไม่ต่อเนื่องหรือไม่?

— BCLC

@BCLC สูตรทำงานเฉพาะเมื่อ X สามารถรับจำนวนเต็มบวกได้ ที่จริงแล้วสำหรับการกระจายตัวแบบมาตรฐานมันให้ 1 ในขณะที่คำตอบคือ 1/2 หรือแม้แต่ในกรณีที่ไม่ต่อเนื่องลองพิจารณาการกระจายสองจุด : สูตรให้ 0 ในขณะที่ค่าเฉลี่ยคือ 3/8

P (X = 1 / 4) = P (X = 1 / 2) = 1 / 2

$P(X = 1/4) = P(X = 1/2) = 1/2$

— Artem Sobolev

3

ฉันคิดว่าวิธีมาตรฐานในการทำเช่นนี้คือการเขียน

X = \sum_{n = 1}^{\infty} 1 (X \geq n)

$X =\sum_{n=1}^\infty \mathbf{1}(X\ge n)$

E (X) = E (\sum_{n = 1}^{\infty} 1 (X \geq n))

$E(X) =E\left(\sum_{n=1}^\infty \mathbf{1}(X\ge n)\right)$

จากนั้นย้อนกลับลำดับความคาดหวังและผลรวม (ตามทฤษฎีบทของ Tonelli)

— seanv507
แหล่งที่มา

น่าสนใจ ถูกต้องหรือไม่ที่จะบอกว่านี่ไม่ถือว่าไม่ต่อเนื่องใช่หรือไม่ : O

X

$X$

— BCLC

1

@BCLC บรรทัดแรกจะเป็นจริงก็ต่อเมื่อ X เป็นจำนวนธรรมชาติดังนั้นจึงไม่ถูกต้อง ....

— seanv507

1

หนึ่งในคำตอบที่ยอดเยี่ยมอื่น ๆ ที่นี่ (จากseanv507 ) ได้ตั้งข้อสังเกตว่ากฎการคาดหวังนี้จริง ๆ แล้วตามมาจากผลลัพธ์ที่ดีกว่าที่แสดงตัวแปรสุ่มพื้นฐานเป็นผลรวมอนันต์ของตัวแปรตัวบ่งชี้ เป็นไปได้ที่จะพิสูจน์ผลลัพธ์ทั่วไปมากขึ้นและสามารถใช้เพื่อรับกฎความคาดหวังในคำถาม หาก (ดังนั้นการสนับสนุนจะไม่กว้างกว่าตัวเลขธรรมชาติ) จากนั้นจะสามารถแสดง (หลักฐานด้านล่าง) ที่: $X: \Omega \rightarrow \mathbb{N}$

X = \sum_{n = 1}^{max (X, m)} I (X ⩾ n) for all m \in N .

$X = \sum_{n=1}^{\max(X,m)} \mathbb{I}(X \geqslant n) \quad \quad \quad \text{for all } m \in \mathbb{N}.$

การรับจะให้ผลลัพธ์ที่มีประโยชน์: $m \rightarrow \infty$

X = \sum_{n = 1}^{\infty} I (X ⩾ n) .

$X = \sum_{n=1}^{\infty} \mathbb{I}(X \geqslant n).$

เป็นที่น่าสังเกตว่าผลลัพธ์นี้แข็งแกร่งกว่ากฎการคาดหวังในคำถามเนื่องจากจะให้การสลายตัวสำหรับตัวแปรสุ่มพื้นฐานและไม่ใช่แค่ช่วงเวลาของมัน ดังที่ระบุไว้ในคำตอบอื่น ๆ การรับความคาดหวังของทั้งสองข้างของสมการนี้และใช้ทฤษฎีบทของ Tonelli (เพื่อสลับลำดับของผลรวมและตัวดำเนินการคาดหวัง) ให้กฎการคาดหวังในคำถาม นี่เป็นกฎความคาดหวังมาตรฐานที่ใช้เมื่อจัดการกับตัวแปรสุ่มที่ไม่เป็นลบ

ผลลัพธ์ข้างต้นสามารถพิสูจน์ได้ค่อนข้างง่าย เริ่มต้นด้วยการสังเกตว่า:

X = \underset{X times}{\underset{⏟}{1 + 1 + \dots + 1}} + \underset{countable times}{\underset{⏟}{0 + 0 + \dots + 0}} .

$X = \underbrace{1+1+ \cdots +1}_{ X \text{ times}} + \underbrace{0+0+ \cdots +0}_{ \text{countable times}}.$

สำหรับใด ๆเราจึงมี: $m \in \mathbb{N}$

\begin{aligned} X & = \underset{X times}{\underset{⏟}{1 + 1 + \dots + 1}} + \underset{max (0, m - X) times}{\underset{⏟}{0 + 0 + \dots + 0}} \\ = \sum_{n = 1}^{X} I (X ⩾ n) + \sum_{n = 1}^{max (0, m - X)} I (X ⩾ X + n) \\ = \sum_{n = 1}^{X} I (X ⩾ n) + \sum_{n = X + 1}^{max (X, m)} I (X ⩾ n) \\ = \sum_{n = 1}^{max (X, m)} I (X ⩾ n) . \end{aligned} .

$\begin{equation} \begin{aligned} X &= \underbrace{1+1+ \cdots +1}_{ X \text{ times}} + \underbrace{0+0+ \cdots +0}_{ \max(0,m-X) \text{ times}} \\[6pt] &= \sum_{n=1}^X \mathbb{I}(X \geqslant n) + \sum_{n=1}^{\max(0,m-X)} \mathbb{I}(X \geqslant X+ n) \\[6pt] &= \sum_{n=1}^X \mathbb{I}(X \geqslant n) + \sum_{n=X+1}^{\max(X,m)} \mathbb{I}(X \geqslant n) \\[6pt] &= \sum_{n=1}^{\max(X,m)} \mathbb{I}(X \geqslant n) . \\[6pt] \end{aligned} \end{equation}.$

— Ben - Reinstate Monica
แหล่งที่มา