นี่เป็นคำถามพื้นฐานมาก ทำไมเราถึงใช้การแจกแจงแบบไคสแควร์? ความหมายของการแจกแจงนี้คืออะไร? ทำไมการแจกแจงแบบนี้ใช้สำหรับสร้างช่วงความมั่นใจสำหรับความแปรปรวน?

ทุกสถานที่ที่ฉัน google สำหรับคำอธิบายเพียงนำเสนอความจริงนี้อธิบายว่าเมื่อใดที่จะใช้ไค แต่ไม่ได้อธิบายว่าทำไมต้องใช้ไคและทำไมมันดูวิธีที่มันทำ

ขอบคุณมากสำหรับใครก็ตามที่ชี้ให้ฉันไปในทิศทางที่ถูกต้องและนั่นคือ - เข้าใจจริงๆว่าทำไมฉันถึงใช้ไคเมื่อฉันสร้างช่วงความมั่นใจสำหรับความแปรปรวน

variance chi-squared

— nafrtiti
แหล่งที่มา

คุณสามารถใช้มันเพราะ - เมื่อข้อมูลที่เป็นปกติ -{n-1} (สิ่งนี้ทำให้เป็นปริมาณที่สำคัญ)

Q = (n - 1) \frac{s^{2}}{σ^{2}} \sim χ_{n - 1}^{2}

$Q = (n-1)\frac{s^2}{\sigma^2}\sim \chi^2_{n-1}$

Q

$Q$

— Glen_b

ดูเพิ่มเติมstats.stackexchange.com/questions/15711/และลิงค์ของมัน

— นิคค็อกซ์

สำหรับผู้ที่มีความสนใจในการใช้งานหรือวิจัยเพิ่มเติมเกี่ยวกับ

χ^{2}

$\chi^2$ คุณจะต้องใส่ใจกับความแตกต่างระหว่างการแจกแจง

χ^{2}

$\chi^2$ ("ไคสแควร์") และการ ("ไค") ( สแควร์รูทของ aแปลกใจ)

χ

$\chi$

χ^{2}

$\chi^2$

— whuber

คำตอบที่รวดเร็ว

เหตุผลก็คือสมมติว่าข้อมูลคือ iid และและการกำหนด เมื่อสร้างช่วงความเชื่อมั่นการสุ่มตัวอย่าง การแจกแจงที่เกี่ยวข้องกับความแปรปรวนตัวอย่าง (จำไว้ว่าตัวแปรสุ่ม!) คือการแจกแจงแบบไคสแควร์ ( ) เช่นเดียวกับการกระจายตัวตัวอย่างที่เกี่ยวข้องกับค่าเฉลี่ยตัวอย่างคือการแจกแจงแบบปกติมาตรฐาน ( ) เมื่อคุณทราบความแปรปรวน และกับ t-student เมื่อคุณไม่ ( ) $X_i\sim N(\mu,\sigma^2)$

\begin{array}{rcl} \bar{X} & = & \sum^{N} \frac{X_{i}}{N} \\ S^{2} & = & \sum^{N} \frac{(\bar{X} - X_{i})^{2}}{N - 1} \end{array}

$\begin{eqnarray*} \bar{X}&=&\sum^N \frac{X_i}{N}\\ S^2 &=& \sum^{N} \frac{(\bar{X}-X_i)^2}{N-1} \end{eqnarray*}$

S^{2}

$S^2$

S^{2} (N - 1) / σ^{2} \sim χ_{n - 1}^{2}

$S^2(N-1)/\sigma^2 \sim \chi^2_{n-1}$

(\bar{X} - μ) \sqrt{n} / σ \sim Z (0, 1)

$(\bar{X}-\mu)\sqrt{n}/\sigma \sim Z(0,1)$

(\bar{X} - μ) \sqrt{n} / S \sim T_{n - 1}

$(\bar{X}-\mu)\sqrt{n}/S \sim T_{n-1}$

คำตอบที่ยาว

ก่อนอื่นเราจะพิสูจน์ว่าติดตามการแจกแจงแบบไคสแควร์ที่มีองศาอิสระหลังจากนั้นเราจะมาดูกันว่าการพิสูจน์นี้มีประโยชน์อย่างไรเมื่อได้รับช่วงความมั่นใจสำหรับความแปรปรวนและวิธีการแจกแจงแบบไคสแควร์ปรากฏขึ้น (และทำไมมันจึงมีประโยชน์มาก!) เอาล่ะ. $S^2(N-1)/\sigma^2$ $N-1$

การพิสูจน์

สำหรับเรื่องนี้บางทีคุณอาจจะต้องรับใช้ในการกระจายไคสแควร์ในครั้งนี้บทความวิกิพีเดีย การกระจายนี้มีเพียงพารามิเตอร์เดียว: องศาอิสระและเกิดขึ้นกับฟังก์ชันการสร้างช่วงเวลา (MGF) ที่กำหนดโดย: ถ้าเราสามารถแสดงให้เห็นว่าการกระจายของมีฟังก์ชั่นการสร้างช่วงเวลาเช่นนี้ แต่ด้วยจากนั้นเราได้แสดงให้เห็นว่าตามด้วยการแจกแจงแบบไคสแควร์ที่มีองศาอิสระเพื่อแสดงสิ่งนี้ให้สังเกตข้อเท็จจริงสองประการ: $\nu$

{ม.}_{χ_{ν}^{2}} (เสื้อ) = (1 - 2 เสื้อ)^{- ν / 2} .

$\begin{equation*} m_{\chi^2_\nu}(t)=(1-2t)^{-\nu/2}. \end{equation*}$

S^{2} (N - 1) / σ^{2}

$S^2(N-1)/\sigma^2$

ν = N - 1

$\nu=N-1$

S^{2} (N - 1) / σ^{2}

$S^2(N-1)/\sigma^2$

N - 1

$N-1$

ถ้าเรานิยาม โดยที่คือตัวแปรสุ่มมาตรฐานแบบปกติฟังก์ชันการสร้างช่วงเวลาของถูกกำหนดโดย MGF ของมอบให้โดย ที่ฉันใช้ PDF ของมาตรฐานปกติ,และด้วยเหตุนี้
$Y = Σ \frac{(X_{ผม} - \bar{X})^{2}}{σ^{2}} = Σ Z_{ผม}^{2},$ $\begin{equation*} Y = \sum \frac{(X_i-\bar{X})^2}{\sigma^2} = \sum Z_i^2, \end{equation*}$ $Z_i\sim N(0,1)$ $Y$ $\begin{array}{rcl} m_{Y} (t) & = & E [e^{t Y}] \\ = & E [e^{t Z_{1}^{2}}] \times E [e^{t Z_{2}^{2}}] \times . . . E [{อี}^{เสื้อ Z_{ยังไม่มีข้อความ}^{2}}] \\ = & {ม.}_{Z_{ผม}^{2}} (เสื้อ) \times {ม.}_{Z_{2}^{2}} (เสื้อ) \times . . . {ม.}_{Z_{ยังไม่มีข้อความ}^{2}} (เสื้อ) . \end{array}$ $\begin{eqnarray*} m_Y(t) &=& \mathbb{E}[e^{tY}]\\ &=&\mathbb{E}[e^{tZ_1^2}]\times \mathbb{E}[e^{tZ_2^2}]\times ...\mathbb{E}[e^{tZ_N^2}]\\ &=&m_{Z_i^2}(t)\times m_{Z_2^2}(t)\times ...m_{Z_N^2}(t). \end{eqnarray*}$ $Z^2$ $\begin{array}{rcl} {ม.}_{Z^{2}} (เสื้อ) & = & \int_{- \infty}^{\infty} ฉ (Z) ประสบการณ์ (เสื้อ Z^{2}) d Z \\ = & (1 - 2 เสื้อ)^{- 1 / 2}, \end{array}$ $\begin{eqnarray*} m_{Z^2}(t) &=& \int_{-\infty}^{\infty} f(z)\exp(tz^2)dz\\ &=&(1-2t)^{-1/2}, \end{eqnarray*}$ $f(z)=e^{-z^2/2}/\sqrt{2\pi}$ ${ม.}_{Y} (เสื้อ) = (1 - 2 เสื้อ)^{- ยังไม่มีข้อความ / 2},$ $\begin{equation*} m_Y(t)=(1-2t)^{-N/2}, \end{equation*}$ ซึ่งหมายความว่าดังต่อไปนี้การกระจายไคสแควร์กับ $Y$ $N$ องศาอิสระ
หากและมีความเป็นอิสระและแต่ละการกระจายเป็นการกระจายแบบไคสแควร์ แต่มีและองศาอิสระแล้วกระจายด้วยการกระจายแบบไคสแควร์ที่มีองศาอิสระ จากการใช้ MGF ของทำสิ่งนี้!) $Y_1$ $Y_2$ $\nu_1$ $\nu_2$ $W=Y_1+Y_2$ $\nu_1+\nu_2$ $W$

จากข้อเท็จจริงข้างต้นโปรดทราบว่าหากคุณเพิ่มความแปรปรวนตัวอย่างด้วยคุณจะได้รับ (หลังจากพีชคณิต), และดังนั้นหารด้วย , โปรดสังเกตว่าเทอมที่สองในด้านซ้ายของผลรวมนี้เป็นการกระจายแบบไคสแควร์ที่มีอิสระ 1 องศาและการรวมกันทางด้านขวามือจะเป็นไคสแควร์ที่มีองศาอิสระ . ดังนั้นกระจายเป็นไคสแควร์ที่มีองศาอิสระ $N-1$

(N - 1) S^{2} = - n (\bar{X} - μ) + \sum (X_{i} - μ)^{2},

$\begin{equation*} (N-1)S^2 = -n(\bar{X}-\mu)+\sum(X_i-\mu)^2, \end{equation*}$

σ^{2}

$\sigma^2$

\frac{(N - 1) S^{2}}{σ^{2}} + \frac{(\bar{X} - μ)^{2}}{σ^{2} / N} = \sum \frac{(X_{i} - μ)^{2}}{σ^{2}} .

$\begin{equation*} \frac{(N-1)S^2}{\sigma^2}+\frac{(\bar{X}-\mu)^2}{\sigma^2/N}=\sum \frac{(X_i-\mu)^2}{\sigma^2}. \end{equation*}$

N

$N$ $S^2(N-1)/\sigma^2$ $N-1$ .

การคำนวณ Confidence Interval สำหรับความแปรปรวน

เมื่อค้นหาช่วงความมั่นใจสำหรับความแปรปรวนคุณต้องการทราบค่า จำกัดและใน มาเล่นด้วยความไม่เท่าเทียมกันในวงเล็บ ก่อนอื่นหารด้วย , แล้วจำได้สองสิ่ง: (1) สถิติมีการแจกแจงแบบไคสแควร์ที่มีองศาอิสระและ (2) ความแปรปรวนคือ ยิ่งใหญ่กว่าศูนย์ซึ่งหมายความว่าคุณสามารถคว่ำความไม่เท่าเทียมกันได้เพราะ $L_1$ $L_2$

P (L_{1} \leq σ^{2} \leq L_{2}) = 1 - α .

$\begin{equation*} \mathbb{P}\left(L_1\leq \sigma^2 \leq L_2\right) = 1-\alpha. \end{equation*}$

S^{2} (N - 1)

$S^2(N-1)$

\frac{L_{1}}{S^{2} (N - 1)} \leq \frac{σ^{2}}{S^{2} (N - 1)} \leq \frac{L_{2}}{S^{2} (N - 1)} .

$\begin{equation*} \frac{L_1}{S^2(N-1)}\leq \frac{\sigma^2}{S^2(N-1)} \leq \frac{L_2}{S^2(N-1)}. \end{equation*}$

S^{2} (N - 1) / σ^{2}

$S^2(N-1)/\sigma^2$

N - 1

$N-1$

\begin{array}{rcl} \frac{L_{1}}{S^{2} (N - 1)} \leq \frac{σ^{2}}{S^{2} (N - 1)} & \Rightarrow & \frac{S^{2} (N - 1)}{σ^{2}} \leq \frac{S^{2} (N - 1)}{L_{1}}, \\ \frac{σ^{2}}{S^{2} (N - 1)} \leq \frac{L_{2}}{S^{2} (N - 1)} & \Rightarrow & \frac{S^{2} (N - 1)}{L_{2}} \leq \frac{S^{2} (N - 1)}{σ^{2}}, \end{array}

$\begin{eqnarray*} \frac{L_1}{S^2(N-1)}\leq \frac{\sigma^2}{S^2(N-1)} &\Rightarrow& \frac{S^2(N-1)}{\sigma^2}\leq \frac{S^2(N-1)}{L_1},\\ \frac{\sigma^2}{S^2(N-1)} \leq \frac{L_2}{S^2(N-1)} &\Rightarrow& \frac{S^2(N-1)}{L_2} \leq \frac{S^2(N-1)}{\sigma^2},\\ \end{eqnarray*}$ ดังนั้นความน่าจะเป็นที่เรากำลังมองหาคือ: โปรดทราบว่า(N-1) เราต้องการแล้ว

P (\frac{S^{2} (N - 1)}{L_{2}} \leq \frac{S^{2} (N - 1)}{σ^{2}} \leq \frac{S^{2} (N - 1)}{L_{1}}) = 1 - α .

$\begin{equation*} \mathbb{P}\left(\frac{S^2(N-1)}{L_2} \leq \frac{S^2(N-1)}{\sigma^2}\leq \frac{S^2(N-1)}{L_1}\right) = 1-\alpha. \end{equation*}$

S^{2} (N - 1) / σ^{2} \sim χ^{2} (N - 1)

$S^2(N-1)/\sigma^2 \sim \chi^2(N-1)$

\begin{array}{rcl} \int_{\frac{S^{2} (N - 1)}{L_{2}}}^{N - 1} p_{χ^{2}} (x) d x & = & (1 - α) / 2, \\ \int_{N - 1}^{\frac{S^{2} (N - 1)}{L_{1}}} p_{χ^{2}} (x) d x & = & (1 - α) / 2 \end{array}

$\begin{eqnarray*} \int_{\frac{S^2(N-1)}{L_2}}^{N-1}p_{\chi^2}(x)dx &=& (1-\alpha)/2\ \ \ ,\\ \int_{N-1}^{\frac{S^2(N-1)}{L_1}}p_{\chi^2}(x)dx &=& (1-\alpha)/2\ \ \, \end{eqnarray*}$

N - 1

$N-1$ เพราะคาดว่าค่าตัวของตัวแปรสุ่มไคสแควร์กับองศาอิสระคือ ) หรือเท่ากัน กำลังโทรหาและโดยที่ค่าและสามารถพบได้ในตารางไคสแควร์ (ในคอมพิวเตอร์ ส่วนใหญ่!) และการแก้สำหรับและ ,

N - 1

$N-1$

N - 1

$N-1$

\begin{array}{rcl} \int_{0}^{\frac{S^{2} (N - 1)}{L_{2}}} p_{χ^{2}} (x) d x = α / 2, \\ \int_{\frac{S^{2} (N - 1)}{L_{1}}}^{\infty} p_{χ^{2}} (x) d x = α / 2. \end{array}

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{\frac{S^2(N-1)}{L_2}}p_{\chi^2}(x)dx=\alpha/2,\\ \int_{\frac{S^2(N-1)}{L_1}}^{\infty}p_{\chi^2}(x)dx=\alpha/2. \end{eqnarray*}$

χ_{α / 2}^{2} = \frac{S^{2} (N - 1)}{L_{2}}

$\chi^2_{\alpha/2}=\frac{S^2(N-1)}{L_2}$

χ_{1 - α / 2}^{2} = \frac{S^{2} (N - 1)}{L_{1}}

$\chi^2_{1-\alpha/2}= \frac{S^2(N-1)}{L_1}$

χ_{α / 2}^{2}

$\chi^2_{\alpha/2}$

χ_{1 - α / 2}^{2}

$\chi^2_{1-\alpha/2}$

L_{1}

$L_1$

L_{2}

$L_2$

\begin{array}{rcl} L_{1} & = & \frac{S^{2} (N - 1)}{χ_{1 - α / 2}^{2}}, \\ L_{2} & = & \frac{S^{2} (N - 1)}{χ_{α / 2}^{2}} . \end{array}

$\begin{eqnarray*} L_1 &=& \frac{S^2(N-1)}{\chi^2_{1-\alpha/2}},\\ L_2 &=& \frac{S^2(N-1)}{\chi^2_{\alpha/2}}. \end{eqnarray*}$ ดังนั้นช่วงความมั่นใจของคุณสำหรับความแปรปรวนคือ

C . I . = (\frac{S^{2} (N - 1)}{χ_{1 - α / 2}^{2}}, \frac{S^{2} (N - 1)}{χ_{α / 2}^{2}}) .

$\begin{equation*} C.I.=\left(\frac{S^2(N-1)}{\chi^2_{1-\alpha/2}}, \frac{S^2(N-1)}{\chi^2_{\alpha/2}}\right). \end{equation*}$

— Néstor
แหล่งที่มา

เพียงเพราะไม่ปฏิบัติตามการกระจายตัวไคสแควร์ที่กึ่งกลางในขณะที่ทำและทำให้ง่ายต่อการทำงานด้วย คุณกำลังขอคำตอบสำหรับสิ่งนั้นหรือไม่? (เช่นคุณต้องการให้ใครสักคนแสดงให้คุณเห็นว่าติดตามการกระจายไคสแควร์ที่มีองศาอิสระหรือไม่?)

S^{2}

$S^2$

S^{2} (N - 1) / σ^{2}

$S^2(N-1)/\sigma^2$

S^{2} (N - 1) / σ^{2}

$S^2(N-1)/\sigma^2$

N - 1

$N-1$

— Néstor

มันจะเป็นประโยชน์ในการปรับเปลี่ยนคำตอบนี้จะรวมถึงความแข็งแรงมากสมมติฐาน แต่อันเป็นที่แปรปรวนตัวอย่างต่อไปนี้การกระจายไคสแควร์เมื่อข้อมูลที่เป็นพื้นฐานที่มีอิสระและเป็นไปตามปกติการจัดจำหน่าย แตกต่างจากทฤษฎีของการกระจายตัวของค่าเฉลี่ยตัวอย่างซึ่งในทางปฏิบัติการกระจายตัวตัวอย่างจะประมาณปกติถึงความแม่นยำที่สมเหตุสมผลในหลาย ๆ สถานการณ์พฤติกรรม asymptotic เดียวกันนี้มีแนวโน้มที่จะไม่เกิดขึ้นกับความแปรปรวนตัวอย่าง (จนกระทั่งขนาดตัวอย่างมีขนาดใหญ่มาก)

— whuber

อุ่ย ดังนั้นจริง! สิ่งนี้มาจากการแก้ปัญหาที่ฉันส่งให้นักเรียนบางคนโดยที่ฉันระบุคำถามทั้งหมดที่กล่าวมา ฉันแก้ไขคำตอบทันที

— Néstor

@ user34756 เหตุผลที่เราไม่ใช้การแจกแจงของโดยตรงคือการแจกแจงนั้นขึ้นอยู่กับค่าของพารามิเตอร์ คุณอาจพบว่ามีประโยชน์ในการตรวจสอบการใช้ปริมาณการพิจาณาในการสร้างช่วงความมั่นใจ

S^{2}

$S^2$

— Glen_b -Reinstate Monica

ไม่ได้แทน ?

f (z) = e^{- z^{2} / 2}

$f(z) = e^{-z^2/2}$

f (z) = e^{- z^{2}}

$f(z) = e^{-z^2}$

— Benoît Legat

เหตุใดจึงใช้ไคสแควร์เมื่อสร้างช่วงความมั่นใจสำหรับความแปรปรวน

คำตอบที่รวดเร็ว

คำตอบที่ยาว

การพิสูจน์

การคำนวณ Confidence Interval สำหรับความแปรปรวน