วิธีเปรียบเทียบค่าเฉลี่ยของสองตัวอย่างที่มีข้อมูลตรงกับการแจกแจงแบบเอ็กซ์โพเนนเชียล

ฉันมีสองตัวอย่างของข้อมูลตัวอย่างพื้นฐานและตัวอย่างการรักษา

สมมติฐานคือตัวอย่างการรักษามีค่าเฉลี่ยสูงกว่าตัวอย่างพื้นฐาน

ตัวอย่างทั้งสองมีรูปแบบเลขชี้กำลัง เนื่องจากข้อมูลมีขนาดค่อนข้างใหญ่ฉันจึงมีเพียงค่าเฉลี่ยและจำนวนองค์ประกอบสำหรับแต่ละตัวอย่าง ณ เวลาที่ฉันจะทำการทดสอบ

ฉันจะทดสอบสมมติฐานนั้นได้อย่างไร ฉันเดาว่ามันง่ายสุด ๆ และฉันได้พบการอ้างอิงหลายอย่างเกี่ยวกับการใช้การทดสอบ F แต่ฉันไม่แน่ใจว่าพารามิเตอร์แมป

hypothesis-testing statistical-significance exponential

— Jonathan Dobbie
แหล่งที่มา

ทำไมคุณไม่มีข้อมูล หากตัวอย่างเป็นการทดสอบที่ไม่ใช่พารามิเตอร์ขนาดใหญ่จริง ๆ ควรใช้งานได้ดี แต่ดูเหมือนว่าคุณกำลังพยายามทำการทดสอบจากสถิติสรุป นั่นถูกต้องใช่ไหม?

— Mimshot

พื้นฐานและค่ารักษาจากผู้ป่วยรายเดียวกันหรือทั้งสองกลุ่มมีความเป็นอิสระหรือไม่?

— Michael M

@Mimshot ข้อมูลกำลังส่งกระแสข้อมูล แต่คุณถูกต้องว่าฉันพยายามเรียกใช้การทดสอบจากสถิติสรุป มันทำงานได้ค่อนข้างดีกับการทดสอบ Z สำหรับข้อมูลปกติ

— Jonathan Dobbie

ภายใต้สถานการณ์เหล่านี้การทดสอบ z ประมาณอาจเป็นสิ่งที่ดีที่สุดที่คุณสามารถทำได้ อย่างไรก็ตามฉันจะสนใจมากขึ้นว่าผลการรักษาที่แท้จริงนั้นมีขนาดใหญ่แค่ไหน โปรดจำไว้ว่าด้วยตัวอย่างที่มีขนาดใหญ่พอผลกระทบที่แท้จริงเล็ก ๆ ใด ๆ จะนำไปสู่ค่า p น้อย

— Michael M

@january - แม้ว่าขนาดตัวอย่างของเขาจะใหญ่เพียงพอโดย CLT พวกเขาจะใกล้เคียงกับการแจกแจงแบบปกติมาก ภายใต้สมมติฐานว่างค่าความแปรปรวนจะเท่ากัน (ตามค่าเฉลี่ย) ดังนั้นด้วยขนาดตัวอย่างที่มีขนาดใหญ่พอการทดสอบ t ควรทำงานได้ดี มันจะไม่ดีเท่าที่คุณสามารถทำได้กับข้อมูลทั้งหมด แต่ก็ยังคงตกลง

n_{1} = n_{2} = 100

$n_1 = n_2 = 100$ ตัวอย่างเช่นน่าจะดีทีเดียว

— jbowman

คำตอบ:

คุณสามารถทดสอบความเท่าเทียมกันของพารามิเตอร์ค่าเฉลี่ยกับทางเลือกที่พารามิเตอร์ค่าเฉลี่ยไม่เท่ากันด้วยการทดสอบอัตราส่วนความน่าจะเป็น (LR test) (อย่างไรก็ตามหากพารามิเตอร์ค่าเฉลี่ยแตกต่างกันและการแจกแจงแบบเอ็กซ์โปเนนเชียลนี่เป็นการเลื่อนระดับไม่ใช่การเปลี่ยนตำแหน่ง)

สำหรับการทดสอบแบบด้านเดียว (แต่เฉพาะในกรณีแบบสองด้านแบบอะซิมโตโทรติก) ฉันเชื่อว่าการทดสอบ LR ออกมาเทียบเท่ากับสิ่งต่อไปนี้ (เพื่อแสดงว่านี่เป็นความจริงเหมือนกับการทดสอบ LR แบบทางเดียว กรณีที่หนึ่งจะต้องแสดงให้เห็นว่าตัวเลข LR เป็นแบบโมโนโทนใน ): $\bar x/\bar y$

สมมติว่าเรากำหนดพารามิเตอร์การสังเกตที่ในเลขชี้กำลังแรกว่ามี pdf และการสังเกต th ในตัวอย่างที่สองว่ามี pdf (เหนือโดเมนที่เห็นได้ชัดสำหรับการสังเกตและพารามิเตอร์) (เพื่อความชัดเจนเรากำลังทำงานในรูปแบบเฉลี่ยไม่ใช่แบบฟอร์มอัตราที่นี่สิ่งนี้จะไม่ส่งผลต่อผลลัพธ์ของการคำนวณ) $i$ $1/\mu_x \exp(-x_i/\mu_x)$ $j$ $1/\mu_y \exp(-y_j/\mu_y)$

$X_i$ $\Gamma(1,\mu_x)$ $X$ $S_x$ $\Gamma(n_x,\mu_x)$ $Y$ $S_y$ $\Gamma(n_y,\mu_y)$

$2/\mu_x S_x$ $\chi^2_{2n_x}$ $\frac{\mu_y}{\mu_x}\frac{S_x/n_x}{S_y/n_y} \sim F_{2n_x,2n_y}$

$\bar x/\bar y \sim F_{2n_x,2n_y}$

การจำลองเพื่อตรวจสอบว่าเราไม่ได้ทำผิดพลาดง่ายๆในพีชคณิต:

$X$ $Y$

$F$

การแจกแจงตัวอย่างแบบจำลองของสถิติอัตราส่วนภายใต้ null

ตัวอย่างด้วยการอภิปรายการคำนวณค่า p แบบสองด้าน :

เพื่อแสดงการคำนวณนี่คือตัวอย่างเล็ก ๆ สองตัวอย่างจากการแจกแจงแบบเลขชี้กำลัง กลุ่มตัวอย่าง X มีการสังเกต 14 ครั้งจากประชากรที่มีค่าเฉลี่ย 10 ตัวอย่าง Y นั้นมี 17 ข้อสังเกตจากประชากรที่มีค่าเฉลี่ย 15:

x: 12.173  3.148 33.873  0.160  3.054 11.579 13.491  7.048 48.836 
   16.478  3.323  3.520  7.113  5.358

y:  7.635  1.508 29.987 13.636  8.709 13.132 12.141  5.280 23.447 
   18.687 13.055 47.747  0.334  7.745 26.287 34.390  9.596

ค่าเฉลี่ยตัวอย่างคือ 12.082 และ 16.077 ตามลำดับ อัตราส่วนของค่าเฉลี่ยคือ 0.7515

พื้นที่ทางด้านซ้ายตรงไปตรงมาเนื่องจากอยู่ในส่วนท้าย (calc in R):

 > pf(r,28,34) 
 [1] 0.2210767

เราต้องการความน่าจะเป็นสำหรับหางอีกอัน หากการกระจายตัวเป็นแบบสมมาตรในการกลับกันมันจะตรงไปตรงมาที่จะทำเช่นนี้

การประชุมร่วมกับอัตราส่วนของความแปรปรวน F-test (ซึ่งคล้ายกันสองหาง) คือการเพิ่มค่า p-tailed สองเท่า (อย่างมีประสิทธิภาพสิ่งที่เกิดขึ้นที่นี่เช่นกันนั่นคือสิ่งที่ดูเหมือนจะทำใน R เช่น ); ในกรณีนี้มันให้ค่า p-0.44

$\alpha/2$ $\alpha$

— Glen_b -Reinstate Monica
แหล่งที่มา

ฉันเดาว่านี่เป็นเพียงฉันหนา แต่ 0.7515 มาจากไหน

— Jonathan Dobbie

r = mean (x) / mean (y) = 0.7515 - นั่นคือ "อัตราส่วนของค่าเฉลี่ย"

— Glen_b

โอเคน่ากลัว ฉันได้ 0.67 แต่นั่นอาจเป็นเพราะข้อผิดพลาดในการป้อนข้อมูล

— Jonathan Dobbie

ฉันได้แยกความแตกต่างระหว่างค่าเฉลี่ยของประชากรและตัวอย่างที่ได้นั้นมีความชัดเจนมากขึ้น

— Glen_b

α

$\alpha$

\frac{α}{2}

$\frac{\alpha}{2}$

n_{x} \log \frac{n_{x}}{\sum x_{i}} + n_{y} \log \frac{n_{y}}{\sum y_{j}} - (n_{x} + n_{y}) \log \frac{n_{x} + n_{y}}{\sum x_{i} + \sum y_{j}}

$n_x\log \frac{n_x}{\sum x_i} +n_y \log \frac{n_y}{\sum y_j} -(n_x+n_y)\log\frac{n_x+n_y}{\sum x_i +\sum y_j}$

n_{x} \log (\frac{n_{x}}{n_{y}} + \frac{1}{r}) + n_{y} \log (\frac{n_{y}}{n_{x}} + r) + n_{x} \log \frac{n_{y}}{n_{x} + n_{y}} + n_{y} \log \frac{n_{x}}{n_{x} + n_{y}}

$n_x\log\left(\frac{n_x}{n_y} + \frac{1}{r}\right) + n_y\log\left(\frac{n_y}{n_x}+r\right) + n_x\log\frac{n_y}{n_x+n_y} + n_y\log \frac{n_x}{n_x+n_y}$

r = \frac{\bar{x}}{\bar{y}}

$r=\frac{\bar{x}}{\bar{y}}$

r = 1

$r=1$

$r_\mathrm{ELR}$ $r_\mathrm{obs}$ $\Pr(R>r_\mathrm{ELR})$ $r_\mathrm{ELR}=1.3272$ $\Pr(R>r_\mathrm{ELR})=0.2142$ $0.4352$ $0.4315$

$r_\mathrm{ETP}$ $\Pr(R>r_\mathrm{ETP})$ $\Pr(R<r_\mathrm{obs})$ $\Pr(R>r_\mathrm{ETP})$ $\mu_x > \mu_y$ $\mu_x < \mu_y$ $\mu_x > \mu_y$ $\mu_x < \mu_y$

รหัส R ดังนี้:

x <- c(12.173, 3.148, 33.873, 0.160, 3.054, 11.579, 13.491, 7.048, 48.836,
       16.478, 3.323, 3.520, 7.113, 5.358)

y <- c(7.635, 1.508, 29.987, 13.636, 8.709, 13.132, 12.141, 5.280, 23.447, 
       18.687, 13.055, 47.747, 0.334,7.745, 26.287, 34.390, 9.596)

# observed ratio of sample means
r.obs <- mean(x)/mean(y)

# sample sizes
n.x <- length(x)
n.y <- length(y)

# define log likelihood ratio function
calc.llr <- function(r,n.x,n.y){
  n.x * log(n.x/n.y + 1/r) + n.y*log(n.y/n.x + r) + n.x*log(n.y/(n.x+n.y)) + n.y*log(n.x/(n.x+n.y))
}

# observed log likelihood ratio
calc.llr(r.obs,n.x, n.y) -> llr.obs

# p-value in lower tail
pf(r.obs,2*n.x,2*n.y) -> p.lo

# find the other ratio of sample means giving an LLR equal to that observed
uniroot(function(x) calc.llr(x,n.x,n.y)-llr.obs, lower=1.2, upper=1.4, tol=1e-6)$root -> r.hi

#p.value in upper tail
p.hi <- 1-pf(r.hi,2*n.x,2*n.y)

# overall p.value
p.value <- p.lo + p.hi

#approximate p.value
1-pchisq(2*llr.obs, 1)

— Scortchi - Reinstate Monica
แหล่งที่มา