ทำไมการกระจายของแรนด์ () ^ 2 แตกต่างจากแรนด์ () * แรนด์ ()

ใน Lotus Symphony Office rand()ฟังก์ชันจะพร้อมใช้งานซึ่งเลือกค่าสุ่มระหว่าง 0 ถึง 1 จากการแจกแจงแบบเดียวกัน ฉันเป็นสนิมขึ้นอยู่กับความน่าจะเป็นของฉันดังนั้นเมื่อฉันเห็นพฤติกรรมต่อไปนี้ฉันรู้สึกงงงวย:

A = 200x1 คอลัมน์ของ rand()^2

B = 200x1 คอลัมน์ของ rand()*rand()

mean(A) = 1/3

mean(B) = 1/4

ทำไมmean(A)! = 1/4?

การคิดรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าอาจช่วยได้ ลองนึกภาพคุณมีโอกาสที่จะได้ที่ดินฟรี ขนาดของที่ดินจะถูกกำหนดโดย (ก) หนึ่งการรับรู้ของตัวแปรสุ่มหรือ (b) สองการรับรู้ของตัวแปรสุ่มเดียวกัน ในกรณีแรก (a) พื้นที่จะเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสซึ่งมีความยาวด้านเท่ากับค่าตัวอย่าง ในกรณีที่สอง (b) ค่าตัวอย่างสองค่าจะแสดงความกว้างและความยาวของสี่เหลี่ยมผืนผ้า คุณเลือกทางเลือกใด

ให้$\mathbf{U}$เป็นจริงของตัวแปรสุ่มที่เป็นบวก

ก) คาดว่าค่าตัวของหนึ่งในการก่อให้เกิดกำหนดพื้นที่ของตารางซึ่งจะเท่ากับU 2 โดยเฉลี่ยขนาดของพื้นที่จะเป็น $\mathbf{U}$$\mathbf{U}^2$

$$\mathop{\mathbb{E}}[\mathbf{U}^2]$$

ข) หากมีสองความเข้าใจอิสระและU 2พื้นที่ที่จะU 1 ⋅ U 2 โดยเฉลี่ยขนาดเท่ากับ E [ U 1 ⋅ U 2 ] = $\mathbf{U}_1$$\mathbf{U}_2$$\mathbf{U}_1 \cdot \mathbf{U}_2$

$$\mathop{\mathbb{E}}[\mathbf{U}_1 \cdot \mathbf{U}_2] = \mathop{\mathbb{E}^2}[\mathbf{U}]$$ เนื่องจากการรับรู้ทั้งสองมาจากการแจกแจงแบบเดียวกันและเป็นอิสระ

เมื่อเราคำนวณความแตกต่างระหว่างขนาดของพื้นที่ a) และ b) เราจะได้รับ

$$\mathop{\mathbb{E}}[\mathbf{U}^2] - \mathop{\mathbb{E}^2}[\mathbf{U}]$$

คำข้างต้นเหมือนกับซึ่งมากกว่าหรือเท่ากับ$\mathop{\mathbb{Var}}[\mathbf{U}]$$0$ 0

นี่ถือเป็นกรณีทั่วไป

ในตัวอย่างของคุณคุณสุ่มตัวอย่างจากการแจกแจงชุด ) ดังนั้น$\mathcal{U}(0,1)$

E2[

$$\mathop{\mathbb{E}}[\mathbf{U}] = \frac{1}{2}$$ Var[ $$\mathop{\mathbb{E}^2}[\mathbf{U}] = \frac{1}{4}$$ $$\mathop{\mathbb{Var}}[\mathbf{U}] = \frac{1}{12}$$

ด้วยเราจะได้ E [ U$\mathop{\mathbb{E}}[\mathbf{U}^2] = \mathop{\mathbb{Var}}[\mathbf{U}] + \mathop{\mathbb{E}^2}[\mathbf{U}]$

$$\mathop{\mathbb{E}}[\mathbf{U}^2] = \frac{1}{12} + \frac{1}{4} = \frac{1}{3}$$

ค่าเหล่านี้ได้มาจากการวิเคราะห์ แต่ตรงกับค่าที่คุณได้รับกับตัวสร้างตัวเลขสุ่ม

ไม่แนะนำว่ามีสิ่งใดที่ขาดไปจากคำตอบที่ยอดเยี่ยมของ Sven แต่ฉันต้องการที่จะนำเสนอคำถามที่ค่อนข้างง่าย

พิจารณาการวางแผนส่วนประกอบทั้งสองของแต่ละผลิตภัณฑ์เพื่อดูว่าการกระจายข้อต่อนั้นแตกต่างกันมาก

โปรดทราบว่าผลิตภัณฑ์มีแนวโน้มที่จะมีขนาดใหญ่เท่านั้น (ใกล้ 1) เมื่อส่วนประกอบทั้งสองมีขนาดใหญ่ซึ่งเกิดขึ้นได้ง่ายกว่ามากเมื่อส่วนประกอบทั้งสองมีความสัมพันธ์กันอย่างสมบูรณ์แทนที่จะเป็นอิสระ

ตัวอย่างเช่นความน่าจะเป็นที่ผลิตภัณฑ์เกิน $1-\epsilon$ (สำหรับขนาดเล็ก $\epsilon$) เกี่ยวกับ $\epsilon/2$ สำหรับ $U^2$ รุ่น ('A') แต่สำหรับรุ่น $U_1\times U_2$ ('B') เวอร์ชันที่เป็นเรื่องเกี่ยวกับ $\epsilon^2/2$.

ค่อนข้างแตกต่าง!

มันอาจช่วยในการวาดรูปทรงผลิตภัณฑ์ iso บนกราฟเช่นด้านบน - นั่นคือเส้นโค้งที่ xy = คงที่สำหรับค่าเช่น 0.5, 0.6, 0.7, 0.8, 0.9 เมื่อคุณไปสู่ค่าที่มากขึ้นและมากขึ้นสัดส่วนของคะแนนด้านบนและด้านขวาของรูปร่างจะลดลงอย่างรวดเร็วมากขึ้นสำหรับกรณีที่เป็นอิสระ