การแจกแจงผลรวมของกำลังสองของตัวแปรสุ่มแบบกระจาย T

ฉันกำลังมองหาที่การกระจายตัวของผลรวมของสี่เหลี่ยมของตัวแปรสุ่ม T-กระจายที่มีหางตัวแทนα$\alpha$ที่ X คือ RV ที่ฟูเรียร์สำหรับ$X^2$ , $\mathscr{F}(t)$ทำให้ผมมีวิธีแก้ปัญหาสำหรับตารางก่อนที่จะบิด$\mathscr{F}(t)^n$ n

$$\mathscr{F}(t)=\int_0^{\infty } \exp \left(i\, t\, x^2\right)\left(\frac{\left(\frac{\alpha }{\alpha +x^2}\right)^{\frac{\alpha +1}{2}} }{\sqrt{\alpha }\ B\left(\frac{\alpha }{2},\frac{1}{2}\right)}\right) \, \mathrm{d}x$$

ด้วย$\alpha=3$ , การแก้ปัญหาเป็นไปได้ แต่เทอะทะและไม่สามารถที่จะผกผันที่จะทำสิ่งที่ตรงกันข้ามฟูริเยร์สำหรับ$\mathscr{F}(t)^n$ n ดังนั้นคำถามคือ: มีการทำงานกับการแจกแจงความแปรปรวนตัวอย่างหรือค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของตัวแปรสุ่มแบบกระจายทีหรือไม่? (สำหรับนักศึกษา T สิ่ง Chi-square คือไปยังเกาส์เซียน) ขอบคุณ.

(วิธีแก้ปัญหาที่เป็นไปได้) ฉันพบว่า$X^2$คือฟิชเชอร์$F(1,\alpha)$กระจายดังนั้นจะดูที่ผลรวมของตัวแปรกระจายฟิชเชอร์

(วิธีแก้ปัญหาที่เป็นไปได้) จากฟังก์ชั่นลักษณะค่าเฉลี่ยของ summed X 2 มีช่วงเวลาเดียวกันสองช่วงแรกของการแจกแจงแบบF ( n , α )เมื่อสิ่งเหล่านี้มีอยู่ ดังนั้น With U รากและการทำการเปลี่ยนแปลงของตัวแปรภายในการกระจายความน่าจะเป็นความหนาแน่นของส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน n-ตัวอย่างตัวแปรทีสามารถประมาณด้วย: กรัม( U ) = 2 อัลฟ่าอัลฟ่า/ 2 n n / 2 U n - 1 ( α + n u $n-$$X^2$$F(n,\alpha)$

$$g(u)=\frac{2 \alpha ^{\alpha /2} n^{n/2} u^{n-1} \left(\alpha +n u^2\right)^{-\frac{\alpha }{2}-\frac{n}{2}}}{B\left(\frac{n}{2},\frac{\alpha }{2}\right)}$$

$n$ $t_{\alpha }$$t_{\alpha }$

$t_{\alpha }$

$T_i\sim t_{\alpha }$$t$$\alpha$$\sum _{i=1}^n T_i^2\sim F(n,\alpha )$$n$

$T_i^2\sim F(1,\alpha)$$t$$\frac{Z}{\sqrt{U/\alpha}}$$Z$$U$$\alpha$$Z$$\frac{V/1}{U/\alpha}$$V=Z^2$$F(1,\alpha)$$\alpha$

$\sum _{i=1}^n T_i^2\sim n F(n,\alpha )$$\alpha>4$$\lim_{\alpha \to \infty } \, n F(n,\alpha)= \chi _n^2$ซึ่งเป็นผลลัพธ์ที่เราคาดหวังเมื่อรวมผลต่างปกติกำลังสองแบบมาตรฐาน (มาตรฐาน)]

การกระจายการสุ่มตัวอย่างของความแปรปรวนเมื่อการสุ่มตัวอย่างจากการแจกแจง$t_{\alpha }$

เมื่อพิจารณาจากสิ่งที่ฉันเขียนข้างต้นนิพจน์ที่คุณได้รับสำหรับ "ความหนาแน่นของค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของตัวแปร T ตัวอย่าง n" ไม่ถูกต้อง อย่างไรก็ตามแม้ว่าเป็นการแจกแจงที่ถูกต้องค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานไม่เพียงแค่สแควร์รูทของผลรวมของสี่เหลี่ยมจัตุรัส (ตามที่คุณดูเหมือนจะคุ้นเคยกับความหนาแน่นของคุณ) คุณจะมองหาการกระจายการสุ่มตัวอย่าง (มาตราส่วน) ของ 2 ในกรณีปกติ LHS ของนิพจน์นี้สามารถเขียนใหม่เป็นผลรวมของตัวแปรปกติกำลังสอง (คำในตารางสามารถเขียนใหม่อีกครั้งเป็นชุดเชิงเส้นของตัวแปรปกติซึ่งกระจายอีกครั้งตามปกติ) ซึ่งนำไปสู่ คุ้นเคย$F(n,\alpha)$$g(u)$$\sum _{i=1}^n \left(T_i-\bar{T}\right){}^2=\sum _{i=1}^n T_i^2-n \bar{T}^2$$\chi^2$กระจาย น่าเสียดายที่การรวมกันเชิงเส้นของตัวแปร (แม้จะมีองศาอิสระเท่ากัน) ไม่ได้ถูกแจกจ่ายเป็นดังนั้นจึงไม่สามารถใช้วิธีการที่คล้ายกันได้$t$$t$

บางทีคุณควรพิจารณาสิ่งที่คุณต้องการสาธิตอีกครั้ง มันอาจเป็นไปได้ที่จะบรรลุวัตถุประสงค์โดยใช้แบบจำลองบางตัวอย่าง อย่างไรก็ตามคุณระบุตัวอย่างด้วยสถานการณ์ที่มีเพียงช่วงเวลาแรกของมี จำกัด ดังนั้นการจำลองจะไม่ช่วยในการคำนวณช่วงเวลาดังกล่าว $\alpha=3$$F(1,\alpha)$

คุณอาจต้องการตรวจสอบการแจกแจงแบบ T ของ Hotelling ( http://en.wikipedia.org/wiki/Hotelling's_T-squared_distribution ) มีความสัมพันธ์กับที่เป็น -distribution ( http://en.wikipedia.org/wiki/F-distribution#Related_distribution_and_properties ) แต่ฉันไม่แน่ใจว่านี่เป็นสิ่งที่คุณต้องการ $T^2$$F$