วิธีการสร้างคะแนนการกระจายอย่างสม่ำเสมอในลูกบอลหน่วย 3 มิติ?

ฉันได้โพสต์คำถามก่อนหน้านี้มีความเกี่ยวข้อง แต่ฉันคิดว่ามันจะดีกว่าที่จะเริ่มหัวข้ออื่น เวลานี้ฉันสงสัยว่าจะสร้างจุดกระจายอย่างสม่ำเสมอภายใน 3 มิติหน่วยทรงกลมได้อย่างไรและจะตรวจสอบการกระจายตัวด้วยสายตาและสถิติได้อย่างไร ฉันไม่เห็นกลยุทธ์ที่โพสต์มีการโอนโดยตรงกับสถานการณ์นี้

วิธีที่ง่ายที่สุดคือการสุ่มตัวอย่างคะแนนในไฮเปอร์คิวบ์ที่เกี่ยวข้องและละทิ้งสิ่งที่ไม่ได้อยู่ในทรงกลม ใน 3D สิ่งนี้ไม่ควรเกิดขึ้นบ่อยครั้งประมาณ 50% ของเวลา (ปริมาตรของ hypercube คือ 1 ปริมาตรของทรงกลมคือ .)$\frac{4}{3}\pi r^3 = 0.523...$

คุณสามารถทำสิ่งนี้ในพิกัดกลมซึ่งในกรณีนี้จะไม่มีการปฏิเสธ ก่อนอื่นคุณสร้างรัศมีและมุมทั้งสองโดยการสุ่มจากนั้นคุณใช้สูตรการเปลี่ยนแปลงเพื่อกู้คืน ,และ ( , , )y z x = r บาปθ cos ϕ y = r บาปθ บาปϕ z = r cos $x$$y$$z$$x = r \sin \theta \cos \phi$$y = r \sin \theta \sin \phi$$z = r \cos \theta$

คุณสร้าง unifomly ระหว่างและ2รัศมีและความเอียงนั้นไม่เหมือนกัน น่าจะเป็นที่จุดอยู่ภายในลูกของรัศมีคือเพื่อฟังก์ชั่นความหนาแน่นของความน่าจะเป็นของคือ 2 คุณสามารถตรวจสอบได้อย่างง่ายดายว่าลูกบาศก์รากของตัวแปรเครื่องแบบมีตรงการกระจายเดียวกันดังนั้นนี้เป็นวิธีที่คุณสามารถสร้างRความน่าจะเป็นที่จุดหนึ่งอยู่ภายในทรงกลมรูปกรวยที่กำหนดโดยการเอียงคือหรือถ้า$\phi$$0$$2\pi$$r$$\theta$$r$$r^3$$r$$3 r^2$$r$$\theta$$(1-\cos\theta)/2$$1 - (1-\cos (-\theta))/2$$\theta > \pi/2$ 2 ดังนั้นความหนาแน่นเป็น 2 คุณสามารถตรวจสอบว่าลบอาร์คโคซีนของตัวแปรเครื่องแบบมีความหนาแน่นที่เหมาะสม$\theta$$sin(\theta)/2$

หรือมากกว่าเพียงแค่เราสามารถจำลองโคไซน์ของสม่ำเสมอ beteenและ1$\theta$$-1$$1$

ใน R นี้จะมีลักษณะที่แสดงด้านล่าง

n <- 10000 # For example n = 10,000.
phi <- runif(n, max=2*pi)
r <- runif(n)^(1/3)
cos_theta <- runif(n, min=-1, max=1)
x <- r * sqrt(1-cos_theta^2) * cos(phi)
y <- r * sqrt(1-cos_theta^2) * sin(phi)
z <- r * cos_theta

ในระหว่างการเขียนและแก้ไขคำตอบนี้ฉันรู้ว่าวิธีแก้ปัญหานั้นเล็กน้อยกว่าที่ฉันคิด

ผมคิดว่าวิธีการที่ง่ายที่สุดและคอมพิวเตอร์ที่มีประสิทธิภาพที่สุดคือการปฏิบัติตาม @ วิธี whuber ในการสร้างในหน่วยทรงกลมตามที่ปรากฏในโพสต์นี้และปรับให้พวกเขาด้วยR$(x,y,z)$$r$

xyz <- matrix(rnorm(3*n), ncol=3)
lambda <- runif(n)^(1/3) / sqrt(rowSums(xyz^2))
xyz <- xyz*lambda

ในความคิดของฉันตัวเลือกที่ง่ายที่สุดซึ่งรวมถึงลูกบอลมิติที่สูงขึ้น (ซึ่งไม่ใช่กรณีของพิกัดทรงกลมและแม้แต่น้อยกรณีการปฏิเสธการสุ่มตัวอย่าง) คือการสร้างจุดสุ่มซึ่งเป็นผลิตภัณฑ์ของตัวแปรสุ่มสองตัว โดยที่เป็นตัวแปรสุ่มแบบเกาส์ (เช่น isotropic, ชี้ไปในทิศทางใด ๆ อย่างสม่ำเสมอ) ปรับให้เป็นมาตรฐานเพื่อให้มันอยู่บนทรงกลมและซึ่งเป็นตัวแปรสุ่มแบบสุ่มในถึง พลังงาน ,เป็นมิติของข้อมูลการดูแลของรัศมีP = N / | | N | | ∗ U 1 / n N U [ 0 , 1 ] 1 / n $P$$P = N/||N|| * U^{1/n}$$N$$U$$[0,1]$$1/n$$n$

และอื่น ๆ !