หลักสูตรคณิตศาสตร์บริสุทธิ์ที่สำคัญสำหรับนักศึกษาปริญญาเอกด้านสถิติคืออะไร?

ฉันรู้ว่าพีชคณิตเชิงเส้นและการวิเคราะห์ (โดยเฉพาะทฤษฎีการวัด) มีความสำคัญ การใช้หลักสูตรระดับบัณฑิตศึกษาในการวิเคราะห์ที่แท้จริงและซับซ้อนมีประโยชน์หรือไม่ ฉันควรเรียนรายวิชาพีชคณิตนามธรรมนอกเหนือจากหลักสูตรเบื้องต้นเช่นพีชคณิตสับเปลี่ยนและเรขาคณิตเชิงพีชคณิตหรือไม่

ในความคิดของฉันตัวเลือกบางอย่างที่จะตรวจสอบในระดับบัณฑิตศึกษาอาจเป็น: การวิเคราะห์การทำงาน (กรอบธรรมชาติสำหรับสูตรทางสถิติ) กระบวนการสุ่มการควบคุมสุ่ม (การวิเคราะห์ตามลำดับเป็นการหยุดที่ดีที่สุด) รสชาติต่างๆของ PDE PDE ของพาราโบลาและไม่เชิงเส้น) สิ่งเหล่านี้ต้องการการวิเคราะห์ที่แท้จริงในระดับปริญญาตรี หากคุณสนใจเรื่องทางทฤษฎีการพิจารณาทฤษฏีการวัดก็เป็นสิ่งสำคัญเช่นกันซึ่งเป็นข้อกำหนดเบื้องต้นสำหรับการปฏิบัติอย่างเต็มที่ในหัวข้อเหล่านี้ การวิเคราะห์ที่ซับซ้อนจะมีประโยชน์บ้าง แต่น้อยกว่านั้น มีการเชื่อมต่อกับความน่าจะเป็น (เช่นฟังก์ชั่นฮาร์โมนิ) แต่มันอาจจะไม่คุ้มค่า

พีชคณิตเชิงซ้อนและเรขาคณิตเชิงพีชคณิตจะไม่มีประโยชน์มาก (การเชื่อมโยงเดียวที่ฉันคิดได้คือสถิติเกี่ยวกับพีชคณิตซึ่งไม่ได้สอนอย่างกว้างขวาง) หัวข้อเหล่านี้จะท้าทายมากหากไม่มีพื้นฐานด้านคณิตศาสตร์ที่แข็งแกร่ง

หากคุณต้องการเข้าใจทฤษฎีการวัดคุณไม่มีทางเลือกนอกจากต้องทำการวิเคราะห์จริงและการวิเคราะห์ขั้นสูง พีชคณิตนามธรรมนั้นเป็นมิตรกับเกรดมากกว่าการวิเคราะห์ แต่ฉันคิดว่ามันมีประโยชน์น้อยกว่ามาก

รับการวิเคราะห์จริง แต่ไม่ใช่ในแบบที่ฉันเห็นคนทำ เมื่อเราสัมภาษณ์คณิตศาสตร์ระดับปริญญาตรีพวกเขาดูเหมือนจะไม่เชี่ยวชาญเครื่องมือในการวิเคราะห์ที่แท้จริงสิ่งต่าง ๆ เช่นการใช้อินทิกรัลก็ไม่ง่ายสำหรับพวกเขาส่วนใหญ่ ฉันยังไม่เข้าใจว่าทำไม ดังนั้นคำแนะนำของฉัน: ใส่ใจกับการใช้งานครั้งแรกและสำคัญที่สุด

ยังได้รับหลักสูตร ODE และ PDE และการวิเคราะห์เชิงหน้าที่และเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์ แน่นอนว่าพีชคณิตเชิงเส้นและเทนเซอร์ ทั้งหมดเน้นการใช้งาน

ในส่วนที่เกี่ยวกับพีชคณิตเชิงซ้อนและเรขาคณิตเชิงพีชคณิตวิชาที่ถูกกล่าวถึงอย่างน้อยที่สุดในคำตอบอื่น ๆ ความประทับใจของฉันคือตราบใดที่คุณหลีกเลี่ยงสถิติเกี่ยวกับพีชคณิตคุณสามารถทำได้โดยไม่มีพวกเขา การหลีกเลี่ยงสถิติเกี่ยวกับพีชคณิตอาจจะยากขึ้นในอนาคตเนื่องจากมีแอปพลิเคชั่นและทางแยกมากมายที่มีการเรียนรู้ด้วยเครื่อง / สถิติซึ่งโดดเด่นมากในการวิจัยในปัจจุบันเช่นเดียวกับการใช้งานในด้านอื่น ๆ Commutative พีชคณิตและพีชคณิตเรขาคณิตเป็นวิชาที่คุณต้องการเรียนรู้มากที่สุดโดยเฉพาะสำหรับสถิติเกี่ยวกับพีชคณิตดูตัวอย่างคำตอบสำหรับคำถามนี้: เรขาคณิตเชิงพีชคณิตสำหรับสถิติ

ในทางตรงกันข้ามฟิลด์ย่อยของสถิติทั้งหมดใช้การวิเคราะห์ (การวิเคราะห์ที่ซับซ้อนไม่มากถึงแม้ว่ามันอาจจะมีประโยชน์สำหรับการทำความเข้าใจเกี่ยวกับฟังก์ชั่นลักษณะจุดที่ดูเหมือนว่าจะไม่ได้รับการเลี้ยงดู) ฉันคิดว่าทฤษฎีการวัดระดับปริญญาตรีอาจจะเพียงพอเพราะฉันได้พบนักสถิติมืออาชีพ ที่แผนกบนสุด) ที่ดูถูกทฤษฎีการวัด แต่ถ้าคุณอยากเข้าใจทฤษฎีการวัดแน่นอนว่าหลักสูตรระดับบัณฑิตศึกษาในการวิเคราะห์ที่แท้จริงคือความช่วยเหลือที่ดี ทฤษฎีการวัดระดับปริญญาตรีมีแนวโน้มที่จะมุ่งเน้นเฉพาะในการวัด Lebesgue ในสายจริงซึ่งมีคุณสมบัติที่ดีจำนวนมากซึ่งมาตรการทั่วไปอาจไม่จำเป็นต้องมีและยิ่งไปกว่านั้นคือการวัดที่ไม่มีที่สิ้นสุด ในทางตรงกันข้ามหลักสูตรการวิเคราะห์จริงในระดับบัณฑิตศึกษามีแนวโน้มที่จะให้ความสำคัญกับมาตรการเชิงนามธรรมมากกว่า ซึ่งทำให้การวัดความน่าจะเป็นโดยทั่วไปง่ายต่อการเข้าใจและทำให้ความสัมพันธ์มีความชัดเจนยิ่งขึ้นระหว่างการวัดความน่าจะเป็นแบบต่อเนื่องและแบบแยก - ในคำอื่น ๆ คุณจะสามารถเห็นทั้งสองวิชามารวมกันภายในกรอบแรก ในทำนองเดียวกันหนึ่งอาจพิสูจน์ทฤษฎีบทการขยาย Kolmogorov ในหลักสูตรดังกล่าว และความเข้าใจเกี่ยวกับมาตรการเชิงนามธรรมเป็นสิ่งที่ขาดไม่ได้สำหรับความเข้าใจอย่างเข้มงวดของกระบวนการสโทแคสติกในเวลาต่อเนื่อง มันยังมีประโยชน์สำหรับการทำความเข้าใจกระบวนการสโทแคสติกในเวลาที่ไม่ต่อเนื่องแม้ว่าจะมีความสำคัญน้อยกว่าในกรณีที่ต่อเนื่อง คุณจะสามารถเห็นทั้งสองวิชามารวมกันภายในกรอบเดียวในใจของคุณเป็นครั้งแรก ในทำนองเดียวกันหนึ่งอาจพิสูจน์ทฤษฎีบทการขยาย Kolmogorov ในหลักสูตรดังกล่าว และความเข้าใจเกี่ยวกับมาตรการเชิงนามธรรมเป็นสิ่งที่ขาดไม่ได้สำหรับความเข้าใจอย่างเข้มงวดของกระบวนการสโทแคสติกในเวลาต่อเนื่อง มันยังมีประโยชน์สำหรับการทำความเข้าใจกระบวนการสโทแคสติกในเวลาที่ไม่ต่อเนื่องแม้ว่าจะมีความสำคัญน้อยกว่าในกรณีที่ต่อเนื่อง คุณจะสามารถเห็นทั้งสองวิชามารวมกันภายในกรอบเดียวในใจของคุณเป็นครั้งแรก ในทำนองเดียวกันหนึ่งอาจพิสูจน์ทฤษฎีบทการขยาย Kolmogorov ในหลักสูตรดังกล่าว และความเข้าใจเกี่ยวกับมาตรการเชิงนามธรรมเป็นสิ่งที่ขาดไม่ได้สำหรับความเข้าใจอย่างเข้มงวดของกระบวนการสโทแคสติกในเวลาต่อเนื่อง มันยังมีประโยชน์สำหรับการทำความเข้าใจกระบวนการสโทแคสติกในเวลาที่ไม่ต่อเนื่องแม้ว่าจะมีความสำคัญน้อยกว่าในกรณีที่ต่อเนื่อง