ความคาดหวังของการแลกเปลี่ยนซึ่งกันและกันของตัวแปร

16

ฉันสับสนในการใช้ความคาดหวังในตัวส่วน

$E(1/X)=\,?$

สามารถเป็น $1/E(X)\,$ ?

expected-value

— ฉาน
แหล่งที่มา

โพสต์ที่เกี่ยวข้อง: stats.stackexchange.com/questions/305713/...

— StubbornAtom

27

เป็น 1 / E (X) ได้ไหม?

ไม่โดยทั่วไปไม่สามารถ; ความไม่เท่าเทียมกันของเซ่นบอกเราว่าถ้าเป็นตัวแปรสุ่มและเป็นหน้าที่นูนแล้ว ]ถ้าเป็นบวกอย่างเข้มงวดดังนั้นจะนูนดังนั้นและสำหรับฟังก์ชันนูนอย่างเคร่งครัดความเสมอภาคจะเกิดขึ้นเมื่อ $X$ $\varphi$ $\varphi(\text{E}[X]) \leq \text{E}\left[\varphi(X)\right]$ $X$ $1/X$ $\text{E}[1/X]\geq 1/\text{E}[X]$ $X$ มีศูนย์แปรปรวน ... ดังนั้นในกรณีที่เรามักจะสนใจทั้งสองมักจะไม่เท่ากัน

สมมติว่าเรากำลังจัดการกับตัวแปรบวกหากเป็นที่ชัดเจนกับคุณว่าและจะเกี่ยวข้องกับผกผัน ( ) แล้วนี่จะหมายถึงซึ่งหมายถึง $X$ $1/X$ $\text{Cov}(X,1/X)\leq 0$ $E(X \cdot 1/X) - E(X) E(1/X) \leq 0$ ดังนั้น ) $E(X) E(1/X) \geq 1$ $E(1/X) \geq 1/E(X)$

ฉันสับสนในการใช้ความคาดหวังในตัวส่วน

ใช้กฎของนักสถิติที่ไม่รู้สึกตัว

E [g (X)] = \int_{- \infty}^{\infty} g (x) f_{X} (x) d x

$\text{E}[g(X)] = \int_{-\infty}^\infty g(x) f_X(x) dx$

(ในกรณีอย่างต่อเนื่อง)

ดังนั้นเมื่อ , $g(X) = \frac{1}{X}$ $\text{E}[\frac{1}{X}]=\int_{-\infty}^\infty \frac{f(x)}{x} dx$

ในบางกรณีความคาดหวังสามารถประเมินได้โดยการตรวจสอบ (เช่นกับตัวแปรสุ่มแกมมา) หรือโดยการกระจายตัวของอินเวอร์สหรือโดยวิธีอื่น

— Glen_b -Reinstate Monica
แหล่งที่มา

14

อย่างที่ Glen_b บอกว่าอาจผิดเพราะส่วนกลับเป็นฟังก์ชันที่ไม่ใช่เชิงเส้น หากคุณต้องการประมาณ $E(1/X)$ บางทีคุณสามารถใช้การขยาย Taylor รอบ $E(X)$ :

E (\frac{1}{X}) \approx E (\frac{1}{E (X)} - \frac{1}{E (X)^{2}} (X - E (X)) + \frac{1}{E (X)^{3}} (X - E (X))^{2}) = = \frac{1}{E (X)} + \frac{1}{E (X)^{3}} V a r (X)

$E \bigg( \frac{1}{X} \bigg) \approx E\bigg( \frac{1}{E(X)} - \frac{1}{E(X)^2}(X-E(X)) + \frac{1}{E(X)^3}(X - E(X))^2 \bigg) = \\ = \frac{1}{E(X)} + \frac{1}{E(X)^3}Var(X)$ ดังนั้นคุณแค่ต้องการค่าเฉลี่ยและความแปรปรวนของ X และถ้าการกระจายของ

X

$X$ นั้นสมมาตรการประมาณนี้จะแม่นยำมาก

แก้ไข: ข้างต้นอาจจะค่อนข้างสำคัญดูความคิดเห็นจาก BioXX ด้านล่าง

— มัตเตโอฟาซิโอ
แหล่งที่มา

| x |

$|x|$

| x |

$|x|$

E (x)

$E(x)$

V (x)

$V(x)$

2

| X |

$|X|$

E (| X |) = E (X | X > 0) p (X > 0) + E (- X | X < 0) p (X < 0)

$E(|X|) = E(X|X > 0)p(X>0) + E(-X|X < 0)p(X<0)$

1

@MatteoFasiolo คุณช่วยอธิบายได้ไหมว่าทำไมสัดส่วนการกระจายของ

(หรือขาดมัน) มีผลต่อความแม่นยำของการประมาณเทย์เลอร์? คุณมีแหล่งข้อมูลที่คุณสามารถชี้ให้ฉันอธิบายได้ว่าทำไมถึงเป็นเช่นนั้น

X

$X$

— แอรอนเฮ็นดริคสัน

1

E {(X - E (X))^{3}}

$E\{(X-E(X))^3\}$

X

$X$

4

X

$X$

f (x) = 1 / x

$f(x)=1/x$

1 / 6 f^{‴} (ξ) (X - μ)^{3}

$1/6f'''(\xi)(X-\mu)^3$

ξ

$\xi$

X

$X$

μ

$\mu$

X_{n} - μ = O_{p} (a_{n})

$X_n -\mu = O_p(a_n)$

a_{n} \to 0

$a_n \to 0$

8

$\DeclareMathOperator{\E}{\mathbb{E}} \E \frac1{X}$ $X>0$ $M_X(t) = \E e^{tX}$ $1/x$ $x$

$\int_0^\infty e^{-t x}\; dt = \frac1{x}$

E (\frac{1}{X}) = \int_{0}^{\infty} x^{- 1} f (x) d x = \int_{0}^{\infty} (\int_{0}^{\infty} e^{- t x} d t) f (x) d x = \int_{0}^{\infty} (\int_{0}^{\infty} e^{- t x} f (x) d x) d t = \int_{0}^{\infty} M_{X} (- t) d t

$\E \left(\frac1{X}\right) = \int_0^\infty x^{-1} f(x)\; dx = \int_0^\infty \left( \int_0^\infty e^{-tx}\; dt \right) f(x)\; dx =\\ \int_0^\infty \left( \int_0^\infty e^{-tx} f(x) \; dx \right) \; dt = \int_0^\infty M_X(-t) \; dt$

X

$X$

e^{- x}, x > 0

$e^{-x}, x>0$

M_{X} (t) = \frac{1}{1 - t}, t < 1

$M_X(t)=\frac1{1-t}, t<1$

\int_{0}^{\infty} M_{X} (- t) d t = \int_{0}^{\infty} \frac{1}{1 + t} d t = \ln (1 + t) |_{0}^{\infty} = \infty

$\int_0^\infty M_X(-t)\; dt = \int_0^\infty \frac1{1+t} \; dt= \ln(1+t) \bigg\rvert_0^\infty = \infty$

\frac{1}{E X} = \frac{1}{1} = 1

$\frac1{\E X}=\frac11=1$

— kjetil b halvorsen
แหล่งที่มา

7

$E(1/X)$ $E[e^{-\lambda X}]$

\int_{0}^{\infty} e^{- λ x} d λ = \frac{1}{x}

$\int_0^\infty e^{-\lambda x} d\lambda =\frac{1}{x}$

\int_{0}^{\infty} E [e^{- λ X}] d λ = E [\frac{1}{X}] .

$\int_0^\infty E[e^{-\lambda X}] d\lambda =E[\frac{1}{X}].$

— user172761
แหล่งที่มา

2

ความคิดที่นี่ถูกต้อง แต่รายละเอียดไม่ถูกต้อง Pleasecheck

— kjetil b halvorsen

1

t X

$t X$

- t X

$-t X$

t

$t$

λ

$\lambda$

1

คุณพูดถูกปัญหาน้อยกว่าที่ฉันคิด ยังคงคำตอบนี้จะดีกว่าถ้ามีรายละเอียดเพิ่มเติม พรุ่งนี้ฉันจะโหวตขึ้น (เมื่อฉันมีคะแนนโหวตใหม่)

— kjetil b halvorsen

1

$\text{E}(1/X)\neq 1/\text{E}(X)$ $\text{E}(X)=0$

ในตัวอย่างที่ จำกัด การใช้คำว่าค่าเฉลี่ยสำหรับความคาดหวังนั้นไม่ได้เป็นการกระทำที่ไม่เหมาะสมดังนั้นหากมีในมือข้างหนึ่ง

$\text{E}(X) = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^N X_i$

และอีกอันหนึ่งมีอีกด้านหนึ่ง

$\text{E}(1/X) = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^N 1/X_i$

$N>1$

$\text{E}(1/X) = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^N 1/X_i \neq \frac{N}{\sum_{i=1}^N X_i} = 1/\text{E}(X)$

$\text{E}(1/X)\neq 1/\text{E}(X)$

$0$

$\text{E}(1/X)=\int_{-\infty}^\infty \frac{f(x)}{x} dx \neq 1/\int_{-\infty}^\infty xf(x) dx = 1/\text{E}(X)$

— ให้มีชีวิตอยู่
แหล่งที่มา