อัตราส่วนของความน่าจะเป็นเทียบกับอัตราส่วนของ PDF

ฉันใช้ Bayes เพื่อแก้ปัญหาการจัดกลุ่ม หลังจากทำการคำนวณบางอย่างฉันก็จำเป็นต้องได้รับอัตราส่วนของความน่าจะเป็นสองอย่าง:

P (A) / P (B)

$P(A)/P(B)$

เพื่อให้สามารถที่จะได้รับ $P(H|D)$ )ความน่าจะเป็นเหล่านี้ได้มาจากการรวมกันของ KD หลายตัวแปร 2D สองแบบตามที่อธิบายไว้ในคำตอบนี้ :

P (A) = \iint_{x, y : \hat{f} (x, y) < \hat{f} (r_{a}, s_{a})} \hat{f} (x, y) d x d y

$P(A) = \iint_{x, y : \hat{f}(x, y) < \hat{f}(r_a, s_a)} \hat{f}(x,y)\,dx\,dy$

P (B) = \iint_{x, y : \hat{g} (x, y) < \hat{g} (r_{b}, s_{b})} \hat{g} (x, y) d x d y

$P(B) = \iint_{x, y : \hat{g}(x, y) < \hat{g}(r_b, s_b)} \hat{g}(x,y)\,dx\,dy$

โดยที่และคือ KDEs และการรวมเข้าด้วยกันนั้นทำสำหรับทุกจุดใต้ thresholdsและs_b) ทั้งสอง KDEs ใช้เคอร์เนล Gaussian ภาพตัวแทนของ KDE คล้ายกับคนที่ฉันกำลังทำงานกับสามารถมองเห็นได้ที่นี่: การบูรณาการประมาณค่าความหนาแน่นของเคอร์เนลในแบบ 2D $\hat{f}(x, y)$ $\hat{g}(x, y)$ $\hat{f}(r_a, s_a)$ $\hat{g}(r_b, s_b)$

ฉันคำนวณ KDE ด้วยการใช้pythonฟังก์ชั่นstats.gaussian_kdeดังนั้นฉันจึงถือว่ารูปแบบทั่วไปดังต่อไปนี้:

K D E (x, y) = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} - \frac{1}{2 h^{2}} e^{- \frac{(x - x_{i})^{2} + (y - y_{i})^{2}}{2 h^{2}}}

$KDE(x,y) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} -\frac{1}{2h^2} e^{-\frac{(x-x_i)^2 + (y-y_i)^2}{2h^2}}$

nความยาวของอาร์เรย์ของคะแนนของฉันอยู่ที่ไหนและhใช้แบนด์วิดท์เป็นเท่าไหร่

อินทิกรัลด้านบนคำนวณโดยใช้กระบวนการมอนติคาร์โลซึ่งมีราคาค่อนข้างสูง ฉันได้อ่านที่ไหนสักแห่ง (ลืมที่ไหนขอโทษ) ว่าในกรณีเช่นนี้มันเป็นไปได้ที่จะแทนที่อัตราส่วนของความน่าจะเป็นด้วยอัตราส่วนของ PDF (KDE) ที่ประเมินที่จุดเริ่มต้นเพื่อให้ได้ผลลัพธ์ที่ถูกต้องเท่าเทียมกัน ฉันสนใจสิ่งนี้เพราะการคำนวณอัตราส่วนของ KDE นั้นเป็นคำสั่งที่มีขนาดเร็วกว่าการคำนวณอัตราส่วนของอินทิกรัลกับ MC

ดังนั้นคำถามจะลดลงตามความถูกต้องของนิพจน์นี้:

\frac{P (A)}{P (B)} = \frac{\hat{f} (r_{a}, s_{a})}{\hat{g} (r_{b}, s_{b})}

$\frac{P(A)}{P(B)} = \frac{\hat{f}(r_a, s_a)}{\hat{g}(r_b, s_b)}$

ภายใต้สถานการณ์ใดฉันสามารถพูดได้ว่าความสัมพันธ์นี้เป็นจริงหรือไม่

[แก้ไขข้อผิดพลาด (แก้ไข)

เพิ่ม :

นี่คือคำถามเดียวกันโดยทั่วไป แต่ทำในรูปแบบทางคณิตศาสตร์มากขึ้น

— กาเบรียล
แหล่งที่มา

โปรดทราบว่าการมีอยู่ของนั้นได้รับการรับรองโดยทฤษฎีบทที่มีค่าเฉลี่ยสำหรับอินทิกรัล

r_{a, b}, s_{a, b}

$r_{a,b}, s_{a,b}$

— เดฟ

ฉันเชื่อว่าอัตราส่วนโรงงานอาจมีความเกี่ยวข้อง

— whuber

@ อัตราส่วนที่เห็นได้ชัดว่าต้องการให้ฉันรู้ว่าค่าP(X)ซึ่งเป็นสิ่งที่ฉันพยายามหลีกเลี่ยงการคำนวณ คุณช่วยขยายความเกี่ยวข้องของพารามิเตอร์นั้นหน่อยได้ไหม?

— Gabriel

KDE เป็นส่วนผสมของการแจกแจงแบบปกติ ลองดูหนึ่งในนั้น

คำจำกัดความของและแสดงค่าของพวกเขาจะคงอยู่ภายใต้การแปลและ rescalings ในเครื่องบินดังนั้นจึงพอเพียงที่จะพิจารณาการกระจายปกติมาตรฐานที่มีรูปแบบไฟล์ PDF ฉความไม่เท่าเทียม $P(A)$ $P(B)$ $f$

f (x, y) \leq f (r, s)

$f(x,y) \le f(r,s)$

เทียบเท่ากับ

x^{2} + y^{2} \geq r^{2} + s^{2} .

$x^2 + y^2 \ge r^2 + s^2.$

แนะนำพิกัดเชิงขั้วอนุญาตให้อินทิกรัลถูกเขียนใหม่ได้ $\rho, \theta$

P (r, s) = \frac{1}{2 π} \int_{0}^{2 π} \int_{\sqrt{r^{2} + s^{2}}}^{\infty} ρ \exp (- ρ^{2} / 2) d ρ d θ = \exp (- (r^{2} + s^{2}) / 2) = 2 π f (r, s) .

$P(r,s) = \frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}\int_\sqrt{r^2+s^2}^\infty \rho \exp(-\rho^2/2) d\rho d\theta= \exp(-(r^2+s^2)/2) = 2\pi f(r,s).$

ตอนนี้พิจารณาส่วนผสม เพราะมันเป็นเส้นตรง

\begin{aligned} P (r, s) & = \frac{1}{n} \sum_{i} 2 π f ((r - x_{i}) / h, (s - y_{i}) / h) \\ = 2 π h^{2} (\frac{1}{n} \sum_{i} \frac{1}{h^{2}} f ((r - x_{i}) / h, (s - y_{i}) / h)) \\ = 2 π h^{2} K D E (r, s) . \end{aligned}

$\eqalign{ P(r,s) &= \frac{1}{n}\sum_i 2\pi f((r-x_i)/h, (s-y_i)/h) \\ &= 2\pi h^2\left(\frac{1}{n}\sum_i \frac{1}{h^2} f((r-x_i)/h, (s-y_i)/h)\right) \\ &=2\pi h^2 KDE(r,s). }$

แน่นอนและเป็นสัดส่วน คงสัดส่วนเป็น 2 $f$ $P$ $2\pi h^2$

ความสัมพันธ์ที่เป็นสัดส่วนระหว่างกับนั้นเป็นสิ่งพิเศษที่ $P$ $f$ สามารถชื่นชมได้โดยการพิจารณาตัวอย่างที่เรียบง่าย ให้มีการกระจายชุดในชุดที่วัดของหน่วยพื้นที่และมีการกระจายชุดในชุดที่วัดซึ่งเป็นเคล็ดจากและมีพื้นที่1 ดังนั้นส่วนผสมที่มี PDFจะมีค่าคงที่บน ,บนและเป็นศูนย์ที่อื่น มีสามกรณีที่ควรพิจารณา: $f_1$ $A_1$ $f_2$ $A_2$ $A_1$ $\mu\gt 1$ $f=f_1/2 + f_2/2$ $1/2$ $A_1$ $1/(2\mu)$ $A_2$

$(r,s)\in A_1$ A_1 นี่บรรลุสูงสุดดังนั้น 1 อัตราส่วน1/2 $f(r,s)=1/2$ $P(r,s)=1$ $f(r,s)/P(r,s) = 1/2$
$(r,s)\in A_2$ A_2 นี่เป็นอย่างเคร่งครัดน้อยกว่าแต่มากกว่า0ดังนั้นภูมิภาคของการรวมเป็นส่วนเติมเต็มของและหนึ่งส่งผลให้ต้องเท่ากับ1/2อัตราส่วน1 $f(r,s)$ $1/2$ $0$ $A_1$ $1/2$ $f(r,s)/P(r,s) = (1/(2\mu))/(1/2) = 1/\mu$
ที่อื่นคือศูนย์และอินทิกรัลคือศูนย์ $f$ $P$

เห็นได้ชัดว่าอัตราส่วน (ที่มันถูกกำหนดไว้) ไม่ได้อย่างต่อเนื่องและแตกต่างกันระหว่างและ1 แม้ว่าการกระจายนี้จะไม่ต่อเนื่อง แต่ก็สามารถทำได้โดยการเพิ่มการกระจายปกติไป โดยการทำให้ทั้งค่าลักษณะเฉพาะของขนาดเล็กนี้จะเปลี่ยนการกระจายน้อยมากและผลิตในเชิงคุณภาพผลลัพธ์เดียวกัน - เพียงตอนนี้ค่าของอัตราส่วนจะรวมถึงทุกตัวเลขในช่วง . $1$ $1/\mu \ne 1$ $(0,\Sigma)$ $\Sigma$ $f/P$ $[1,1/\mu]$

ผลนี้ยังไม่ได้พูดคุยกับมิติอื่น ๆ เป็นหลักในการคำนวณเดียวกันที่เริ่มต้นคำตอบนี้แสดงให้เห็นว่าเป็นฟังก์ชันแกมมาไม่สมบูรณ์และที่ชัดเจนคือไม่เหมือนกับฉสองมิตินั้นพิเศษสามารถชื่นชมได้ด้วยการสังเกตว่าการรวมในเกี่ยวข้องกับระยะทางและเมื่อกระจายตามปกติฟังก์ชันระยะทางมีการ - ซึ่งเป็นการกระจายแบบเลขชี้กำลัง ฟังก์ชันเลขชี้กำลังเป็นเอกสิทธิ์ในการเป็นสัดส่วนกับอนุพันธ์ของตัวเอง - เมื่อใดที่ integrandและอินทิกรัลต้องเป็นสัดส่วน $P$ $f$ $P$ $\chi^2(2)$ $f$ $P$

— whuber
แหล่งที่มา

นี่เป็นคำตอบที่เหลือเชื่อมากขอบคุณมาก ใช้เวลาสักครู่ในการประมวลผลทุกอย่างที่คุณเขียนไว้ที่นี่ แต่ฉันเชื่อมั่นในการคำนวณของคุณอย่างสมบูรณ์ซึ่งหมายความว่าฉันได้ทำเครื่องหมายคำถามว่าได้รับการแก้ไขแล้ว ไชโย

— Gabriel