สถิติเพียงพอปัญหาเฉพาะ / ปรีชาญาณ

ฉันสอนตัวเองสถิติบางอย่างเพื่อความสนุกสนานและฉันมีความสับสนบางอย่างเกี่ยวกับสถิติที่เพียงพอ ฉันจะเขียนความสับสนในรูปแบบรายการ:

1. หากการจัดจำหน่ายที่มีพารามิเตอร์แล้วมันจะมีnสถิติเพียงพอ?$n$$n$

2. มีการติดต่อโดยตรงใด ๆ ระหว่างสถิติที่เพียงพอและพารามิเตอร์หรือไม่? หรือทำสถิติที่เพียงพอเพียงทำหน้าที่เป็นแหล่งรวมของ "ข้อมูล" เพื่อให้เราสามารถสร้างการตั้งค่าใหม่เพื่อให้เราสามารถคำนวณค่าประมาณเดียวกันสำหรับพารามิเตอร์ของการแจกแจงต้นแบบ

3. การแจกแจงทั้งหมดมีสถิติเพียงพอหรือไม่ กล่าวคือ ทฤษฎีการแยกตัวประกอบสามารถล้มเหลวได้หรือไม่?

4. การใช้ตัวอย่างข้อมูลของเราเราถือว่าการแจกแจงว่าข้อมูลน่าจะมาจากและสามารถคำนวณการประมาณ (เช่น MLE) สำหรับพารามิเตอร์สำหรับการแจกแจง สถิติที่เพียงพอก็เป็นวิธีที่สามารถคำนวณค่าประมาณเดียวกันสำหรับพารามิเตอร์โดยไม่ต้องพึ่งพาข้อมูลเองใช่ไหม

5. ชุดของสถิติที่เพียงพอทั้งหมดจะมีสถิติที่น้อยที่สุดหรือไม่

นี่คือเนื้อหาที่ฉันใช้เพื่อพยายามทำความเข้าใจกับหัวข้อ: https://onlinecourses.science.psu.edu/stat414/node/283

จากสิ่งที่ฉันเข้าใจว่าเรามีทฤษฎีการแยกตัวประกอบที่แยกการกระจายตัวของข้อต่อออกเป็นสองหน้าที่ แต่ฉันไม่เข้าใจว่าเราสามารถแยกสถิติที่เพียงพอได้อย่างไรหลังจากแยกตัวประกอบการกระจายออกเป็นฟังก์ชันของเรา

1. คำถามปัวซองที่ให้ไว้ในตัวอย่างนี้มีการแยกตัวประกอบที่ชัดเจน แต่แล้วมันก็ระบุว่าสถิติที่เพียงพอคือค่าเฉลี่ยตัวอย่างและผลรวมตัวอย่าง เรารู้ได้อย่างไรว่าสิ่งเหล่านั้นเป็นสถิติที่เพียงพอเพียงแค่ดูที่รูปแบบของสมการแรก

2. มันเป็นวิธีการที่เป็นไปได้ที่จะดำเนินการ MLE เดียวกันประมาณการโดยใช้สถิติเพียงพอถ้าสมการที่สองของผลตีนเป็ดบางครั้งจะขึ้นอยู่กับค่าของข้อมูล$X_i$เอง? ตัวอย่างเช่นในกรณีปัวซองฟังก์ชันที่สองขึ้นอยู่กับการผกผันของผลคูณของแฟคทอเรียลของข้อมูลและเราจะไม่มีข้อมูลอีกต่อไป!

3. ทำไมจะขนาดตัวอย่างไม่เป็นสถิติที่เพียงพอในความสัมพันธ์กับตัวอย่าง Poisson บนหน้าเว็บ ? เราต้องการให้nสร้างบางส่วนของฟังก์ชั่นแรกอีกครั้งดังนั้นทำไมมันถึงมีสถิติไม่เพียงพอเช่นกัน?$n$$n$

คุณอาจได้รับประโยชน์จากการอ่านเกี่ยวกับความพอเพียงในตำราเรียนใด ๆ เกี่ยวกับสถิติเชิงทฤษฎีซึ่งคำถามเหล่านี้ส่วนใหญ่จะกล่าวถึงในรายละเอียด สั้น ๆ ...

1. ไม่จำเป็น. สิ่งเหล่านี้เป็นกรณีพิเศษ: ของการแจกแจงที่การสนับสนุน (ช่วงของค่าที่สามารถใช้ข้อมูลได้) ไม่ได้ขึ้นอยู่กับพารามิเตอร์ที่ไม่รู้จักเฉพาะในตระกูลเอ็กซ์โพเนนเชียลเท่านั้นที่มีสถิติพอเพียงในมิติเดียวกันกับจำนวน พารามิเตอร์ ดังนั้นสำหรับการประเมินรูปร่างและสเกลของการแจกแจงแบบ Weibull หรือตำแหน่ง & สเกลของการกระจายแบบลอจิสติกจากการสังเกตแบบอิสระสถิติลำดับ (การสังเกตทั้งชุดโดยไม่คำนึงถึงลำดับของพวกเขา) นั้นเพียงพอน้อยมาก ข้อมูลเกี่ยวกับพารามิเตอร์ ในกรณีที่การสนับสนุนขึ้นอยู่กับพารามิเตอร์ที่ไม่รู้จักจะแตกต่างกันไป: สำหรับการแจกแจงแบบสม่ำเสมอใน , ค่าสูงสุดตัวอย่างนั้นเพียงพอสำหรับ$(0,\theta)$$\theta$; สำหรับการแจกแจงแบบสม่ำเสมอบนตัวอย่างขั้นต่ำและสูงสุดอยู่ด้วยกันเพียงพอ$(\theta-1,\theta+1)$

2. ฉันไม่รู้ว่าคุณหมายถึงอะไรโดย "การโต้ตอบโดยตรง"; ทางเลือกที่คุณให้นั้นดูเหมือนจะยุติธรรมในการอธิบายสถิติที่เพียงพอ

3. ใช่: ข้อมูลโดยรวมมีเพียงเล็กน้อย (ถ้าคุณได้ยินคนพูดว่าไม่มีสถิติเพียงพอพวกเขาหมายถึงไม่มีมิติต่ำ)

4. ใช่นั่นคือความคิด (มีอะไรเหลือ - การกระจายของข้อมูลที่มีเงื่อนไขในสถิติที่เพียงพอ - สามารถใช้สำหรับการตรวจสอบสมมติฐานการกระจายโดยไม่ขึ้นอยู่กับพารามิเตอร์ที่ไม่รู้จัก)

5. เห็นได้ชัดว่าไม่ถึงแม้ว่าฉันรวบรวมตัวอย่างเคาน์เตอร์ไม่ใช่การแจกแจงที่คุณน่าจะต้องการใช้ในทางปฏิบัติ [มันคงจะดีถ้ามีใครสามารถอธิบายสิ่งนี้ได้โดยไม่ให้ทฤษฎีการวัดหนักเกินไป]

เพื่อตอบคำถามเพิ่มเติม ...

1. $\mathrm{e}^{-n\lambda}\cdot\lambda^{\sum{x_i}}$$\lambda$$\sum x_i$$\sum x_i$$\sum x_i$$\sum x_i/n$$(\sum x_i)^2$

2. $\tfrac{1}{x_1! x_2! \ldots x_n!}$$\lambda$$\lambda$$f(x;\lambda)$

3. $n$

$\sum x_i$

$n$ $N$$(\sum x_i,n)$$n$$\theta$$\sum x_i$