ทำไมการทดสอบ F ในแบบจำลองเชิงเส้น Gaussian จึงมีประสิทธิภาพมากที่สุด

สำหรับแบบจำลองเชิงเส้นแบบเกาส์โดยที่ถูกสมมติให้อยู่ในปริภูมิเวกเตอร์และมีการแจกแจงแบบปกติมาตรฐานใน , สถิติของ -test สำหรับโดยที่เป็นปริภูมิเวกเตอร์เป็นการเพิ่มฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งของสถิติเบี่ยงเบน : เราจะรู้ได้อย่างไรว่าสถิตินี้ให้การทดสอบที่มีประสิทธิภาพที่สุดสำหรับH_0$Y=\mu+\sigma G$$\mu$$W$$G$$\mathbb{R}^n$$F$$H_0\colon\{\mu \in U\}$$U \subset W$

$$f=\phi\left( 2\log \frac{\sup_{\mu \in W, \sigma>0} L(\mu, \sigma | y)}{\sup_{\mu \in U, \sigma>0} L(\mu, \sigma | y)} \right).$$ $H_0$(อาจหลังจากทิ้งกรณีที่ผิดปกติ) หรือไม่ สิ่งนี้ไม่ได้เกิดจากทฤษฎีบทของเนย์แมน - เพียร์สันเพราะทฤษฎีนี้ยืนยันว่าการทดสอบอัตราส่วนความน่าจะเป็นมีประสิทธิภาพมากที่สุดสำหรับจุดสมมุติ$H_0\colon\{\mu=\mu_0, \sigma=\sigma_0\}$และ$H_1\colon\{\mu=\mu_1,\sigma=\sigma_1\}$\}

ฉันได้ทำตามคำถามนี้มาระยะหนึ่งแล้วหวังว่าคนที่มีความเข้าใจเชิงลึกในทฤษฎีการทดสอบแบบดั้งเดิมสามารถอธิบายได้ว่าทำไมการทดสอบไม่ได้ทรงพลังที่สุดเท่ากันโดยทั่วไปเช่นเดียวกับ @ cardinal เขียนในความคิดเห็น มันเป็นคติชนวิทยาที่การทดสอบที่ทรงพลังที่สุดสามารถสร้างขึ้นสำหรับสมมุติฐานด้านเดียวกับพารามิเตอร์ที่ไม่แปรเปลี่ยน แต่ความคิดเห็นดังกล่าวไม่ได้ตอบคำถาม$F$$-$

ตัวอย่าง 5.5 ในสถิติเชิงทฤษฎีโดย Cox และ Hinkley แสดงให้เห็นว่าการทดสอบ -test เป็นการทดสอบที่คล้ายกันที่ทรงพลังที่สุดสำหรับค่าเฉลี่ยที่ไม่แปรเปลี่ยนซึ่งมีความแปรปรวนที่ไม่ทราบค่า ด้วยการอ้างอิงถึงเทคนิคในการวิเคราะห์ความแปรปรวนโดยSchefféการเรียกร้องเช่นเดียวกับที่ -test สมมติฐานหนึ่งพารามิเตอร์ในกรณีที่หลายตัวแปรยังคงเป็นแบบทดสอบที่คล้ายกันสม่ำเสมอมีประสิทธิภาพมากที่สุดที่มีพารามิเตอร์ที่เหลือและความแปรปรวนเป็นพารามิเตอร์รำคาญ เมื่อ codimension ของคือ 1, -test นั้นเทียบเท่ากับ -test$t$$t$$U$$F$$t$

ตัวอย่าง 5.20 ที่ยังอยู่ใน Cox และ Hinkley จะพิจารณา ANOVA แบบทางเดียว มันระบุว่าในกรณีที่มีอย่างน้อยสามกลุ่มจะไม่มีการทดสอบสมมติฐานที่ทรงพลังที่สุดเท่า ๆ กันซึ่งไม่มีความแตกต่างระหว่างกลุ่ม นี้จะช่วยให้ส่วนผสมสำหรับแสดงให้เห็นว่า -test ไม่สม่ำเสมอมีประสิทธิภาพมากที่สุดตั้งแต่หาทางเลือกที่เฉพาะเจาะจงมีประสิทธิภาพมากขึ้น -tests อย่างไรก็ตามการทดสอบคือการทดสอบค่าคงที่ที่ทรงพลังที่สุด$F$$t$$F$

ดังนั้นสิ่งที่คล้ายกันและไม่แปรเปลี่ยนนั้นหมายความว่าอย่างไร ลำดับวิกฤตของภูมิภาคที่สำคัญสำหรับการทดสอบขนาดเรียกว่าคล้ายกันถ้าความน่าจะเป็นที่จะปฏิเสธภายใต้สมมติฐานคือ (สำหรับตัวเลือกที่เป็นไปได้ทั้งหมดของพารามิเตอร์สร้างความรำคาญ) การทดสอบนั้นไม่แปรเปลี่ยนหากพื้นที่วิกฤตมีค่าคงที่ภายใต้กลุ่มการแปลงสภาพ สำหรับการวิเคราะห์ความแปรปรวนทางเดียวกลุ่มนี้เป็นกลุ่มของการแปลงมุมฉาก ฉันขอแนะนำให้อ่านบทที่ 5 ใน Cox และ Hinkley สำหรับรายละเอียดเพิ่มเติม ดูหัวข้อ 2.10 ในหนังสือของSchefféเกี่ยวกับคุณสมบัติที่เหมาะสมของแบบทดสอบ$\alpha \in [0,1]$$\alpha$$F$