ทำไมการทดสอบอิสระใช้การแจกแจงแบบไคสแควร์?

การความเหมาะสมของจะใช้สถิติต่อไปนี้: ในการทดสอบโดยอนุญาตให้ ตรงตามเงื่อนไขหนึ่งใช้ - การกระจายเพื่อคำนวณ p-value ที่กำหนดเป็นจริงหนึ่งจะสังเกตเห็นค่าดังกล่าวในตัวอย่างตัวแทนที่มีขนาดเดียวกัน $\chi^2$

χ_{0}^{2} = \sum_{i = 1}^{n} \frac{(O_{i} - E_{i})^{2}}{E_{i}}

$\chi_0^2=\sum_{i=1}^n\frac{(O_i-E_i)^2}{E_i}$

χ^{2}

$\chi^2$

H_{0}

$H_0$

อย่างไรก็ตามเพื่อให้สถิติทำตามกระจาย (ที่มีองศาอิสระ ) จะต้องเป็นจริงที่: สำหรับอิสระมาตรฐานปกติ( Wikipedia ) เงื่อนไขสำหรับการทดสอบมีดังนี้ (อีกครั้งจากWikipedia ): $\chi_0^2$ $\chi^2$ $n-1$

\sum_{i = 1}^{n} \frac{(O_{i} - E_{i})^{2}}{E_{i}} = \sum_{i = 1}^{n - 1} Z_{i}^{2}

$\sum_{i=1}^n\frac{(O_i-E_i)^2}{E_i}=\sum_{i=1}^{n-1}Z_i^2$

Z_{i}

$Z_i$

ตัวแทนตัวอย่างประชากร
ตัวอย่างขนาดใหญ่
จำนวนเซลล์ที่คาดไว้มีขนาดใหญ่เพียงพอ
ความเป็นอิสระระหว่างแต่ละประเภท

จากเงื่อนไข (1,2) เป็นที่ชัดเจนว่าเราตอบสนองเงื่อนไขสำหรับการอนุมานจากตัวอย่างไปยังประชากร (3) ดูเหมือนจะเป็นข้อสันนิษฐานที่ต้องการเนื่องจากแยกกันซึ่งอยู่ในตัวส่วนนั้นไม่ส่งผลให้มีการแจกแจงแบบใกล้ชิดต่อเนื่องสำหรับแต่ละและถ้ามันไม่ใหญ่พอมีข้อผิดพลาดที่สามารถแก้ไขได้ด้วยเยต 'การแก้ไข - นี่ดูเหมือนจะมาจากความจริงที่ว่าการกระจายแบบไม่ต่อเนื่องนั้นเป็นแบบ "ปูพื้น" อย่างต่อเนื่องดังนั้นการเปลี่ยนแปลงทีละสำหรับแต่ละอันจะแก้ไขสิ่งนี้ $E_i$ $Z_i$ $1/2$

ความจำเป็นของ (4) ดูเหมือนว่าจะมีประโยชน์ในภายหลัง แต่ฉันไม่สามารถดูได้ว่า

ตอนแรกฉันคิดว่าจำเป็นสำหรับสถิติเพื่อให้ตรงกับการแจกแจง สิ่งนี้นำฉันไปสู่ข้อสันนิษฐานที่น่าสงสัยว่าซึ่งผิดอย่างแน่นอน ในความเป็นจริงเป็นที่ชัดเจนจากการลดขนาดของทั้งสองด้านของความเสมอภาคจากเป็นซึ่งไม่สามารถเกิดขึ้นได้ $Z_i=\frac{O_i-E_i}{\sqrt{E_i}}$ $O_i-E_i\sim \mathcal{N}(0, \sqrt{E_i})$ $n$ $n-1$

มันได้กลายเป็นที่ชัดเจนขอบคุณคำอธิบายของ whuberไม่จำเป็นต้องเท่ากับแต่ละคำเพราะ (หมายเหตุการลดจำนวนของตัวแปรสรุปเงิน) สำหรับมาตรฐานตัวแปรสุ่มปกติซึ่งเป็นหน้าที่ที่เป็นอิสระ $Z_i$ $\frac{O_i-E_i}{\sqrt{E_i}}$ $\chi_0^2=\sum_{i=1}^{n-1}Z_i^2$ $Z_i$

ดังนั้นคำถามของฉันคือติดตามการอย่างไร สิ่งที่ชนิดของการรวมกันของแต่ละแง่ผลในภาวะปกติมาตรฐาน Squared ? สิ่งนี้ต้องการการใช้ CLT อย่างเห็นได้ชัด (และนั่นสมเหตุสมผล) แต่อย่างไร กล่าวอีกนัยหนึ่งแต่ละอันมีค่าเท่ากับอะไร (หรือประมาณเท่ากับ) $\chi_0^2$ $\chi^2$ $\frac{(O_i-E_i)^2}{E_i}$ $Z_i^2$ $Z_i$

hypothesis-testing chi-squared

— VF1
แหล่งที่มา

ฉันอยากรู้ว่าคุณอ่านว่าใครถือว่าสิ่งสุดท้ายที่คุณระบุไว้ ( ) นั่นไม่จำเป็น: สถิติสามารถมีการ (อย่างน้อยถึงการประมาณที่ดีมาก ๆ ) โดยไม่มีค่ามาตรฐานใด ๆ ที่มีการแจกแจงแบบปกติ คำถามที่คุณต้องการถามคือสมมติฐานเหล่านี้แสดงให้เห็นถึงการอ้างอิงสถิติเพื่อการอย่างไร ด้วยตัวเองพวกเขาทำไม่ได้ สำหรับการอภิปรายของสิ่งที่สามารถไปอย่างผิดปกติโปรดดูโพสต์ของฉันที่stats.stackexchange.com/a/17148

O_{i} - E_{i} \sim N (0, \sqrt{E_{i}})

$O_i-E_i\sim \mathcal{N}(0, \sqrt{E_i})$

χ^{2}

$\chi^2$

χ^{2}

$\chi^2$ $\chi^2$ $\chi^2$

— whuber

จากความเท่าเทียมกันของผลบวกสองสแควร์สคุณไม่สามารถสรุปว่าสแควร์รูทนั้นเท่ากับเทอมตามเทอม! เพราะนั่นเป็นกรณีของตัวเลขเท่านั้นมันก็เป็นกรณีสำหรับตัวแปรสุ่มด้วย

— whuber

ในการทำให้เป็นรูปธรรมสมมติว่ามีการกระจายอย่างอิสระกับการแจกแจงที่มีองศาอิสระและแต่สำหรับทุกฉันจากนั้นแม้จะไม่มีการเป็นเรื่องปกติ แต่มีการกระจาย

(W_{i}), i = 1, \dots, n

$(W_i),i=1, \ldots,n$

χ

$\chi$

ν_{1}, ν_{2}, \dots, ν_{n}

$\nu_1,\nu_2,\ldots,\nu_n$

ν_{1} + ν_{2} + \dots + ν_{n} = n - 1

$\nu_1+\nu_2+\cdots+\nu_n=n-1$

ν_{i} \neq 1

$\nu_i\ne 1$

i

$i$

W_{i}

$W_i$

\sum_{i = 1}^{n} W_{i}^{2}

$\sum_{i=1}^n W_i^2$

χ^{2} (n - 1)

$\chi^2(n-1)$

— whuber

หากโดย "squared standard normal" คุณหมายถึง "ผลรวมของมาตรฐานบรรทัดฐาน squared อิสระ" นั่นเป็นคำถามที่ฉันเชื่อว่าคุณอยากจะโพสต์เมื่อ :-) และในท้ายที่สุดการวิเคราะห์ส่วนใหญ่ของสถานการณ์ทำแน่นอนเรียกทฤษฎีขีด จำกัด กลางเพื่อพิสูจน์ว่าสิ่งตกค้างมาตรฐาน asymptotically เป็นมาตรฐานปกติ ( แต่ไม่มากอิสระซึ่งเป็นเหตุผลที่องศาอิสระที่มีและไม่ )

n - 1

$n-1$

n

$n$

— whuber

+1 สำหรับสิ่งที่ฉันคาดหวังในไม่ช้าจะเป็นคำถามที่ดีมาก ปัญหาแรกคือการทดสอบความเป็นอิสระไม่ได้ใช้สถิติที่อ้างสิทธิ์ สถิติที่ให้ไว้ในตอนเริ่มต้นคือมิติเดียว (ผลรวมเหนือหมวดหมู่) ในขณะที่การทดสอบความเป็นอิสระนั้นต้องการตัวแปรมากกว่าหนึ่งตัว โปรดแก้ไขเพื่อทำให้ชื่อของการทดสอบและสถิติสอดคล้องกัน

n

$n$

— Glen_b -Reinstate Monica

คำตอบ:

มันเกี่ยวกับการแจกแจงปัวซอง ถ้าคือ Poisson ที่มีค่าเฉลี่ยดังนั้นความแปรปรวนของคือด้วย ซึ่งหมายความว่าเป็นเหมือนเอนทิตี โดย CLT, ปัวซองมีแนวโน้มเป็นปกติเมื่อค่าเฉลี่ยมีขนาดใหญ่ขึ้นซึ่งเป็นที่ซึ่งไคสแควร์เข้ามาใช่มันเป็นการทดสอบเชิงเส้นกำกับ $X$ $\lambda$ $X$ $\lambda$

\frac{(X - λ)^{2}}{λ}

$\frac{(X-\lambda)^2}{\lambda}$

z^{2}

$z^2$

องศาอิสระมาจากทฤษฎีบทของ Cochran โดยทั่วไป Cochran อธิบายว่า Chi-squared จะถูกแปลง (หรือยังคงไม่เปลี่ยนแปลง) ภายใต้การแปลงเชิงเส้นในคะแนนได้อย่างไร $z^2$

\sum_{i} z_{i}^{2} = Z^{'} I Z

$\sum_i z_i^2=Z' I Z$

ในสัญกรณ์เมทริกซ์ ถ้าแทนการคำนวณผลรวมของสี่เหลี่ยมปกติคุณคำนวณสำหรับบางเมทริกซ์ Q แล้วคุณยังได้รับปริมาณที่มี AA กระจายไคสแควร์ แต่องศาอิสระขณะนี้มีการจัดอันดับของQมีเงื่อนไขเพิ่มเติมในเมทริกซ์ Q แต่นี่คือส่วนสำคัญของมัน

Z^{'} Q Z

$Z' Q Z$

Q

$Q$

หากคุณเล่นโดยใช้สัญลักษณ์เมทริกซ์คุณสามารถแสดงเป็นรูปแบบสมการกำลังสอง Cochran ถือว่าความเป็นอิสระของตัวแปรปกติต้นฉบับซึ่งเป็นสาเหตุที่คอลัมน์ในตารางการนับของคุณจะต้องเป็นอิสระเช่นกัน

\sum_{i} (z_{i} - \bar{z})^{2}

$\sum_i (z_i-\bar{z})^2$

— Placidia
แหล่งที่มา

ขออภัย แต่คุณต้องทำให้ฉันที่ "ถ้าคุณทำคุณ ... "

— VF1

@ VF1 ฉันทำการเปลี่ยนแปลงดังนั้นฉันหวังว่ามันชัดเจนยิ่งขึ้น ทฤษฎีบทของ Cochrane คือคำตอบสำหรับคำถามของคุณว่าเมื่อผลรวมของช่องสี่เหลี่ยมที่มีบรรทัดฐานในนั้นมีการแจกแจงแบบไคสแควร์

— Placidia

ตกลงฉันจะดูที่นี้ ฉันจะเปิดคำถามทิ้งไว้ในกรณีที่คนอื่นมีของเพิ่ม

— VF1

ตามปกติขนาดตัวอย่างได้รับการแก้ไข นั่นหมายความว่าเป็นไปไม่ได้ที่รายการใด ๆ ก็ตามจะสามารถติดตามการกระจายของปัวซองได้ การอุทธรณ์ต่อการแจกแจงปัวซงจึงดูเหมือนว่าเป็นเพียงการประมาณอีกครั้ง - และดูเหมือนว่าจะทิ้งเราไว้ตั้งแต่เริ่มต้น

— whuber

อ้างอิงจากตำรา "สถิติเบื้องต้นพร้อมการสุ่มและการจำลอง" หัวข้อ 3.3.2 (ตำราเรียนฟรีที่OpenIntro ) สถิติการทดสอบพยายามสะสมค่าเบี่ยงเบนของค่าที่ตรวจพบจากที่คาดไว้ และการเบี่ยงเบนจะถูกแสดงออกผ่านคำอย่างแน่นอน $\chi^2$

Z_{i} = \frac{O_{i} - E_{i}}{\sqrt{E_{i}}}

$Z_i = \frac{O_i - E_i}{\sqrt{E_i}}$

ซึ่งอันที่จริงมาจาก{(คลาดเคลื่อนมาตรฐานของการสังเกต)}

\frac{O_{i} - E_{i}}{(S t a n d a r d E r r o r O f T h e O b s e r v e d)}

$\frac{O_i - E_i}{(Standard Error Of The Observed)}$

ตำรากล่าวต่อไปว่าเป็นที่คาดดีขึ้นโดยดังนั้นคำว่ากลายเป็น{E_i}} หนังสือเรียนไม่ได้อธิบายว่าทำไมการทดแทนนี้จึงเป็นที่ยอมรับได้และฉันก็ต้องการทราบเช่นกัน $(StandardErrorOfTheObserved)$ $\sqrt{E_i}$ $Z_i = \frac{O_i - E_i}{\sqrt{E_i}}$

อย่างไรก็ตามคุณสามารถสร้างสถิติทดสอบของแบบฟอร์ม

Z = | Z_{1} | + | Z_{2} | + | Z_{3} | + . . .

$Z = |Z_1| + |Z_2| + |Z_3| + ...$

แต่จะดีกว่าที่จะยกกำลังสองเทอมเพราะคุณจะได้รับค่าบวกทันทีและค่าที่สูงกว่าจะโดดเด่นมากขึ้นหลังจากการยกกำลังสอง ดังนั้นคุณจะได้รับสิ่งต่อไปนี้:

χ^{2} = Z_{1}^{2} + Z_{2}^{2} + Z_{3}^{2} + . . .

$\chi^2 = Z_1^2 + Z_2^2 + Z_3^2 +...$

แต่ฉันไม่รู้ว่าทำไมผลรวมนี้ควรเป็นไปตามการหรืออะไรคือการเชื่อมต่อกับคำจำกัดความของการ (ผลรวมของกำลังสองของตัวแปรอิสระมาตรฐานปกติ) $\chi^2$ $\chi^2$

แก้ไข:ฉันยังคงเรียนรู้สถิติและฉันก็ยังคิดว่าฉันไม่เข้าใจการอย่างถูกต้อง ฉันหวังว่าคนอื่นจะสามารถสอนฉันได้เช่นกัน $\chi^2$

— CamilB
แหล่งที่มา