ความสำคัญของสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์เฉลี่ย

ข้อจำกัดความรับผิดชอบ: หากคุณพบว่าคำถามนี้คล้ายกับคำถามอื่นมากเกินไปฉันยินดีที่จะรวมเข้าด้วยกัน อย่างไรก็ตามฉันไม่พบคำตอบที่น่าพอใจที่อื่น (และยังไม่มี "ชื่อเสียง" ที่จะแสดงความคิดเห็นหรือ upvote) ดังนั้นฉันคิดว่ามันเป็นการดีที่สุดที่จะถามคำถามใหม่ด้วยตัวเอง

คำถามของฉันคือสิ่งนี้ สำหรับวิชามนุษย์ 12 คนฉันได้คำนวณค่าสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์ (Spearman's rho) ระหว่าง 6 ระดับของตัวแปรอิสระ X และการสังเกตที่สอดคล้องกันของตัวแปรตาม Y (หมายเหตุ: ระดับของ X ไม่เท่ากันในทุกวิชา) สมมุติฐานว่างคือในประชากรทั่วไปความสัมพันธ์นี้เท่ากับศูนย์ ฉันได้ทดสอบสมมติฐานนี้สองวิธี:

ใช้การทดสอบทีหนึ่งตัวอย่างในสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์ที่ได้รับจาก 12 วิชาของฉัน
โดยการจัดศูนย์กลางของระดับ X และการสังเกตของ Y เช่นนั้นสำหรับผู้เข้าร่วมแต่ละคนค่าเฉลี่ย (X) = 0 และค่าเฉลี่ย (Y) = 0 จากนั้นคำนวณความสัมพันธ์กับข้อมูลรวม (72 ระดับของ X และ 72 การสังเกตของ Y) .

ตอนนี้จากการอ่านเกี่ยวกับการทำงานกับสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์ (ที่นี่และที่อื่น ๆ ) ฉันเริ่มสงสัยว่าวิธีแรกนั้นใช้ได้หรือไม่ โดยเฉพาะอย่างยิ่งฉันได้เห็นสมการต่อไปนี้ปรากฏขึ้นในหลาย ๆ สถานที่นำเสนอ (เห็นได้ชัด) เป็น t-test สำหรับค่าสัมประสิทธิ์การเฉลี่ย:

t = \frac{r}{S E_{r}} = \frac{\sqrt{n - 2}}{\sqrt{1 - r^{2}}}

$t = \frac{r}{SE_{r}} = \frac{\sqrt{n-2}}{\sqrt{1-r^{2}}}$

โดยที่จะเป็นค่าสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์เฉลี่ย (และสมมุติว่าเราได้รับสิ่งนี้โดยใช้การแปลงของฟิชเชอร์ในสัมประสิทธิ์ต่อวิชาก่อน) และจำนวนการสังเกต อย่างสังหรณ์ใจดูเหมือนว่าฉันจะผิดเพราะมันไม่ได้รวมการวัดความแปรปรวนระหว่างเรื่องใด ๆ กล่าวอีกนัยหนึ่งถ้าฉันมีสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์ 3 ตัวฉันจะได้ค่า t-statistic เดียวกันไม่ว่าจะเป็น [0.1, 0.5, 0.9] หรือ [0.45 0.5 0.55] หรือช่วงของค่าใด ๆ ที่มีค่าเฉลี่ยเท่ากัน (และ ) $r$ $n$ $n=3$

ฉันสงสัยว่าดังนั้นที่สมการข้างต้นไม่ได้ในความเป็นจริงนำไปใช้เมื่อการทดสอบความสำคัญของค่าเฉลี่ยของค่าสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์ แต่เมื่อการทดสอบอย่างมีนัยสำคัญของค่าสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์เพียงครั้งเดียวบนพื้นฐานของสังเกตของ 2 ตัวแปร $n$

มีใครที่นี่โปรดยืนยันสัญชาตญาณนี้หรืออธิบายว่าทำไมมันผิด นอกจากนี้หากสูตรนี้ใช้ไม่ได้กับกรณีของฉันไม่มีใครรู้ / วิธีการที่ถูกต้อง? หรือบางทีหมายเลขทดสอบของฉันเอง 2 ใช้ได้แล้ว? ความช่วยเหลือใด ๆ ได้รับการชื่นชมอย่างมาก (รวมถึงตัวชี้ไปยังคำตอบก่อนหน้าซึ่งฉันอาจพลาดหรือตีความผิด)

correlation statistical-significance fisher-transform

— Ruben van Bergen
แหล่งที่มา

เพียร์สันคือความรู้สึกที่อยู่ตรงกลางและปรับแปลงดังนั้นฉันคิดว่าอยู่ตรงกลางไม่เกี่ยวข้องกับคำถามของคุณ ตัวอย่างเช่น cor ( ) = cor ( ) = cor ( ) = cor ( )

r

$r$

X, Y

$X,Y$

X, Y - \bar{Y}

$X,Y-\bar{Y}$

X, Y + 1000

$X,Y+1000$

X, Y \times 1000

$X,Y\times 1000$

— Alexis

ฉันเห็นด้วยกับคุณ. นั่นเป็นเหตุผลที่ฉันตีความว่าการจัดกึ่งกลางว่า "การจัดกึ่งกลางแต่ละตัวแปรแยกกันก่อนที่จะรวมเข้าด้วยกัน"

— Federico Tedeschi

@FedericoTedeschi ไม่ใช่ "การรวมตัวแปรแต่ละตัวไว้ก่อนที่จะรวมเข้าด้วยกัน"หมายถึงอะไร

Y - \bar{Y}

$Y-\bar{Y}$

— Alexis

@Alexis ฉันได้ตอบคุณที่ด้านล่างของคำตอบของฉัน (มันจะนานเกินไปที่จะเขียนในความคิดเห็นและฉันจะต้องแก้ไขหลายครั้งเนื่องจากปัญหา WYSINWYG)

— Federico Tedeschi

คำตอบ:

วิธีที่ดีกว่าในการวิเคราะห์ข้อมูลนี้คือการใช้แบบจำลองผสม (หรือที่รู้จักกันว่าแบบผสมเอฟเฟกต์แบบจำลองลำดับชั้น) subjectที่มีผลแบบสุ่ม (การสกัดกั้นแบบสุ่มหรือการสกัดกั้นแบบสุ่ม + ความชันลาด) เพื่อสรุปคำตอบที่แตกต่างของฉัน:

นี่คือการถดถอยแบบที่ความสัมพันธ์โดยรวมเดียวในขณะที่อนุญาตให้ความสัมพันธ์นั้นแตกต่างกันระหว่างกลุ่ม (วิชามนุษย์) วิธีการนี้ได้ประโยชน์จากการรวมบางส่วนและใช้ข้อมูลของคุณอย่างมีประสิทธิภาพยิ่งขึ้น

— mkt - Reinstate Monica
แหล่งที่มา

-1

ฉันคิดว่าตัวแปรตัว (และ ) เหมือนกันสำหรับทุกคน (จริง ๆ แล้วฉันไม่แน่ใจว่าฉันเข้าใจสิ่งที่คุณหมายถึงโดยการพูดว่าระดับไม่เท่ากันในวิชา: ฉันหวังว่าคุณจะ หมายถึงความเป็นอิสระในช่วงของตัวแปรไม่ใช่เกี่ยวกับตัวแปรที่วัดสำหรับแต่ละบุคคล) ใช่สูตรที่คุณแสดงนำไปใช้กับสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์ระหว่างสองตัวแปร $12$ $6$ $X$ $6$ $Y$

ในจุดที่ 2 ของคุณคุณพูดถึงการทำให้เป็นมาตรฐาน: ฉันคิดว่ามันจะสมเหตุสมผลถ้าคุณทำกับตัวแปรตัวแยกกัน อย่างไรก็ตามถึงกระนั้นปัญหาด้วยวิธีนี้ก็คือมันไม่ได้ควบคุมการพึ่งพาภายในบุคคล $6*2$

ผมเชื่อว่าวิธีการของคุณ 1 ไม่ถูกต้องอย่างใดอย่างหนึ่งเพราะมันจะมีการทดสอบในหมู่ตัวแปรที่มีการกระจายที่มีเพียงองศาอิสระดังนั้นผมจึงไม่คิดว่าคุณสามารถใช้ทฤษฎีขีด จำกัด กลางในกรณีนี้ $6$ $t$ $10$

บางทีด้วยจำนวนที่มากขึ้นคุณสามารถใช้วิธีเอฟเฟ็กต์แบบสุ่มทำให้สามารถทดสอบความชันแบบสุ่มและทดสอบค่าสัมประสิทธิ์เฉลี่ยเป็นโมฆะ (ของกับ ) และค่าสัมประสิทธิ์การสุ่มไม่มีอยู่ ฉันเชื่อว่าตัวแปร 6 ตัวและข้อสังเกต 12 ข้อไม่เพียงพอที่จะทำ $X_i$ $Y_i$

ฉันขอแนะนำให้คุณดูว่าเป็นการทดสอบค่า 6 ค่า (กลายเป็น 12 ถ้าคุณพิจารณาค่าต่ำกว่าเส้นทแยงมุม) ของเมทริกซ์สหสัมพันธ์ระหว่างตัวแปรตัว (ทั้งและ ) นั่นคือค่าที่อยู่ในแนวทแยงมุมของ 2 (และ เท่ากับ 3) Quadrant ดังนั้นฉันจะทำการทดสอบอัตราส่วนความน่าจะเป็นระหว่างโมเดลที่ถูก จำกัด และแบบไม่ จำกัด $12$ $X$ $Y$

@Alexis ความเข้าใจของฉันอยู่ตรงกลาง , โดยแทนที่ด้วยจะเข้าท่า (ฉันคิดว่ามันก็สมเหตุสมผลที่จะแบ่งพวกเขาด้วยของพวกเขา) ด้วยวิธีนี้ตัวแปรและ (สร้างขึ้นโดยพิจารณาราวกับว่าพวกเขาเกิดขึ้นกับตัวแปรที่ไม่ซ้ำกันและเหมือนกันสำหรับ )เฉลี่ย ในทางตรงกันข้ามถ้าเราสร้างตัวแปรสองตัวก่อน (สร้างโดยพิจารณา $X_1, \dots, X_6$ $Y_1, \dots, Y_6$ $X_1^*=X_1-\bar{X_1}, \dots, X_6^*=X_6-\bar{X_6}, Y_1^*=Y_1-\bar{Y_1}, \dots, Y_6^*=Y_6-\bar{Y_6}$ $SE$ $X^*$ $Y^*$ $X_i^*, 1 \leq i \leq 6$ $Y_i^*$ $0$ $X, Y$ $X_i, 1 \leq i \leq 6$ ราวกับว่าพวกเขากำลังเกิดขึ้นของตัวแปรที่ไม่ซ้ำกันและเหมือนกันสำหรับ ) แล้วแน่นอนว่าการลบค่าเฉลี่ย (และหารด้วย SE ของและ ) จะไม่เปลี่ยนแปลงสิ่งต่าง ๆ $Y_i$ $X$ $Y$

แก้ไข 01/01/18

อนุญาตให้ระบุตัวแปรและ ( ) แต่ละรายการ จากนั้นสมมติว่าเรามี: $i$ $j$ $1\leq j\leq 12$

$X_{1j}=Y_{1j}=10, \forall j$ ;

$X_{2j}=Y_{2j}=8, \forall j$ ;

$X_{3j}=Y_{3j}=6, \forall j$ ;

$X_{4j}=Y_{4j}=4, \forall j$ ;

$X_{5j}=Y_{5j}=2, \forall j$ ;

$X_{6j}=-Y_{6j}=j, \forall j$ เจ

ความสัมพันธ์ในกรณีนี้ควรจะเป็น0.5428 $0.5428$

ถ้าเราศูนย์แต่ละตัวแปรที่กำหนดว่าสำหรับทั้งและมีการเปลี่ยนแปลงใด ๆ ที่เรามี: 0 สำหรับเราได้ค่า (เช่นสำหรับ 's:และตรงข้ามกับ ) ตั้งแต่และเราได้รับ: , อ้างความสัมพันธ์ของ-1 $1 \leq i \leq 5$ $X_i$ $Y_i$ $X_{ij}^*=Y_{ij}^*=0$ $i=6$ $X_{6j}^*=j-6.5, Y_{j6}^*=(13-j)-6.5=6.5-j$ $X$ $-5.5, -4.5, -3.5, -2.5, -1.5, -0.5, 0.5, 1.5, 2.5, 3.5, 4.5, 5.5$ $Y$ $0=-0$ $j-6.5=-(6.5-j)$ $X_{ij}^*=-Y_{ij}^* \forall i,j \rightarrow X^*=-Y^*$ $-1$

— Federico Tedeschi
แหล่งที่มา

ฉันเห็นด้วยกับคุณถ้าเราทำตามขั้นตอนที่สอง นั่นเป็นเหตุผลที่ฉันเชื่อว่า Ruben van Bergen หมายถึงสิ่งที่ฉันอธิบายไว้ในขั้นตอนที่ 1 ในกรณีนี้เรามี: , แต่ไม่ใช่ จริงโดยทั่วไป ฉันกำลังแก้ไขโพสต์ของฉันเพื่อแสดงตัวอย่างเคาน์เตอร์

c o r (X_{i}, Y_{i}) = c o r (X_{i}^{*}, Y_{i}^{*}), \forall i

$cor(X_i,Y_i)=cor(X_i^*,Y_i^*), \forall i$

c o r (X, Y) = c o r (X^{*}, Y^{*})

$cor(X,Y)=cor(X^*,Y^*)$

— Federico Tedeschi

ค่าที่ให้ความสัมพันธ์กับคือ: ; เวลา . มันไม่สำคัญว่าไม่ว่าจะเป็นความสัมพันธ์ที่เป็นจริงเพราะมันมีความแตกต่างอย่างชัดเจนจาก-1

0.5428

$0.5428$

X = 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12

$X=10,10,10,10,10,10,10,10,10,10,10,10,8,8,8,8,8,8,8,8,8,8,8,8,6,6,6,6,6,6,6,6,6,6,6,6,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12$

Y = 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 12, 11, 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1

$Y=10,10,10,10,10,10,10,10,10,10,10,8,8,8,8,8,8,8,8,8,8,8,8,6,6,6,6,6,6,6,6,6,6,6,6,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,12,11,10,9,8,7,6,5,4,3,2,1$

0.5428

$0.5428$

- 1

$-1$

— Federico Tedeschi

ความสัมพันธ์ระหว่างและเป็น-1ความจริงที่คุณพูดว่าและนำไปสู่การครเป็นจริง แต่นี่เท่านั้น หมายความว่า นั่นคือสิ่งที่ฉันได้เขียนไปแล้ว

X^{*} = 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, - 5.5, - 4.5, - 3.5, - 2.5, - 1.5, - 0.5, 0.5, 1.5, 2.5, 3.5, 4.5, 5.5

$X^*=0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-5.5,-4.5,-3.5,-2.5,-1.5,-0.5,0.5,1.5,2.5,3.5,4.5,5.5$

X^{*} = 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 5.5, 4.5, 3.5, 2.5, 1.5, 0.5, - 0.5, - 1.5, - 2.5, - 3.5, - 4.5, - 5.5

$X^*=0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,5.5,4.5,3.5,2.5,1.5,0.5,-0.5,-1.5,-2.5,-3.5,-4.5,-5.5$

- 1

$-1$

X = 1, \dots, 12

$X=1,\dots, 12$

Y = 12, \dots, 1

$Y=12, \dots, 1$

c o r (X, Y) = c o r (X^{*}, Y^{*}) = - 1

$cor(X,Y)=cor(X^*,Y^*)=-1$

c o r (X_{i}, Y_{i}) = c o r (X_{i}^{*}, Y_{i}^{*})

$cor(X_i,Y_i)=cor(X^*_i,Y^*_i)$

— Federico Tedeschi

แน่นอนคร : นี่คือผลของการแปรปรวนของความสัมพันธ์กับการแปลงเชิงเส้น นี่คือสิ่งที่ฉันได้ตกลงกันแล้วในความคิดเห็นแรกของฉัน "ฉันเห็นด้วยกับคุณนั่นคือเหตุผลที่ฉันตีความกลางเป็น" ศูนย์กลางแต่ละตัวแปรแยกกันก่อนที่จะนำพวกเขากัน "." - Federico Tedeschi 27 ธันวาคม 17 ที่ 10:27

c o r (X; Y) = c o r (X - \bar{X}; Y - \bar{Y})

$cor(X;Y)=cor(X-\bar{X};Y-\bar{Y})$

— Federico Tedeschi

บางทีฉันไม่เข้าใจว่า "การรวมตัวแปรแต่ละตัวไว้ตรงกลางก่อนที่จะรวมเข้าด้วยกัน" หมายถึงอะไร สำหรับฉันหมายถึงคือ "อยู่ตรงกลาง ตัวแปรแยกต่างหากก่อนที่จะนำมารวมกัน ". คุณช่วยฉันเข้าใจความเข้าใจที่แตกต่างของเราได้ไหม?

X - \bar{X}

$X - \bar{X}$

X_{1} - \bar{X}, X_{2} - \bar{X}, \dots, X_{n} - \bar{X}

$X_{1} - \bar{X}, X_{2}-\bar{X},\dots, X_{n}-\bar{X}$

— Alexis