ในตัวอย่างหนึ่ง t-test, เกิดอะไรขึ้นถ้าในความแปรปรวนประมาณการค่าเฉลี่ยของกลุ่มตัวอย่างจะถูกแทนที่ด้วย

10

สมมติหนึ่งตัวอย่าง t-test ที่สมมติฐานคือ\สถิติแล้วโดยใช้กลุ่มตัวอย่างส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานsในการประเมินหนึ่งเปรียบเทียบการสังเกตกับค่าเฉลี่ยตัวอย่าง : $\mu=\mu_0$ $t=\frac{\overline{x}-\mu_0}{s/\sqrt{n}}$ $s$ $s$ $\overline{x}$

$s=\sqrt{\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (x_i-\overline{x})^2}$ 2}

อย่างไรก็ตามหากเราถือว่าที่ระบุเป็นจริงเราสามารถประมาณค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานโดยใช้แทนค่าเฉลี่ยตัวอย่าง : $\mu_0$ $s^*$ $\mu_0$ $\overline{x}$

$s^*=\sqrt{\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (x_i-\mu_0)^2}$ 2}

สำหรับฉันวิธีการนี้ดูเป็นธรรมชาติมากขึ้นเนื่องจากเราใช้สมมติฐานว่างเพื่อประเมิน SD ไม่มีใครรู้ว่าสถิติที่เกิดขึ้นนั้นถูกนำไปใช้ในการทดสอบหรือรู้ว่าทำไม?

mathematical-statistics variance t-test

— ไมเคิล
แหล่งที่มา

ฉันติดตามคำถามนี้เพราะฉันกำลังจะโพสต์และ SE เตือนฉัน ฉันสงสัยว่ามีเอกสารอ้างอิงในคำถามนี้หรือไม่ อย่างสังหรณ์ใจจะเป็นการประมาณที่ดีกว่าของและการกระจายของสามารถรับได้ (ไม่ใช่นักเรียนสันนิษฐาน) การอ้างอิงใด ๆ จะได้รับการชื่นชม!

s^{' 2} = \frac{1}{n} \sum (x_{i} - μ_{0})^{2}

$s'^2=\frac{1}{n}\sum (x_i-\mu_0)^2$

σ^{2}

$\sigma^2$

\frac{\bar{x} - μ_{0}}{s^{'} / \sqrt{n}}

$\frac{\bar x-\mu_0}{s'/\sqrt{n}}$

— AG

6

มีปัญหากับการจำลองแบบดั้งเดิมในโพสต์นี้ซึ่งตอนนี้หวังว่าจะได้รับการแก้ไขแล้ว

ในขณะที่ประมาณการของส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของกลุ่มตัวอย่างมีแนวโน้มที่จะเติบโตไปพร้อมกับเศษเป็นเบี่ยงเบนเฉลี่ยจากผลัดนี้ออกไปไม่ได้ทั้งหมดที่มีขนาดใหญ่ส่งผลกระทบต่ออำนาจที่ระดับ "ปกติ" ระดับนัยสำคัญเพราะในระดับปานกลางถึงตัวอย่างขนาดใหญ่ $\mu_0$ ยังคงมีแนวโน้มที่จะมีขนาดใหญ่พอที่จะปฏิเสธ ในตัวอย่างขนาดเล็กอาจมีผลกระทบบางอย่างแม้ว่าและในระดับความสำคัญน้อยมากสิ่งนี้อาจกลายเป็นสิ่งที่สำคัญมากเพราะมันจะวางขอบเขตบนอำนาจที่จะน้อยกว่า 1 $s^*/\sqrt n$

ประเด็นที่สองอาจมีความสำคัญมากกว่าในระดับความสำคัญ 'ทั่วไป' ดูเหมือนว่าตัวเศษและส่วนของสถิติการทดสอบไม่เป็นอิสระอีกต่อไปที่โมฆะ (ตารางของมีความสัมพันธ์กับการประมาณค่าความแปรปรวน) $\bar x-\mu$

นี่หมายความว่าการทดสอบไม่มีการแจกแจงแบบ t ภายใต้ค่า null อีกต่อไป ไม่ใช่ข้อบกพร่องร้ายแรง แต่หมายความว่าคุณไม่สามารถใช้ตารางและรับระดับนัยสำคัญที่คุณต้องการ (อย่างที่เราจะเห็นในอีกไม่กี่นาที) นั่นคือการทดสอบจะอนุรักษ์นิยมและส่งผลกระทบต่อพลัง

เมื่อ n กลายเป็นใหญ่การพึ่งพาอาศัยกันนี้จะกลายเป็นปัญหาน้อยลง (ไม่น้อยเพราะคุณสามารถเรียกใช้ CLT สำหรับตัวเศษและใช้ทฤษฎีบทของ Slutsky เพื่อบอกว่ามีการแจกแจงปกติแบบเชิงเส้นกำกับสำหรับสถิติที่ปรับเปลี่ยนแล้ว)

นี่คือเส้นโค้งพลังงานสำหรับสามัญสองเสื้อตัวอย่าง (เส้นโค้งสีม่วงสองทดสอบเทลด์) และสำหรับการทดสอบโดยใช้ค่า Null ของในการคำนวณ (จุดสีฟ้าที่ได้รับผ่านการจำลองและการใช้เสื้อตาราง) เช่น ค่าเฉลี่ยประชากรย้ายออกจากค่าที่ตั้งสมมติฐานสำหรับ : $\mu_0$ $s$ $n=10$

$\quad\quad\quad\quad$ n = 10

ป้อนคำอธิบายรูปภาพที่นี่

คุณสามารถเห็นเส้นโค้งพลังงานต่ำลง (มันยิ่งแย่ลงเมื่อขนาดตัวอย่างต่ำกว่า) แต่ส่วนมากดูเหมือนจะเป็นเพราะการพึ่งพาระหว่างตัวเศษและส่วนได้ลดระดับนัยสำคัญลง หากคุณปรับค่าวิกฤตอย่างเหมาะสมจะมีค่าเล็กน้อยระหว่างค่าเหล่านั้นแม้ที่ n = 10

และนี่คือกราฟพลังงานอีกครั้ง แต่ตอนนี้สำหรับ $n=30$

$\quad\quad\quad\quad$ n = 30

ป้อนคำอธิบายรูปภาพที่นี่

สิ่งนี้ชี้ให้เห็นว่าในขนาดตัวอย่างที่ไม่ใช่ขนาดเล็กนั้นมีไม่มากนักระหว่างสิ่งเหล่านี้ตราบใดที่คุณไม่จำเป็นต้องใช้ระดับนัยสำคัญน้อยมาก

— Glen_b -Reinstate Monica
แหล่งที่มา

9

$n$ $n-1$ $\mu_0$

$\bar{x}$ $\mu_0$

$\bar{x}$

— เกร็กสโนว์
แหล่งที่มา

ในตัวอย่างหนึ่ง t-test, เกิดอะไรขึ้นถ้าในความแปรปรวนประมาณการค่าเฉลี่ยของกลุ่มตัวอย่างจะถูกแทนที่ด้วย

\quad\quad\quad\quad n = 10

\quad\quad\quad\quad n = 30

$\quad\quad\quad\quad$ n = 10

$\quad\quad\quad\quad$ n = 30