การตีความทางเรขาคณิตของการประมาณความน่าจะเป็นสูงสุด

ฉันกำลังอ่านหนังสือปัญหาการระบุตัวตนในเศรษฐมิติโดยแฟรงคลินเอ็มฟิชเชอร์และสับสนโดยส่วนที่เขาแสดงให้เห็นถึงตัวตนโดยแสดงให้เห็นถึงฟังก์ชั่นความน่าจะเป็น

ปัญหาสามารถทำให้ง่ายขึ้นเป็น:

สำหรับการถดถอยที่U ~ ฉัน ผม d N ( 0 , σ 2 I ) , aและbเป็นพารามิเตอร์ สมมติว่าYมีสัมประสิทธิ์คซึ่งเท่ากับเอกภาพ จากนั้นฟังก์ชันความน่าจะเป็นในพื้นที่ของc , a , b จะมีสันตามแนวรังสีที่สอดคล้องกับเวกเตอร์ของพารามิเตอร์ที่แท้จริงและสเกลาร์คูณของมัน$Y=a+Xb+u$$u \sim i.i.d. N(0,\sigma^2I)$$a$$b$$Y$$c$$c, a,b$. เมื่อพิจารณาเฉพาะสถานที่ที่กำหนดโดยฟังก์ชันความน่าจะเป็นจะมีค่าสูงสุดเฉพาะ ณ จุดที่รังสีตัดผ่านระนาบนั้น$c=1$

คำถามของฉันคือ:

1. เราควรเข้าใจและให้เหตุผลเกี่ยวกับสันเขาและรังสีที่กล่าวถึงในการสาธิตอย่างไร
2. เนื่องจากรังสีเป็นพารามิเตอร์ที่แท้จริงและสเกลาร์ทำไมรังสีไม่ได้อยู่บนระนาบที่กำหนดโดยเนื่องจากค่าที่แท้จริงของพารามิเตอร์cคือ 1$c=1$$c$

ข้อความนี้ค่อนข้างคลุมเครือ แต่นี่คือวิธีที่ฉันตีความมัน

สมมติว่าผมต้องการที่จะดำเนินการถดถอยเชิงเส้นใน Y ผมจะเขียนคY = ' + X ข' + Uที่U ~ N ( 0 , ค2 σ 2 ) ถ้าY = a 0 + X b 0เป็นพารามิเตอร์จริงแล้วชัดเจนc Y = c a 0 + X c b 0เป็นพารามิเตอร์จริงของc $cY$$cY = a' +Xb' + u$$u \sim N(0, c^2 \sigma^2)$$Y=a_0+Xb_0$$cY = c a_0 + Xcb_0$$cY$.

สำหรับการแก้ไขฟังก์ชั่นสำหรับโอกาสนี้ในการถดถอยคYมีสูงสุดที่ไม่ซ้ำกันที่จุด' = ค0และB ' = คข 0 ดังนั้นสำหรับคทั่วไปเรย์ของการคูณสเกลาร์ของพารามิเตอร์จริงทำให้สันของฟังก์ชันความน่าจะเป็นเป็นฟังก์ชันของตัวแปรสามตัว ทีนี้ใช้c = 1เพื่อตัดกับระนาบc = $c$$cY$$a'=ca_0$$b' = cb_0$$c$$c=1$$c=1$