การเปรียบเทียบความแปรปรวนของการสังเกตแบบจับคู่

16

ฉันมีการสังเกตแบบจับคู่ $N$ ( $X_i$ , $Y_i$ ) มาจากการแจกแจงที่ไม่รู้จักทั่วไปซึ่งมีช่วงเวลาที่หนึ่งและสองที่แน่นอนและมีความสมมาตรรอบค่าเฉลี่ย

ขอ $\sigma_X$ ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของ $X$ (ไม่มีเงื่อนไขบน $Y$ ), และ $\sigma_Y$ เหมือนกันสำหรับ Y. ฉันอยากทดสอบสมมติฐาน

$H_0$ : $\sigma_X = \sigma_Y$

$H_1$ : $\sigma_X \neq \sigma_Y$

ไม่มีใครรู้ว่าการทดสอบดังกล่าวหรือไม่ ฉันสามารถสันนิษฐานได้ในการวิเคราะห์ก่อนว่าการแจกแจงเป็นเรื่องปกติแม้ว่ากรณีทั่วไปน่าสนใจกว่า ฉันกำลังมองหาวิธีแก้ปัญหาแบบปิด Bootstrap เป็นทางเลือกสุดท้ายเสมอ

— Gappy
แหล่งที่มา

3

ฉันไม่แน่ใจว่าทำไมข้อมูลที่การสังเกตถูกจับคู่มีความสำคัญต่อสมมติฐานที่กำลังทดสอบ คุณอธิบายได้ไหม

— russellpierce

1

@drknexus เป็นสิ่งสำคัญเนื่องจากการพึ่งพาทำให้การสอบเทียบของการทดสอบฟิชเชอร์เป็นเรื่องยาก

— robin girard

4

คุณสามารถใช้ความจริงที่ว่าการแจกแจงความแปรปรวนตัวอย่างคือการแจกแจงแบบไคสแควร์ที่กึ่งกลางที่ผลต่างที่แท้จริง ภายใต้สมมติฐานว่างของคุณสถิติทดสอบของคุณจะเป็นความแตกต่างของสองตัวแปรไคสแควร์แบบสุ่มโดยมีศูนย์กลางที่ความแปรปรวนจริงที่ไม่รู้จักเหมือนกัน ฉันไม่ทราบว่าความแตกต่างของตัวแปรสุ่มแบบไคสแควร์สองตัวนั้นเป็นการแจกแจงที่สามารถระบุตัวตนได้ แต่สิ่งที่กล่าวมาข้างต้นอาจช่วยคุณได้บ้าง

3

@Svadali เป็นเรื่องปกติมากกว่าที่จะใช้อัตราส่วนที่นี่เนื่องจากการกระจายของอัตราส่วนของไคสแควร์เป็นแบบตาราง (ฟิชเชอร์ส F) อย่างไรก็ตามส่วนที่เป็นปัญหาของคำถาม (เช่นการพึ่งพาระหว่าง

และ

) ยังคงมีสิ่งที่คุณใช้ มันไม่ตรงไปตรงมาที่จะสร้างการทดสอบที่มีไคชีสแควร์สองตัว ... ฉันพยายามที่จะให้คำตอบกับคำตอบในจุดนั้น (ดูด้านล่าง)

X

$X$

Y

$Y$

— robin girard

7

หากคุณต้องการลงเส้นทางที่ไม่ใช่พารามิเตอร์คุณสามารถลองทดสอบกำลังสองได้เสมอ

สำหรับกรณีที่ไม่มีการจับคู่สมมติฐานสำหรับการทดสอบนี้ (นำมาจากที่นี่ ) คือ:

ทั้งสองตัวอย่างเป็นตัวอย่างแบบสุ่มจากประชากรที่เกี่ยวข้อง
นอกเหนือจากความเป็นอิสระในแต่ละตัวอย่างแล้วยังมีความเป็นอิสระร่วมกันระหว่างสองตัวอย่าง
มาตราส่วนการวัดเป็นช่วงเวลาอย่างน้อย

บันทึกการบรรยายเหล่านี้อธิบายรายละเอียดของกรณีที่ไม่ได้รับการจับคู่

สำหรับกรณีที่จับคู่คุณจะต้องเปลี่ยนขั้นตอนนี้เล็กน้อย ตรงกลางหน้านี้ควรให้แนวคิดว่าจะเริ่มจากตรงไหน

— csgillespie
แหล่งที่มา

6

วิธีการที่ไร้เดียงสาที่สุดที่ฉันสามารถคิดคือการถอยหลัง VS เป็นแล้วทำการ -test บนสมมติฐาน 1ดูt-test สำหรับสัมประสิทธิ์การถดถอย $Y_i$ $X_i$ $Y_i \sim \hat{m}X_i + \hat{b}$ $t$ $m = 1$

แนวทางที่ไร้เดียงสาน้อยกว่าคือการทดสอบของ Morgan-Pitman Let จากนั้นทำการทดสอบค่าสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์แบบเพียร์สัน VS ฉัน(หนึ่งสามารถทำได้โดยใช้การแปลง Fisher RZซึ่งให้ช่วงความมั่นใจรอบสัมประสิทธิ์ Pearson ตัวอย่างหรือผ่าน bootstrap) $U_i = X_i - Y_i, V_i = X_i + Y_i,$ $U_i$ $V_i$

หากคุณกำลังใช้ R และไม่ต้องการให้รหัสทุกอย่างด้วยตัวเองฉันจะใช้bootdpciจากแพ็คเกจสถิติของ Robust สถิติ WRS ของวิลคอกซ์ (ดูหน้า Wilcox ' )

— shabbychef
แหล่งที่มา

4

หากคุณสามารถสันนิษฐานได้ว่าค่าความแปรปรวนแบบ bivariate คุณสามารถพัฒนาแบบทดสอบความน่าจะเป็นอัตราส่วนเปรียบเทียบโครงสร้างเมทริกซ์ความแปรปรวนร่วมที่เป็นไปได้สองแบบ การประมาณความน่าจะเป็นสูงสุดที่ไม่ จำกัด (H_a) เป็นที่รู้จักกันดี - เพียงแค่เมทริกซ์ความแปรปรวนร่วมตัวอย่าง, ค่าที่ จำกัด (H_0) สามารถได้มาจากการเขียนความน่าจะเป็น (และอาจจะเป็นการประมาณ

หากคุณไม่ต้องการได้รับสูตรคุณสามารถใช้ SAS หรือ R เพื่อให้พอดีกับแบบจำลองการวัดซ้ำกับโครงสร้างความแปรปรวนร่วมแบบสมมาตรแบบไม่มีโครงสร้างและเปรียบเทียบความน่าจะเป็น

— Aniko
แหล่งที่มา

3

ความยากเกิดขึ้นได้อย่างชัดเจนเนื่องจากและมีการ corellated (ฉันถือว่าเป็น gaussian ร่วมกันเหมือนกับ Aniko) และคุณไม่สามารถสร้างความแตกต่าง (เช่นในคำตอบของ @ svadali) หรืออัตราส่วน (เช่นเดียวกับ Standard Fisher-Snedecor "F-ทดสอบ") เพราะผู้จะมีขึ้นการจัดจำหน่ายและเพราะคุณไม่ได้รู้ว่าสิ่งที่พึ่งพานี้อยู่ซึ่งทำให้มันยากที่จะได้รับการจัดจำหน่ายภายใต้ 0 $X$ $Y$ $(X,Y)$ $\chi^2$ $H_0$

คำตอบของฉันขึ้นอยู่กับสมการ (1) ด้านล่าง เนื่องจากความแตกต่างของความแปรปรวนสามารถแยกตัวประกอบกับความแตกต่างของค่าลักษณะเฉพาะและมุมการหมุนที่แตกต่างกันการทดสอบความเท่าเทียมสามารถปฏิเสธได้ในการทดสอบสองครั้ง ฉันแสดงให้เห็นว่าเป็นไปได้ที่จะใช้การทดสอบ Fisher-Snedecor ร่วมกับการทดสอบความชันเช่นที่แนะนำโดย @shabbychef เนื่องจากคุณสมบัติง่าย ๆ ของเวกเตอร์เกาส์ 2D

$i=1,2$ $(Z^i_{1},\dots,Z^i_{n_i} )$ $\hat{\lambda}^2_i$ and true variance $\lambda^2_i$ , then it is possible to test if $\lambda_1=\lambda_2$ using the fact that, under the null,

It uses the fact that

R = \frac{{\hat{λ}}_{X}^{2}}{{\hat{λ}}_{Y}^{2}}

$R=\frac{\hat{\lambda}_X^2}{\hat{\lambda}_Y^2}$ follows a Fisher-Snedecor distribution

F (n_{1} - 1, n_{2} - 1)

$F(n_1-1,n_2-1)$

A simple property of 2D gaussian vector Let us denote by

R (θ) = [\begin{matrix} \cos θ & - \sin θ \\ \sin θ & \cos θ \end{matrix}]

$R(\theta) = \begin{bmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \\ \end{bmatrix}$ It is clear that there exists

λ_{1}, λ_{2} > 0

$\lambda_1,\lambda_2>0$

ϵ_{1}

$\epsilon_1$ ,

ϵ_{2}

$\epsilon_2$ two independent gaussian

N (0, λ_{i}^{2})

$\mathcal{N}(0,\lambda_i^2)$ such that

[\begin{matrix} X \\ Y \end{matrix}] = R (θ) [\begin{matrix} ϵ_{1} \\ ϵ_{2} \end{matrix}]

$\begin{bmatrix} X \\ Y \end{bmatrix} = R(\theta)\begin{bmatrix} \epsilon_1 \\ \epsilon_2 \end{bmatrix}$ and that we have

V a r (X) - V a r (Y) = (λ_{1}^{2} - λ_{2}^{2}) (\cos^{2} θ - \sin^{2} θ) [1]

$Var(X)-Var(Y)=(\lambda_1^2-\lambda_2^2)(\cos^2 \theta -\sin^2 \theta) \;\; [1]$

Testing of $Var(X)=Var(Y)$ can be done through testing if ( $\lambda_1^2=\lambda_2^2$ or $\theta=\pi/4 \; mod \; [\pi/2]$ )

Conclusion (Answer to the question) Testing for $\lambda_1^2=\lambda_2^2$ is easely done by using ACP (to decorrelate) and Fisher Scnedecor test. Testing $\theta=\pi/4 [mod \; \pi/2]$ is done by testing if $|\beta_1|=1$ in the linear regression $Y=\beta_1 X+\sigma\epsilon$ (I assume $Y$ and $X$ are centered).

Testing wether $\left ( \lambda_1^2=\lambda_2^2 \text{ or }\theta=\pi/4 [mod \; \pi/2]\right )$ at level $\alpha$ is done by testing if $\lambda_1^2=\lambda_2^2$ at level $\alpha/3$ or if $|\beta_1|=1$ at level $\alpha/3$ .

— robin girard
แหล่งที่มา