“ ความเท่าเทียมกันอย่างอื่น” หมายถึงอะไรในการถดถอยหลายครั้ง?

เมื่อเราทำการถดถอยหลายครั้งและบอกว่าเรากำลังดูการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยในตัวแปรสำหรับการเปลี่ยนแปลงในตัวแปรถือค่าคงที่ตัวแปรอื่น ๆ ทั้งหมดค่าใดที่เราถือตัวแปรคงที่ที่? หมายความว่าอย่างไร ศูนย์? มีค่าไหม? $y$ $x$

ฉันอยากจะคิดว่ามันมีค่า แค่มองหาคำอธิบาย หากใครมีหลักฐานก็คงจะดีเช่นกัน

— EconStats
แหล่งที่มา

ฉันพบตัวอย่างที่ 10 ในเอกสารของ Peter Kennedyมีประโยชน์มากในการทำความเข้าใจสิ่งนี้

— Dimitriy V. Masterov

ใช่เล็กน้อยเกี่ยวกับการเพิ่มจำนวนห้องในขณะที่รักษาค่าคงที่ตารางฟุตเป็นจุดช่างสังเกตจริง ๆ กระดาษแผ่นนั้นเป็นทองคำในความคิดที่มีประโยชน์จริง ๆ มันจะบันทึกในเอก

— EconStats

นี่เป็นคำถามที่น่าสนใจจริง ๆ ฉันสงสัยว่านักเศรษฐศาสตร์ถามตัวเองว่า "ceteris paribus" มีความหมายอย่างไร

— mugen

คุณพูดถูก ในทางเทคนิคมันเป็นค่าใด ๆ อย่างไรก็ตามเมื่อฉันสอนสิ่งนี้ฉันมักจะบอกคนอื่นว่าคุณได้รับผลกระทบจากการเปลี่ยนแปลงหนึ่งหน่วยใน $X_j$ เมื่อตัวแปรอื่น ๆ ทั้งหมดถูกยึดตามความหมายของมัน ฉันเชื่อว่านี่เป็นวิธีทั่วไปในการอธิบายที่ไม่เฉพาะเจาะจงสำหรับฉัน

ฉันมักจะกล่าวถึงว่าถ้าคุณไม่มีปฏิสัมพันธ์ใด ๆ $\beta_j$ จะเป็นผลของการเปลี่ยนแปลงหนึ่งหน่วยใน $X_j$ ไม่ว่าค่าของตัวแปรอื่น ๆ ของคุณจะเป็นเท่าใด แต่ฉันชอบที่จะเริ่มต้นด้วยการกำหนดค่าเฉลี่ย เหตุผลก็คือมีสองผลกระทบของการรวมหลายตัวแปรในรูปแบบการถดถอย ก่อนอื่นคุณจะได้รับผลของการควบคุม $X_j$ สำหรับตัวแปรอื่น ๆ (ดูคำตอบของฉันที่นี่ ) ประการที่สองคือการมีตัวแปรอื่น ๆ (โดยทั่วไป) ช่วยลดความแปรปรวนที่เหลือของรูปแบบทำให้ตัวแปรของคุณ (รวมถึง $X_j$ ) 'สำคัญกว่า' มันยากสำหรับคนที่จะเข้าใจวิธีการทำงานถ้าตัวแปรอื่น ๆ มีค่าที่อยู่รอบ ๆ สถานที่ ที่ดูเหมือนว่ามันจะเพิ่มความแปรปรวนอย่างใด หากคุณคิดว่าจะปรับจุดข้อมูลแต่ละจุดขึ้นหรือลงสำหรับค่าของตัวแปรอื่น ๆ จนกว่าตัวแปรเหลือทั้งหมด $X$ จะถูกย้ายไปที่ค่าเฉลี่ยของแต่ละวิธีจะง่ายกว่าที่จะเห็นว่าความแปรปรวนที่เหลือนั้นลดลง

ฉันจะไม่โต้ตอบจนกว่าจะถึงชั้นหนึ่งหรือสองหลังจากฉันได้แนะนำพื้นฐานของการถดถอยหลายครั้ง อย่างไรก็ตามเมื่อฉันไปถึงพวกเขาฉันกลับไปที่เนื้อหานี้ ด้านบนใช้เมื่อไม่มีการโต้ตอบ เมื่อมีการโต้ตอบมันซับซ้อนมากขึ้น ในกรณีนั้นตัวแปรการโต้ตอบ [s] จะถูกคงที่ (โดยเฉพาะอย่างยิ่ง) ที่และไม่มีค่าอื่น ๆ $0$

ถ้าคุณต้องการที่จะดูว่าเรื่องนี้เล่นพีชคณิตมันค่อนข้างตรงไปตรงมา เราสามารถเริ่มต้นด้วยกรณีที่ไม่มีการโต้ตอบ ลองตรวจสอบการเปลี่ยนแปลงในเมื่อตัวแปรอื่น ๆ ทั้งหมดที่มีอย่างต่อเนื่องที่จัดขึ้นที่วิธีการของตน โดยไม่สูญเสียของทั่วไปสมมติว่ามีสามตัวแปรและเรามีความสนใจในการทำความเข้าใจว่าการเปลี่ยนแปลงในมีความเกี่ยวข้องกับการเปลี่ยนแปลงหน่วยหนึ่งในถือและคงที่ที่วิธีการของตน: $\hat Y$ $X$ $\hat Y$ $X_3$ $X_1$ $X_2$

\begin{aligned} {\hat{Y}}_{i} & = {\hat{β}}_{0} + {\hat{β}}_{1} {\bar{X}}_{1} + {\hat{β}}_{2} {\bar{X}}_{2} + {\hat{β}}_{3} X_{3 i} \\ {\hat{Y}}_{i^{'}} & = {\hat{β}}_{0} + {\hat{β}}_{1} {\bar{X}}_{1} + {\hat{β}}_{2} {\bar{X}}_{2} + {\hat{β}}_{3} (X_{3 i} + 1) \\ subtracting the first equation from the second: \\ {\hat{Y}}_{i^{'}} - {\hat{Y}}_{i} & = {\hat{β}}_{0} - {\hat{β}}_{0} + {\hat{β}}_{1} {\bar{X}}_{1} - {\hat{β}}_{1} {\bar{X}}_{1} + {\hat{β}}_{2} {\bar{X}}_{2} - {\hat{β}}_{2} {\bar{X}}_{2} + {\hat{β}}_{3} (X_{3 i} + 1) - {\hat{β}}_{3} X_{3 i} \\ Δ Y & = {\hat{β}}_{3} X_{3 i} + {\hat{β}}_{3} - {\hat{β}}_{3} X_{3 i} \\ Δ Y & = {\hat{β}}_{3} \end{aligned}

$\begin{align} \hat Y_i &= \hat\beta_0 + \hat\beta_1\bar X_1 + \hat\beta_2\bar X_2 + \hat\beta_3X_{3i} \\ \hat Y_{i'} &= \hat\beta_0 + \hat\beta_1\bar X_1 + \hat\beta_2\bar X_2 + \hat\beta_3(X_{3i}\!+\!1) \\ ~ \\ &\text{subtracting the first equation from the second:} \\ ~ \\ \hat Y_{i'} - \hat Y_i &= \hat\beta_0 - \hat\beta_0 + \hat\beta_1\bar X_1 - \hat\beta_1\bar X_1 + \hat\beta_2\bar X_2 - \hat\beta_2\bar X_2 + \hat\beta_3(X_{3i}\!+\!1) - \hat\beta_3X_{3i} \\ \Delta Y &= \hat\beta_3X_{3i} + \hat\beta_3 - \hat\beta_3X_{3i} \\ \Delta Y &= \hat\beta_3 \end{align}$

ตอนนี้เห็นได้ชัดว่าเราสามารถใส่ค่าใด ๆ ในและในสองสมการแรกตราบใดที่เราใส่ค่าเดียวกันสำหรับ ( ) ในทั้งสอง นั่นคือตราบใดที่เราจะถือและอย่างต่อเนื่อง $X_1$ $X_2$ $X_1$ $X_2$ $X_1$ $X_2$

ในทางกลับกันมันไม่ได้ผลด้วยวิธีนี้หากคุณมีปฏิสัมพันธ์ ที่นี่ฉันแสดงกรณีที่มีคำศัพท์การปฏิสัมพันธ์ : $X_1X_3$

\begin{aligned} {\hat{Y}}_{i} & = {\hat{β}}_{0} + {\hat{β}}_{1} {\bar{X}}_{1} + {\hat{β}}_{2} {\bar{X}}_{2} + {\hat{β}}_{3} X_{3 i} + {\hat{β}}_{4} {\bar{X}}_{1} X_{3 i} \\ {\hat{Y}}_{i^{'}} & = {\hat{β}}_{0} + {\hat{β}}_{1} {\bar{X}}_{1} + {\hat{β}}_{2} {\bar{X}}_{2} + {\hat{β}}_{3} (X_{3 i} + 1) + {\hat{β}}_{4} {\bar{X}}_{1} (X_{3 i} + 1) \\ subtracting the first equation from the second: \\ {\hat{Y}}_{i^{'}} - {\hat{Y}}_{i} & = {\hat{β}}_{0} - {\hat{β}}_{0} + {\hat{β}}_{1} {\bar{X}}_{1} - {\hat{β}}_{1} {\bar{X}}_{1} + {\hat{β}}_{2} {\bar{X}}_{2} - {\hat{β}}_{2} {\bar{X}}_{2} + {\hat{β}}_{3} (X_{3 i} + 1) - {\hat{β}}_{3} X_{3 i} + \\ {\hat{β}}_{4} {\bar{X}}_{1} (X_{3 i} + 1) - {\hat{β}}_{4} {\bar{X}}_{1} X_{3 i} \\ Δ Y & = {\hat{β}}_{3} X_{3 i} + {\hat{β}}_{3} - {\hat{β}}_{3} X_{3 i} + {\hat{β}}_{4} {\bar{X}}_{1} X_{3 i} + {\hat{β}}_{4} {\bar{X}}_{1} - {\hat{β}}_{4} {\bar{X}}_{1} X_{3 i} \\ Δ Y & = {\hat{β}}_{3} + {\hat{β}}_{4} {\bar{X}}_{1} \end{aligned}

$\begin{align} \hat Y_i &= \hat\beta_0 + \hat\beta_1\bar X_1 + \hat\beta_2\bar X_2 + \hat\beta_3X_{3i} \quad\quad\ \! + \hat\beta_4\bar X_1X_{3i} \\ \hat Y_{i'} &= \hat\beta_0 + \hat\beta_1\bar X_1 + \hat\beta_2\bar X_2 + \hat\beta_3(X_{3i}\!+\!1) + \hat\beta_4\bar X_1(X_{3i}\!+\!1) \\ ~ \\ &\text{subtracting the first equation from the second:} \\ ~ \\ \hat Y_{i'} - \hat Y_i &= \hat\beta_0 - \hat\beta_0 + \hat\beta_1\bar X_1 - \hat\beta_1\bar X_1 + \hat\beta_2\bar X_2 - \hat\beta_2\bar X_2 + \hat\beta_3(X_{3i}\!+\!1) - \hat\beta_3X_{3i} + \\ &\quad\ \hat\beta_4\bar X_1(X_{3i}\!+\!1) - \hat\beta_4\bar X_1X_{3i} \\ \Delta Y &= \hat\beta_3X_{3i} + \hat\beta_3 - \hat\beta_3X_{3i} + \hat\beta_4\bar X_1 X_{3i} + \hat\beta_4\bar X_1 - \hat\beta_4\bar X_1X_{3i} \\ \Delta Y &= \hat\beta_3 + \hat\beta_4\bar X_1 \end{align}$

ในกรณีนี้มันเป็นไปไม่ได้ที่จะคงไว้ซึ่งสิ่งอื่นทั้งหมด เนื่องจากเทอมการโต้ตอบเป็นฟังก์ชันของและจึงไม่สามารถเปลี่ยนโดยไม่ต้องเปลี่ยนเงื่อนไขการโต้ตอบเช่นกัน เท่ากับการเปลี่ยนแปลงในที่เกี่ยวข้องกับการเปลี่ยนแปลงหน่วยหนึ่งในเฉพาะเมื่อตัวแปรปฏิสัมพันธ์ ( ) จะจัดขึ้นที่แทน (หรือค่าอื่น ๆ แต่ ) ซึ่งในกรณีนี้ คำสุดท้ายในสมการด้านล่างจะลดลง $X_1$ $X_3$ $X_3$ $\hat\beta_3$ $\hat Y$ $X_3$ $X_1$ $0$ $\bar X_1$ $0$

ในการสนทนานี้ฉันได้เน้นที่การโต้ตอบ แต่โดยทั่วไปแล้วปัญหาคือเมื่อมีตัวแปรใด ๆ ที่เป็นฟังก์ชันของอีกตัวหนึ่งซึ่งไม่สามารถเปลี่ยนค่าของตัวแปรแรกได้โดยไม่ต้องเปลี่ยนค่าตามลำดับของตัวแปรอื่น . ในกรณีเช่นนี้ความหมายของกลายเป็นความซับซ้อนมากขึ้น ตัวอย่างเช่นถ้าคุณมีรูปแบบที่มีและแล้วเป็นอนุพันธ์ $\hat\beta_j$ $X_j$ $X_j^2$ $\hat\beta_j$ ถือทุกอย่างเท่าเทียมกันและถือ(ดูคำตอบของฉันที่นี่) อื่น ๆ สูตรที่ซับซ้อนกว่าก็มีความเป็นไปได้เช่นกัน $\frac{dY}{dX_j}$ $X_j=0$

— gung - Reinstate Monica
แหล่งที่มา

ขอบคุณ gung คำตอบนี้ยอดเยี่ยมในสองระดับ ประการแรกมันตอบประเด็นหลักที่ฉันสนใจประการที่สองคุณทำนายว่าคำถามติดตามของฉันจะเป็นอย่างไร ขอบคุณสำหรับคณิตศาสตร์เช่นกัน ฉันรู้ว่าคำถามนี้เป็นคำถามพื้นฐาน แต่ฉันรู้สึกว่าคุณจะไม่มีความชัดเจนกับแนวคิดเหล่านี้

— EconStats

คุณยินดีต้อนรับ @EconStats ไม่มีปัญหากับการรวมคณิตศาสตร์บางครั้งก็ทำให้เข้าใจได้ง่ายขึ้นว่าเกิดอะไรขึ้น

— gung - Reinstate Monica

ฉันต้องบอกว่าเมื่อคุณลบสมการแรกจากสมการที่สองในที่สุดมันก็ยืนยันความคิดดั้งเดิมของฉันว่ามันไม่สำคัญว่าค่าของ

และ

จะเท่าไหร่ตราบใดที่สมการทั้งสองเหมือนกัน ดูเหมือนว่าฉันจะรู้อย่างชัดเจน แต่ฉันไม่เคยคิดที่จะคำนวณ

นั้นมาก่อน ช่วงเวลาที่แน่นอนสำหรับฉัน

X_{2}

$X_2$

X_{3}

$X_3$

β

$\beta$

— EconStats

คุณยังสามารถหาอนุพันธ์ของ

wrt

และมันจะพาคุณไปยังที่เดียวกัน แต่นี่เป็นคณิตศาสตร์ที่ง่ายกว่า (พีชคณิตมัธยม) ซึ่งจะสามารถเข้าถึงผู้ชมได้กว้างขึ้น

Y

$Y$

X_{j}

$X_j$

— gung - Reinstate Monica

@eetroot ถ้าฉันเข้าใจคุณถูกต้องคุณก็แค่ถือมันในระดับที่ระบุ (มิฉะนั้นคุณอาจถามคำถามนี้เป็นคำถามใหม่)

— gung - Reinstate Monica

คณิตศาสตร์นั้นง่ายเพียงแค่นำความแตกต่างระหว่าง 2 โมเดลที่มีหนึ่งในตัวแปร x เปลี่ยนโดย 1 และคุณจะเห็นว่าไม่สำคัญว่าตัวแปรอื่น ๆ คืออะไร (เนื่องจากไม่มีการโต้ตอบพหุนามหรือคำที่ซับซ้อนอื่น ๆ )

ตัวอย่างหนึ่ง:

$y_{[1]} = b_0 + b_1 \times x_1 + b_2 \times x_2$

$y_{[2]} = b_0 + b_1 \times (x_1 + 1) + b_2 \times x_2$

$y_{[2]} - y_{[1]} = b_0 - b_0 + b_1\times x_1 - b_1\times x_1 + b_1 \times 1 + b_2 \times x_2 - b_2 \times x_2 = b_1$

— เกร็กสโนว์
แหล่งที่มา

$X_i$

Y = β_{0} + β_{1} X_{1} + β_{2} X_{2}

$Y=\beta_{0}+\beta_{1}X_1+\beta_{2}X_2$

X_{i}

$X_i$

Y

$Y$

\frac{Δ Y}{Δ X_{i}}

$\frac{\Delta{Y}}{\Delta{X_i}}$

Δ X_{i}

$\Delta{X_i}$

X_{j}

$X_j$

$X_1$ $X_2$ $\beta_{12}=0$ $Y=\beta_{0}+\beta_{1}X_1+\beta_{2}X_2+\beta_{12}X_1X_2$

$X_1\sim N(0,\sigma_1^2)$ $X_2=X_1^{2}+N(0,\sigma_2^2)$ $X_1$ $X_2$

c o v (X_{1}, X_{2}) = E (X_{1} X_{2}) - E (X_{1}) E (X_{2})

$cov(X_1,X_2)=E(X_1X_2)-E(X_1)E(X_2)$

= E [X_{1} (X_{1}^{2} + a)] - E (X_{1}) . E (X_{1}^{2} - a) w i t h a \sim N (0, σ_{2}^{2})

$=E[X_1(X_1^2+a)]-E(X_1).E(X_1^2-a)\,with\,a\sim N(0,\sigma_2^2)$

= E (X_{1}^{3}) - E (X_{1} . a) - 0. E (X_{1}^{2} - a) = 0 - 0 - 0 = 0

$=E(X_1^3)-E(X_1.a)-0.E(X_1^2-a)=0-0-0=0$

$X_1$ $X_2$ $\frac{\Delta{Y}}{\Delta{X_i}}$ $X_1$ $\frac{\Delta{Y}}{\Delta{X_i}}$ $X_i$ $Y$

$\frac{\Delta{Y}}{\Delta{X_i}}$

— ฮันส์ Roggeman
แหล่งที่มา

ขอบคุณฮันส์ฉันจริง ๆ แล้วพยายามหาจนถึงจุดที่ gung ทำ แต่นี่เป็นตัวอย่างที่ดีสำหรับเมื่อตัวแปรสองตัวขึ้นอยู่กับ

— EconStats