ตัวอย่างง่าย ๆ ของ uncorrelated แต่ไม่ใช่อิสระและ

นักเรียนที่ทำงานหนัก ๆ ทุกคนเป็นตัวอย่างของ "นักเรียนทุกคนขี้เกียจ"

อะไรคือตัวอย่างของตัวอย่างง่ายๆที่ว่า "ถ้าตัวแปรสุ่มและไม่ได้มีความสัมพันธ์กันแล้วพวกมันมีความเป็นอิสระ"?$X$$Y$

Let(-1,1)$X\sim U(-1,1)$

Let 2$Y=X^2$

ตัวแปรไม่เกี่ยวข้อง แต่ขึ้นอยู่กับ

อีกทางหนึ่งให้พิจารณาการกระจายตัวแบบไบวาเรียที่ไม่ต่อเนื่องประกอบด้วยความน่าจะเป็นที่ 3 คะแนน (-1,1) (0, -1), (1,1) โดยมีความน่าจะเป็น 1/4, 1/2, 1/4 ตัวแปรจะไม่เกี่ยวข้อง แต่ขึ้นอยู่กับ

พิจารณาชุดข้อมูล bivariate ในเพชร (รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสหมุน 45 องศา) ตัวแปรจะไม่สัมพันธ์กัน แต่ขึ้นอยู่กับ

นี่เป็นกรณีที่ง่ายที่สุดที่ฉันนึกถึง

ผมคิดว่าสาระสำคัญของบางส่วนของ counterexamples ง่ายสามารถมองเห็นได้โดยเริ่มต้นด้วยตัวแปรสุ่มต่อเนื่องศูนย์กลางในการเป็นศูนย์คือE [ X ] = 0 สมมติว่าไฟล์ PDF ของXคือแม้และกำหนดไว้ในช่วงของรูปแบบ( - , )ที่> 0 ตอนนี้สมมติY = F ( X )สำหรับฟังก์ชั่นบางฉ ตอนนี้เราถามคำถาม: สำหรับฟังก์ชั่นประเภทใดf ( X )เรามีC $X$$E[X]=0$$X$$(-a,a)$$a>0$$Y=f(X)$$f$$f(X)$ ?$Cov(X,f(X))=0$

เรารู้ว่า ] สมมติฐานของเราว่าE [ X ] = 0ทำให้เราตรงไปที่C o v ( X , f ( X ) ) = E [ X $Cov(X,f(X))=E[Xf(X)]-E[X]E[f(X)]$$E[X]=0$ ] แสดงว่า pdf ของ Xผ่าน p ( ⋅ )เรามี$Cov(X,f(X))=E[Xf(X)]$$X$$p(\cdot)$

x$Cov(X,f(X))=E[Xf(X)]=\int_{-a}^{a}xf(x)p(x)dx$

เราต้องการให้และวิธีหนึ่งในการบรรลุเป้าหมายนี้คือการทำให้f ( x )เป็นฟังก์ชั่นคู่ซึ่งหมายถึงx f ( x ) p ( x )เป็นฟังก์ชันคี่ จากนั้นจึงตามด้วย∫ a - a x f ( x ) p ( x ) d x = 0และดังนั้นC o $Cov(X,f(X))=0$$f(x)$$xf(x)p(x)$$\int_{-a}^{a}xf(x)p(x)dx=0$ 0$Cov(X,f(X))=0$

วิธีนี้เราจะเห็นว่าการกระจายความแม่นยำของมีความสำคัญเป็นพร้อมเป็น pdf เป็นสมมาตรรอบบางจุดและฟังก์ชั่นใด ๆ แม้กระทั่งฉ( ⋅ )จะทำสำหรับการกำหนดY$X$$f(\cdot)$$Y$

หวังว่าสิ่งนี้จะช่วยให้นักเรียนเห็นว่าผู้คนต่างมีตัวอย่างของประเภทนี้อย่างไร

เป็นตัวอย่าง (เช่นนักเรียนที่ทำงานหนัก)! ด้วยที่กล่าวว่า:

ฉันพยายามคิดถึงตัวอย่างของโลกแห่งความจริงและนี่เป็นครั้งแรกที่เข้ามาในความคิดของฉัน นี่จะไม่ใช่กรณีที่ง่ายที่สุดทางคณิตศาสตร์ (แต่ถ้าคุณเข้าใจตัวอย่างนี้คุณควรจะสามารถหาตัวอย่างที่ง่ายกว่าด้วยโกศและบอลหรืออะไรบางอย่าง)

จากการวิจัยพบว่าค่าเฉลี่ยไอคิวของชายและหญิงเท่ากัน แต่ความแปรปรวนของไอคิวของผู้ชายนั้นมากกว่าค่าความแปรปรวนของไอคิวของผู้หญิง สำหรับรูปธรรมขอบอกว่าชาย IQ ดังนี้และเพศหญิง IQ ดังนี้N ( 100 , α σ 2 )กับα < 1 ประชากรครึ่งหนึ่งเป็นเพศชายและอีกครึ่งหนึ่งเป็นประชากรเพศหญิง$N(100, \sigma^2)$$N(100, \alpha \sigma^2)$$\alpha<1$

สมมติว่างานวิจัยนี้ถูกต้อง:

ความสัมพันธ์ของเพศและไอคิวคืออะไร?

เพศและ IQ เป็นอิสระหรือไม่?

เราสามารถกำหนดตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่องด้วยP ( X = - 1 ) = P ( X = 0 ) = P ( X = 1 ) = $X\in\{-1,0,1\}$$\mathbb{P}(X=-1)=\mathbb{P}(X=0)=\mathbb{P}(X=1)=\frac{1}{3}$

จากนั้นให้นิยาม$Y=\begin{cases}1,\quad\text{if}\quad X=0\\0,\quad\text{otherwise}\end{cases}$

สามารถตรวจสอบได้อย่างง่ายดายว่าและYไม่เกี่ยวข้องกัน แต่ไม่เป็นอิสระ$X$$Y$

ลองนี้ (รหัส R):

x=c(1,0,-1,0);  
y=c(0,1,0,-1);  

cor(x,y);  
[1] 0

นี่คือจากสมการของวงกลม$x^2+y^2-r^2=0$

ไม่สัมพันธ์กับ xแต่ขึ้นอยู่กับการใช้งาน (กำหนดขึ้น) $Y$$x$

กรณีทั่วไปเท่านั้นเมื่อขาดความสัมพันธ์หมายถึงความเป็นอิสระคือเมื่อการกระจายตัวของ X และ Y เป็นแบบเกาส์

คำตอบสองประโยค: กรณีที่ชัดเจนที่สุดของการพึ่งพาทางสถิติที่ไม่เกี่ยวข้องซึ่งเป็นฟังก์ชันที่ไม่ใช่เชิงเส้นของ RV กล่าวว่า Y = X ^ n RVs ทั้งสองนั้นขึ้นอยู่อย่างชัดเจน แต่ก็ไม่ได้มีความสัมพันธ์กัน