การคาดหวังนั้นเหมือนกับค่าเฉลี่ยหรือไม่

ฉันกำลังทำ ML ที่มหาวิทยาลัยของฉันและอาจารย์พูดถึงคำว่า Expectation (E) ในขณะที่เขาพยายามอธิบายบางอย่างเกี่ยวกับกระบวนการแบบเกาส์ แต่จากวิธีที่เขาอธิบายฉันเข้าใจว่า E นั้นเหมือนกับค่าเฉลี่ยμ ฉันเข้าใจถูกมั้ย

ถ้าเหมือนกันคุณรู้หรือไม่ว่าทำไมจึงใช้สัญลักษณ์ทั้งสอง ฉันก็เห็นว่า E สามารถใช้เป็นฟังก์ชั่นเช่น E ( ) แต่ฉันไม่เห็นว่าสำหรับμ $x^2$

ใครสามารถช่วยฉันเข้าใจความแตกต่างระหว่างทั้งสองได้ดีกว่ากัน?

machine-learning gaussian-process linear-algebra

— จิมบลัม
แหล่งที่มา

อย่างต่อเนื่อง ,ที่เป็นฟังก์ชันความหนาแน่นของความน่าจะเป็น ดังนั้นจึงเป็นจริงเฉพาะเมื่อคืออาร์กิวเมนต์ อย่างไรก็ตามมันอาจจะเป็นจริงถ้าเรามีโดยที่เป็นสิ่งอื่นที่ไม่ใช่ฟังก์ชั่นเอกลักษณ์

X

$X$

E [X] = \int_{- \infty}^{\infty} f (x) x d x = μ (x)

$E[X] = \int_{-\infty}^{\infty} f(x)x dx = \mu(x)$

f (x)

$f(x)$

X

$X$

E [g (X)] = E [X] = μ (X)

$E[g(X)] = E[X] = \mu(X)$

g

$g$

— Jase

@Jase ? ทำไมฟังก์ชันด้านขวาของซึ่งควรหายไปหลังจากการแทนที่ค่า จำกัด ในขณะที่ประเมินค่าอินทิกรัล?

μ (x)

$\mu(x)$

x

$x$

— Dilip Sarwate

@DilipSarwateเป็นตัวพิมพ์ผิด หมายถึงว่า(X)

μ (x)

$\mu(x)$

μ = μ (X)

$\mu = \mu(X)$

— Jase

จอห์น: ถ้าฉันเป็นคุณฉันจะเรียนรู้ความน่าจะเป็นพื้นฐานก่อนที่จะเข้าคลาสการเรียนรู้ของเครื่อง / กระบวนการเกาส์เซียน ดูหนังสือเล่มนี้: math.uiuc.edu/~r-ash/BPT.html

— Zen

ขอบคุณมากสำหรับความช่วยเหลือของคุณ! ฉันไม่ได้คาดหวังข้อเสนอแนะมากนัก @ เซนขอบคุณมากสำหรับคำแนะนำของคุณ ฉันเห็นด้วยกับคุณอย่างแน่นอน ฉันใช้โมดูลเป็นระดับปริญญาตรีในความน่าจะเป็นและสถิติอย่างไรก็ตามเราเพิ่งมีการแนะนำอย่างง่าย ๆ เกี่ยวกับการแจกแจงและความน่าจะเป็นและน่าเสียดายที่เราไม่ได้ทำมันในเชิงลึก นอกจากนี้เราไม่ได้กล่าวถึงคำว่า "ความคาดหวัง" ฉันพยายามตอนนี้เพื่อให้ครอบคลุมช่องว่างทางสถิติและความน่าจะเป็นด้วยตัวเอง

— Jim Blum

คำตอบ:

ความคาดหวัง / ค่าคาดหวังเป็นตัวดำเนินการที่สามารถนำไปใช้กับตัวแปรสุ่ม สำหรับตัวแปรสุ่มต่อเนื่อง (เช่นทวินาม) กับค่าที่เป็นไปมันถูกกำหนดให้เป็น(x_i) นั่นคือค่าเฉลี่ยของค่าที่เป็นไปได้ซึ่งถ่วงน้ำหนักโดยความน่าจะเป็นของค่าเหล่านั้น ตัวแปรสุ่มต่อเนื่องอาจจะคิดว่าเป็นลักษณะทั่วไปของการนี้:dP ค่าเฉลี่ยของตัวแปรสุ่มคือคำพ้องความคาดหวัง $k$ $\sum_i^k x_i p(x_i)$ $\int x dP$

เกาส์ (ปกติ) การกระจายมีสองพารามิเตอร์และ 2 ถ้ามีการกระจายตามปกติแล้วEดังนั้นค่าเฉลี่ยของตัวแปรกระจายแบบเกาส์จึงเท่ากับพารามิเตอร์นี่ไม่ได้เป็นแบบนั้นเสมอไป ใช้การกระจายทวินามซึ่งมีพารามิเตอร์และPถ้ามีการกระจาย binomially แล้วE $\mu$ $\sigma^2$ $X$ $E(X)=\mu$ $\mu$ $n$ $p$ $X$ $E(X)=np$

ในขณะที่คุณเห็นคุณยังสามารถใช้ความคาดหวังกับการทำงานของตัวแปรสุ่มเพื่อให้หาเกาส์คุณจะพบว่า 2 $X$ $E(X^2)=\sigma^2+\mu^2$

หน้า Wikipedia เกี่ยวกับค่าที่คาดหวังนั้นเป็นข้อมูลที่ค่อนข้างดี: http://en.wikipedia.org/wiki/Expected_value

— Jeremy Coyle
แหล่งที่มา

"... ดังนั้นสำหรับเกาส์เซียนคุณจะพบว่า " จำเป็นอย่างยิ่งที่โดย Gaussian จะต้องมีความสัมพันธ์นี้หรือไม่?

X

$X$

E (X^{2}) = σ^{2} + μ^{2}

$E(X^2)=\sigma^2+\mu^2$

X

$X$

— Dilip Sarwate

ความสัมพันธ์จะถืออยู่เสมอ แต่ฉันคาดหวังคำตอบที่เขียนในแง่ของพารามิเตอร์ของการแจกแจง ดังนั้นถ้าฉันถามใครบางคนว่าสำหรับกระจาย Binomialฉันคาดหวังคำตอบไม่ใช่

E (X^{2}) = V (X) + E (X)^{2}

$E(X^2)=V(X)+E(X)^2$

E (X^{2})

$E(X^2)$

X

$X$

(n, p)

$(n,p)$

n p (1 - p) + (n p)^{2}

$np(1-p)+(np)^2$

σ^{2} + μ^{2}

$\sigma^2+\mu^2$

— Jeremy Coyle

แต่ถ้าคุณถามว่าสิ่งที่เป็นสำหรับตัวแปรสุ่มทวินามที่มีค่าเฉลี่ยและความแปรปรวนคำตอบจะเป็น 2ได้รับว่าตัวแปรสุ่มแบบทวินามมักจะใช้พารามิเตอร์โดยใช้และแต่แล้วอะไรล่ะ จากค่าเฉลี่ยและความแปรปรวนเราสามารถหาและ

E (X^{2})

$E(X^2)$

μ

$\mu$

σ^{2}

$\sigma^2$

σ^{2} + μ^{2}

$\sigma^2+\mu^2$

n

$n$

p

$p$

p = 1 - \frac{variance}{mean}

$p = 1 - \frac{\text{variance}}{\text{mean}}$

n = \frac{mean}{p} = \frac{{mean}^{2}}{mean - variance} .

$n = \frac{\text{mean}}{p} = \frac{\text{mean}^2}{\text{mean}-\text{variance}}.$

— Dilip Sarwate

ตัวอย่างทั้งหมดคือการแยกความแตกต่างระหว่างพารามิเตอร์ของการแจกแจงและช่วงเวลาของการแจกแจง ใช่มันเป็นไปได้ที่จะแก้ไขการแจกแจงอีกครั้งในแง่ของช่วงเวลาของพวกเขา แต่เนื่องจาก OP ได้ถามถึงความสัมพันธ์ระหว่างและจึงเป็นเรื่องสำคัญที่จะต้องสร้างความแตกต่างดังกล่าวต่อไป มีเหตุผลที่คุณเลือกที่จะอวดความรู้เกี่ยวกับประเด็นนี้หรือไม่?

E (X)

$E(X)$

μ

$\mu$

— Jeremy Coyle

ขอบคุณมาก Jeremy! คำตอบที่ยอดเยี่ยม คุณมีประโยชน์มาก !

— Jim Blum

ความคาดหวังกับสัญกรณ์ตัวดำเนินการ E () (การกำหนดลักษณะที่แตกต่างกันของฟอนต์ที่ดีโรมันหรือตัวเอียงธรรมดาหรือแฟนซีถูกพบ) แสดงถึงการใช้ค่าเฉลี่ยของการโต้แย้ง แต่ในบริบททางคณิตศาสตร์หรือทางทฤษฎี คำนี้กลับไปที่ Christiaan Huygens ในศตวรรษที่ 17 แนวคิดนี้มีความชัดเจนในทฤษฎีความน่าจะเป็นและสถิติทางคณิตศาสตร์และตัวอย่างเช่นความน่าจะเป็นของหนังสือของปีเตอร์วิปริตผ่านความคาดหวังทำให้ชัดเจนว่ามันจะทำให้เป็นศูนย์กลางมากขึ้นได้อย่างไร

มันเป็นเพียงเรื่องของการประชุมที่หมายถึง (ค่าเฉลี่ย) มักจะแสดงออกค่อนข้างแตกต่างกันโดยโดดเด่นด้วยสัญลักษณ์เดียวและโดยเฉพาะอย่างยิ่งเมื่อวิธีการเหล่านั้นจะถูกคำนวณจากข้อมูล อย่างไรก็ตามการลดลงในหนังสือที่อ้างถึงนั้นใช้สัญกรณ์ A () เพื่อหาค่าเฉลี่ยและวงเล็บมุมรอบ ๆ ตัวแปรหรือนิพจน์ที่จะเฉลี่ยโดยทั่วไปในวิทยาศาสตร์กายภาพ

— นิคคอคส์
แหล่งที่มา