การกระจายของผลิตภัณฑ์สเกลาร์ของเวกเตอร์หน่วยสุ่มสองตัวในมิติ

ถ้า$\mathbf{x}$และ$\mathbf{y}$สองเป็นอิสระเวกเตอร์หน่วยสุ่ม$\mathbb{R}^D$ (การกระจายอย่างสม่ำเสมอในหน่วยทรงกลม) อะไรคือการกระจายตัวของผลคูณของพวกเขา (ผลิตภัณฑ์ dot) $\mathbf x \cdot \mathbf y$ ?

ฉันเดาว่า$D$จะเพิ่มการกระจายอย่างรวดเร็ว (?) กลายเป็นปกติโดยมีค่าเฉลี่ยเป็นศูนย์และความแปรปรวนลดลงในส่วนของสูงขึ้น

$$\lim_{D\to\infty}\sigma^2(D) \to 0,$$ แต่มีสูตรที่ชัดเจนสำหรับ$\sigma^2(D)$หรือไม่

ปรับปรุง

ฉันวิ่งไปตามสถานการณ์จำลอง ประการแรกการสร้าง 10000 คู่ของเวกเตอร์หน่วยสุ่มสำหรับ$D=1000$มันเป็นเรื่องง่ายที่จะเห็นว่าการกระจายตัวของผลคูณจุดของพวกเขาเป็นอย่างดีเสียน (ในความเป็นจริงมันค่อนข้างเสียนแล้วสำหรับ$D=100$ ) ดูแผนทางด้านซ้าย ที่สองสำหรับแต่ละ$D$ตั้งแต่ 1 ถึง 10,000 (ด้วยขั้นตอนเพิ่มขึ้น) ฉันสร้าง 1,000 คู่และคำนวณความแปรปรวน พล็อตเข้าสู่ระบบเข้าสู่ระบบจะปรากฏบนด้านขวาและเป็นที่ชัดเจนว่าสูตรเป็นห้วงเป็นอย่างดีโดย$1/D$ D โปรดทราบว่าสำหรับ$D=1$และ$D=2$สูตรนี้ยังให้ผลลัพธ์ที่แน่นอน (แต่ฉันไม่แน่ใจว่าจะเกิดอะไรขึ้นในภายหลัง)

เพราะ ( ที่เป็นที่รู้จักกันดี ) เครื่องแบบกระจายบนตัวเครื่องทรงกลม จะได้รับโดย normalizingกระจายปกติ -variate และ dot สินค้าของเวกเตอร์ปกติคือค่าสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์ของพวกเขาคำตอบของสาม คำถามคือ:$S^{D-1}$$D$$t$

1. $u= (t+1)/2$มีการกระจายเบต้า$((D-1)/2,(D-1)/2)$

2. ความแปรปรวนของเท่ากับ (ตามที่คาดการณ์ไว้ในคำถาม)$t$$1/D$

3. การแจกแจงแบบมาตรฐานของเข้าใกล้ภาวะปกติในอัตรา$t$$O\left(\frac{1}{D}\right).$

---

วิธี

การกระจายแน่นอนของผลคูณดอทของเวกเตอร์หน่วยสามารถหาได้ง่ายในเชิงเรขาคณิตเพราะนี่คือองค์ประกอบของเวกเตอร์ตัวที่สองในทิศทางของอันแรก เนื่องจากเวกเตอร์ที่สองมีความเป็นอิสระจากเวกเตอร์แรกและมีการกระจายอย่างสม่ำเสมอบนทรงกลมหน่วยส่วนประกอบของมันในทิศทางแรกจึงมีการกระจายเช่นเดียวกับพิกัดใด ๆ ของทรงกลม (โปรดสังเกตว่าการแจกแจงของเวกเตอร์แรกนั้นไม่สำคัญ)

การค้นหาความหนาแน่น

เมื่อพิกัดนั้นเป็นจุดสุดท้ายความหนาแน่นที่จึงเป็นสัดส่วนกับพื้นที่ผิวนอนที่ความสูงระหว่างและบนทรงกลมยูนิต สัดส่วนนั้นเกิดขึ้นภายในเข็มขัดที่มีความสูงและรัศมีซึ่งโดยพื้นฐานแล้วคือfrustum รูปกรวยที่สร้างขึ้นจากของรัศมีของความสูงและความลาดชัน2} ความน่าจะเป็นนั้นมาจากสัดส่วนใด$t \in [-1,1]$$t$$t+dt$$dt$$\sqrt{1-t^2},$$S^{D-2}$$\sqrt{1-t^2},$$dt$$1/\sqrt{1-t^2}$

$$\frac{\left(\sqrt{1 - t^2}\right)^{D-2}}{\sqrt{1 - t^2}}\,dt = (1 - t^2)^{(D-3)/2} dt.$$

ปล่อยให้สร้างความ2u-1 การแทนค่าที่ลงไปก่อนหน้านี้จะให้องค์ประกอบความน่าจะเป็นค่าคงที่ normalizing:$u=(t+1)/2 \in [0,1]$$t = 2u-1$

$$f_D(u)du \; \propto \; (1 - (2u-1)^2)^{(D-3)/2} d(2u-1) = 2^{D-2}(u-u^2)^{(D-3)/2}du.$$

โดยทันทีที่มีการแจกแจงแบบเบต้าเพราะ (ตามคำนิยาม) ความหนาแน่นของมันยังเป็นสัดส่วนกับ$u=(t+1)/2$$((D-1)/2, (D-1)/2)$

$$u^{(D-1)/2-1}\left(1-u\right)^{(D-1)/2-1} = (u-u^2)^{(D-3)/2} \; \propto \; f_D(u).$$

การกำหนดพฤติกรรมการ จำกัด

ข้อมูลเกี่ยวกับพฤติกรรมที่ จำกัด ดังต่อไปนี้ได้อย่างง่ายดายโดยใช้เทคนิคเบื้องต้น:สามารถบูรณาการเพื่อให้ได้สัดส่วนคงที่ ; สามารถบูรณาการ (โดยใช้คุณสมบัติของฟังก์ชั่นเบต้าเป็นต้น) เพื่อให้ได้ช่วงเวลาแสดงให้เห็นว่าความแปรปรวนคือและลดลงเหลือ (มาจากทฤษฎีบทของ Chebyshev ความน่าจะเป็นอยู่ใกล้กับ ); และการ จำกัด การกระจายนั้นถูกค้นพบโดยการพิจารณาค่าของความหนาแน่นของการแจกแจงแบบมาตรฐานสัดส่วนกับสำหรับค่าขนาดเล็กของ$f_D$$\frac{\Gamma \left(\frac{n}{2}\right)}{\sqrt{\pi } \Gamma \left(\frac{D-1}{2}\right)}$$t^k f_D(t)$$1/D$$0$$t=0$$f_D(t/\sqrt{D}),$$t$ :

$$\eqalign{ \log(f_D(t/\sqrt{D})) &= C(D) + \frac{D-3}{2}\log\left(1 - \frac{t^2}{D}\right) \\ &=C(D) -\left(1/2 + \frac{3}{2D}\right)t^2 + O\left(\frac{t^4}{D}\right) \\ &\to C -\frac{1}{2}t^2 }$$

โดยที่ค่าคงที่ s) ของค่าคงที่ของการรวมกลุ่ม เห็นได้ชัดว่าอัตราการเข้าสู่ภาวะปกติ (ซึ่งความหนาแน่นของบันทึกเท่ากับ ) คือ$C$$-\frac{1}{2}t^2$$O\left(\frac{1}{D}\right).$

พล็อตนี้แสดงความหนาแน่นของผลิตภัณฑ์ดอทสำหรับซึ่งเป็นค่ามาตรฐานสำหรับความแปรปรวนของหน่วยและความหนาแน่นที่ จำกัด ค่าที่เพิ่มขึ้นด้วย (จากสีน้ำเงินถึงแดงทองและเขียวสำหรับความหนาแน่นปกติมาตรฐาน) ความหนาแน่นสำหรับจะแยกไม่ออกจากความหนาแน่นปกติที่ความละเอียดนี้$D=4, 6, 10$$0$$D$$D=1000$

ลองหาการกระจายตัวแล้วความแปรปรวนตามด้วยผลลัพธ์มาตรฐาน พิจารณาผลิตภัณฑ์เวคเตอร์และเขียนมันในรูปแบบโคไซน์นั่นคือสังเกตว่าเรามีที่คือมุมระหว่างและy ที่ในขั้นตอนสุดท้ายฉันใช้มันสำหรับเหตุการณ์ใด ๆและตอนนี้พิจารณาระยะy) เป็นที่ชัดเจนว่าเนื่องจากได้รับเลือกอย่างสม่ำเสมอเมื่อเทียบกับพื้นผิวทรงกลมจึงไม่สำคัญว่า

$$P(x'y\leq t)=P(|x||y|\cos\theta\leq t)=P(\cos\theta\leq t)=\mathbb{E}P(\cos\theta\leq t\mid y),$$ $\theta$$x$$y$$A$$B$ $$\mathbb EP(A\mid B):=\mathbb{E}[\mathbb{E}[\chi_A\mid B]]=\mathbb{E}\chi_A=P(A).$$ $P(\cos\theta\leq t\mid y)$$x$$y$ที่จริงแล้วมีเพียงแค่มุมระหว่างและสำคัญเท่านั้น ดังนั้นคำที่อยู่ในความคาดหมายจึงเป็นค่าคงที่ในฐานะฟังก์ชันของและเราสามารถรู้ได้ว่าจากนั้นเราจะได้แต่เนื่องจากเป็นพิกัดแรกของเวกเตอร์เกาส์นอร์แบบปกติใน เรามีว่าคือเกาส์ที่มีความแปรปรวนโดยเรียกผลลัพธ์แบบของกระดาษนี้$x$$y$$y$$y=[1,0,0,\dots ]'.$ $$P(x'y\leq t)=P\left( x_1\leq t\right).$$ $x_1$$\mathbb{R}^n,$$x'y$$1/n$

สำหรับผลที่ชัดเจนของความแปรปรวนให้ใช้ความจริงที่ว่าสินค้า dot เป็นศูนย์โดยเฉลี่ยเป็นอิสระและเป็นที่ปรากฏข้างต้นกระจายเหมือนครั้งแรกพิกัดของxโดยผลเหล่านี้หาจำนวนเงินที่จะหา 2 ตอนนี้ให้สังเกตว่าต่อการก่อสร้างและเพื่อให้เราสามารถเขียนที่ความเสมอภาคสุดท้ายดังต่อไปนี้จากที่พิกัดของมีการกระจายตัวเหมือนกัน เมื่อนำสิ่งต่าง ๆ มารวมกันเราพบว่า$x$$\text{Var}(x'y)$$\mathbb{E}x_1^2$$x'x=1$

$$1=\mathbb{E}x'x=\mathbb{E}\sum_{i=1}^nx_i^2=\sum_{i=1}^n\mathbb{E}x_i^2=n\mathbb{E}x_1^2,$$ $x$$\text{Var}(x'y)=\mathbb{E}x_1^2=1/n$

เพื่อที่จะตอบในส่วนแรกของคำถามของคุณแสดงว่าY_i กำหนด ผลิตภัณฑ์ขององค์ประกอบ ของและแสดงที่นี่ในฐานะจะถูกกระจายไปตามการจัดจำหน่ายร่วมกันของและY_i ตั้งแต่ , $Z = \langle X,Y \rangle = \sum X_i Y_i$

$$f_{Z_i}(z_i) = \int_{-\infty}^\infty f_{Z_1,\ldots,Z_D}(z_1,\ldots,z_D) \: d z_i$$ $i^{th}$$X$$Y$$Z_i$$X_i$$Y_i$ $$f_{Z_i}(z_i) = \int_{-\infty}^\infty f_{X_i,Y_i}(x,\frac{z_i}{x})\frac{1}{|x|}dx$$ $Z = \sum Z_i$ $$f_Z(z) = \int_{-\infty}^\infty \ldots \int_{-\infty}^\infty f_{Z_1,\ldots,Z_D} (z_1,\ldots,z_d) \: \delta(z - \sum z_i)\: dz_1\ldots d z_d$$

สำหรับส่วนที่สองฉันคิดว่าถ้าคุณต้องการพูดอะไรที่น่าสนใจเกี่ยวกับพฤติกรรมแบบอะซิมโทติคของอย่างน้อยคุณก็ต้องยอมรับความเป็นอิสระของและแล้วจึงใช้ CLT$\sigma$$X$$Y$

ตัวอย่างเช่นถ้าคุณมีความเต็มใจที่จะคิดว่ามี IID กับและคุณสามารถ บอกว่าและ0$\{Z_1,\ldots,Z_D\}$$\mathbb{E}[Z_i] = \mu$$\mathbb{V}[Z_i] = \sigma^2$$\sigma^2(D) = \frac{\sigma^2}{D}$$\lim_{D\to\infty} \sigma^2(D) = 0$