ทำไม

ในชุดปัญหาฉันได้พิสูจน์ "บทแทรก" ซึ่งผลลัพธ์ของฉันไม่เข้าใจง่าย $Z$ คือการแจกแจงแบบปกติมาตรฐานในรูปแบบการเซ็นเซอร์

อย่างเป็นทางการ $Z^* \sim Norm(0, \sigma^2)$ และ $Z = max(Z^*, c)$ )จากนั้น

\begin{aligned} E [Z | Z > ค] & = \int_{ค}^{\infty} Z_{ผม} φ (Z_{ผม}) d Z_{ผม} \\ = \frac{1}{\sqrt{2 π}} \int_{ค}^{\infty} Z_{ผม} ประสบการณ์ (\frac{- 1}{2} Z_{ผม}^{2}) d Z_{ผม} \\ = \frac{1}{\sqrt{2 π}} ประสบการณ์ (\frac{- 1}{2} ค^{2}) (บูรณาการโดยการทดแทน) \\ = φ (ค) \end{aligned}

$\begin{align} E[Z|Z>c] &= \int_c^\infty z_i \phi({z_i})\mathrm{d}z_i \\ &= \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_c^\infty z_i \exp\!\bigg(\frac{-1}{2}z_i^2\bigg)\mathrm{d}z_i \\ &= \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \exp\!\bigg(\frac{-1}{2}c^2\bigg) \quad\quad\quad\quad\text{ (Integration by substitution)}\\ &= \phi(c) \end{align}$ จึงมีการจัดเรียงของการเชื่อมต่อระหว่างสูตรความคาดหวังมากกว่าโดเมนตัดทอนและความหนาแน่นที่จุดตัดบาง

(c)

$(c)$ )

ใครสามารถอธิบายสัญชาตญาณที่อยู่เบื้องหลังสิ่งนี้?

normal-distribution pdf intuition

— ไฮเซนเบิร์ก
แหล่งที่มา

ปรากฏว่าวิธีนั้นเป็นผลมาจากข้อเท็จจริงที่ว่าเทอม

เป็นลบของอนุพันธ์ของเทอมในเลขชี้กำลัง เป็นหนึ่งในผลลัพธ์ที่เรียบร้อยสำหรับมาตรฐานทั่วไป แต่ไม่จำเป็นต้องมีสัญชาตญาณอยู่เบื้องหลัง ในทางกลับกันก็ไม่แปลกใจเลยถ้าคนฉลาดคนนี้สามารถเกิดปรีชาขึ้นมาได้

z

$z$

— Glen_b -Reinstate Monica

@Glen_b สิ่งที่คุณกำลังพูดคือว่า

ที่

เป็นรูปแบบไฟล์ PDF ของใด ๆกระจายอย่างต่อเนื่อง

\int_{c}^{\infty} (- \frac{d}{d z} \log (f (z))) f (z) d z = - \int_{c}^{\infty} f^{'} (z) d z = f (c)

$\int_c^\infty \left(-\frac{d}{dz}\log(f(z))\right) f(z) dz = -\int_c^\infty f^\prime(z)dz = f(c)$

f

$f$

F .

$F.$

— whuber

@whuber เป็นกรณีนี้และคุ้มค่าที่จะเน้นผลลัพธ์นั้นเนื่องจากเกี่ยวข้องโดยตรงกับผลลัพธ์ในคำถาม แต่จริงๆแล้วในความคิดเห็นของฉันฉันหมายถึงเฉพาะกรณีที่คำแรกของคำเหล่านั้นคือ

(เนื่องจากคำว่า " สูตรความคาดหวัง "อยู่ในคำถามฉันเอามันไปประมาณ

ซึ่งเป็นเฉพาะปกติ

z

$z$

E (Z | Z > c)

$E(Z|Z>c)$

— Glen_b

(อย่างน้อยก็ขึ้นอยู่กับค่าคงที่แบบหลายค่าอย่างชัดเจนเกี่ยวกับความคาดหวังตามเงื่อนไขนั้น) อย่างไรก็ตาม

สำหรับ

นั้นโดยเฉพาะ

E (g (Z) | Z > c)

$E(g(Z)|Z>c)$

น่าจะเป็นการอภิปรายในคำตอบ

g = - \frac{d}{d z} l o g f

$g=-\frac{d}{dz}log f$

— Glen_b -Reinstate Monica

การแก้ไขล่าสุดของคุณขอหลักฐาน (หรือคำอธิบายที่เข้าใจง่าย) ของคำสั่งที่ไม่ถูกต้อง เงื่อนไขความหนาแน่นของ

เครื่องปรับอากาศใน

คือ

Z \sim N (0, 1)

$Z \sim N(0,1)$

Z > c

$Z > c$

และเงื่อนไขค่าที่คาดหวังจึง

\frac{ϕ (z)}{1 - Φ (c)} 1_{{z : z > c}}

$\frac{\phi(z)}{1-\Phi(c)}\mathbf 1_{\{z\colon z > c\}}$

และไม่ใช่สิ่งที่คุณมีในชื่อที่แก้ไขของคุณ

E [Z ∣ Z > c] = \int_{c}^{\infty} z \frac{ϕ (z)}{1 - Φ (c)} d z = \frac{1}{1 - Φ (c)} \int_{c}^{\infty} z ϕ (z) d z

$E[Z\mid Z > c] = \int_c^{\infty}z\frac{\phi(z)}{1-\Phi(c)}\,\mathrm dz = \frac{1}{1-\Phi(c)}\int_c^{\infty}z\phi(z)\,\mathrm dz$

— Dilip Sarwate

ทฤษฎีบทมูลฐานของแคลคูลัสจะช่วยคุณได้หรือไม่?

ให้แทนฟังก์ชันความหนาแน่น $\phi(x)$ ของตัวแปรสุ่มมาตรฐานปกติ จากนั้นอนุพันธ์คือ $\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}$ )ทฤษฎีบทพื้นฐานของแคลคูลัสแล้วจะช่วยให้เราว่า $\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\phi(x) = -x\phi(x)$ ที่หนึ่งที่สองจะได้รับในการแทนและการใช้ความจริงที่ว่าและคนที่สามเมื่อสังเกตว่า )อีกทางหนึ่งเขียนอินทิกรัลที่สองเป็นอินทิกรัลจากถึงบวกอินทิกรัลจากถึงและสังเกตว่าการรวมฟังก์ชันคี่จาก

φ (x) = \int_{- \infty}^{x} - เสื้อ φ (เสื้อ) d เสื้อ = \int_{- x}^{\infty} ยู φ (ยู) d ยู = \int_{x}^{\infty} ยู φ (ยู) d ยู

$\phi(x) = \int_{-\infty}^x -t\phi(t)\,\mathrm dt = \int_{-x}^\infty u\phi(u)\,\mathrm du = \int_x^\infty u\phi(u)\,\mathrm du$

u = - t

$u = -t$

ϕ (- u) = ϕ (u)

$\phi(-u) = \phi(u)$

ϕ (- x) = ϕ (x)

$\phi(-x) = \phi(x)$

- x

$-x$

+ x

$+x$

+ x

$+x$

\infty

$\infty$

- x

$-x$ เพื่อ

ผลลัพธ์ใน0

+ x

$+x$

0

$0$

— Dilip Sarwate
แหล่งที่มา