มีหลายทางเลือกขึ้นอยู่กับวัตถุประสงค์
หนึ่งที่พบบ่อยคือ "ความแตกต่างร้อยละสัมพัทธ์" หรือ RPD ที่ใช้ในขั้นตอนการควบคุมคุณภาพในห้องปฏิบัติการ แม้ว่าคุณจะสามารถค้นหาสูตรที่แตกต่างกันได้ แต่พวกเขาทั้งหมดกลับมาเปรียบเทียบความแตกต่างของค่าสองค่ากับขนาดเฉลี่ย:
d1(x,y)=x−y(|x|+|y|)/2=2x−y|x|+|y|.
นี่คือการลงนามการแสดงออกในเชิงบวกเมื่อxเกินyและลบเมื่อyเกินxxค่าของมันจะอยู่ระหว่าง−2และ2เสมอ โดยการใช้ค่าสัมบูรณ์ในตัวส่วนมันจัดการกับจำนวนลบในวิธีที่เหมาะสม การอ้างอิงส่วนใหญ่ที่ฉันหาได้เช่นNew Jersey DEP Site Remediation Program การประเมินคุณภาพข้อมูลและคำแนะนำด้านเทคนิคการประเมินความสามารถในการใช้ข้อมูลใช้ค่าสัมบูรณ์ของd1เพราะพวกเขาสนใจเฉพาะขนาดของข้อผิดพลาดสัมพัทธ์
บทความวิกิพีเดียเปลี่ยนญาติและความแตกต่างตั้งข้อสังเกตว่า
d∞(x,y)=|x−y|max(|x|,|y|)
มักใช้เป็นการทดสอบความทนทานต่อสัมพัทธ์ในอัลกอริธึมเชิงตัวเลขจุดลอยตัว บทความเดียวกันยังชี้ให้เห็นว่าสูตรเช่นและd ∞อาจถูกทำให้เป็นมาตรฐานd1d∞
df(x,y)=x−yf(x,y)
ที่ฟังก์ชันขึ้นอยู่กับขนาดของxและyโดยตรง(โดยปกติถือว่าxและyเป็นค่าบวก) เป็นตัวอย่างที่นำเสนอค่าเฉลี่ยสูงสุดต่ำสุดและค่าเฉลี่ยเลขคณิตของพวกเขา (โดยมีและไม่มีค่าสัมบูรณ์ของxและyด้วยตนเอง) แต่เราสามารถพิจารณาประเภทเฉลี่ยอื่น ๆ เช่นค่าเฉลี่ยเรขาคณิต√fxyxyxy, ฮาร์โมนิเฉลี่ย2/(1/|x|+1/|Y|)และLPหมายถึง((|x|P+|Y|P)/2)1 / P (d1สอดคล้องกับp=1และd∞สอดคล้องกับขีด จำกัด เป็นp→|xy|−−−√2/(1/|x|+1/|y|)Lp((|x|p+|y|p)/2)1/pd1p=1d∞p→∞.) One might choose an f based on the expected statistical behavior of x and y. For instance, with approximately lognormal distributions the geometric mean would be an attractive choice for f because it is a meaningful average in that circumstance.
Most of these formulas run into difficulties when the denominator equals zero. In many applications that either is not possible or it is harmless to set the difference to zero when x=y=0.
Note that all these definitions share a fundamental invariance property: whatever the relative difference function d may be, it does not change when the arguments are uniformly rescaled by λ>0:
d(x,y)=d(λx,λy).
It is this property that allows us to consider d to be a relative difference. Thus, in particular, a non-invariant function like
d(x,y)=? |x−y|1+|y|
simply does not qualify. Whatever virtues it might have, it does not express a relative difference.
The story does not end here. We might even find it fruitful to push the implications of invariance a little further.
The set of all ordered pairs of real numbers (x,y)≠(0,0) where (x,y) is considered to be the same as (λx,λy) is the Real Projective Line RP1. In both a topological sense and an algebraic sense, RP1 is a circle. Any (x,y)≠(0,0) determines a unique line through the origin (0,0). When x≠0 its slope is y/x; otherwise we may consider its slope to be "infinite" (and either negative or positive). A neighborhood of this vertical line consists of lines with extremely large positive or extremely large negative slopes. We may parameterize all such lines in terms of their angle θ=arctan(y/x), with −π/2<θ≤π/2θ
(ξ,η)=(cos(2θ),sin(2θ))=(x2−y2x2+y2,2xyx2+y2).
Any distance defined on the circle can therefore be used to define a relative difference.
As an example of where this can lead, consider the usual (Euclidean) distance on the circle, whereby the distance between two points is the size of the angle between them. The relative difference is least when x=y, corresponding to 2θ=π/2 (or 2θ=−3π/2 when x and y have opposite signs). From this point of view a natural relative difference for positive numbers x and y would be the distance to this angle:
dS(x,y)=∣∣2arctan(yx)−π/2∣∣.
To first order, this is the relative distance |x−y|/|y|--but it works even when y=0. Moreover, it doesn't blow up, but instead (as a signed distance) is limited between −π/2 and π/2, as this graph indicates:
This hints at how flexible the choices are when selecting a way to measure relative differences.