เรขาคณิตเชิงอนุพันธ์นั้นเกี่ยวข้องกับสถิติหรือไม่?

ฉันกำลังทำต้นแบบในสถิติและฉันแนะนำให้เรียนเรขาคณิตที่แตกต่างกัน ฉันยินดีที่จะได้ยินเกี่ยวกับการใช้งานทางสถิติสำหรับเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์เนื่องจากสิ่งนี้จะทำให้ฉันมีแรงบันดาลใจ ไม่มีใครรู้ว่าแอปพลิเคชันสำหรับเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์ในสถิติหรือไม่

หนังสือบัญญัติสองเล่มเกี่ยวกับเรื่องนี้พร้อมบทวิจารณ์และหนังสืออ้างอิงอีกสองเล่ม:

• เรขาคณิตเชิงอนุพันธ์และสถิติ MK Murray, JW Rice

  นับตั้งแต่การแนะนำโดย Rao ในปี 1945 ของตัวชี้วัดข้อมูลฟิชเชอร์ในตระกูลของการแจกแจงความน่าจะเป็นได้มีความสนใจในหมู่นักสถิติในการประยุกต์ใช้เรขาคณิตเชิงอนุพันธ์กับสถิติ ความสนใจนี้เพิ่มขึ้นอย่างรวดเร็วในช่วงสองสามทศวรรษที่ผ่านมาด้วยผลงานของนักวิจัยจำนวนมาก จนถึงขณะนี้อุปสรรคในการแพร่กระจายความคิดเหล่านี้ไปสู่ชุมชนที่กว้างขึ้นของนักสถิติคือการขาดข้อความที่เหมาะสมแนะนำวิธีการประสานงานที่ทันสมัยฟรีกับรูปทรงเรขาคณิตที่แตกต่างในลักษณะที่สามารถเข้าถึงสถิติ หนังสือเล่มนี้มีจุดมุ่งหมายเพื่อเติมช่องว่างนี้ ผู้เขียนนำประสบการณ์การวิจัยที่กว้างขวางของหนังสือเกี่ยวกับเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์และการประยุกต์ใช้กับสถิติ หนังสือเล่มนี้เริ่มต้นด้วยการศึกษาความแตกต่างที่ง่ายที่สุด - เลียนแบบช่องว่างและความเกี่ยวข้องกับครอบครัวชี้แจงและผ่านเข้าสู่ทฤษฎีทั่วไป, การวัดข้อมูลฟิชเชอร์, การเชื่อมต่ออมารีและ asymptotics มันเป็นสุดยอดในทฤษฎีของการรวมเวกเตอร์, การรวมกลุ่มหลักการและเจ็ตส์และการประยุกต์ใช้กับทฤษฎีของสตริง - หัวข้อปัจจุบันที่ทันสมัยของการวิจัยในสถิติและเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์

• วิธีการของข้อมูลเรขาคณิต , S.- ฉัน Amari, H. Nagaoka

  เรขาคณิตสารสนเทศช่วยให้กรอบการวิเคราะห์ทางวิทยาศาสตร์ศาสตร์ทางคณิตศาสตร์ใหม่ มันเกิดขึ้นจากการตรวจสอบโครงสร้างทางเรขาคณิตที่แตกต่างกันตามธรรมชาติบน manifolds ของการแจกแจงความน่าจะเป็นซึ่งประกอบด้วยเมทริก Riemannian ที่กำหนดโดยข้อมูล Fisher และตระกูลหนึ่งพารามิเตอร์ของการเชื่อมต่อเลียนแบบที่เรียกว่า -connections ความเป็นคู่ระหว่างα-การเชื่อมต่อและ( - α $\alpha$$\alpha$$(-\alpha)$- การเชื่อมต่อกับตัวชี้วัดมีบทบาทสำคัญในเรขาคณิตนี้ ความเป็นคู่แบบนี้เกิดขึ้นจากการกระจายความน่าจะเป็นมากมายที่ปรากฏอยู่ในปัญหาต่าง ๆ ซึ่งอาจไม่มีความสัมพันธ์ชัดเจนกับทฤษฎีความน่าจะเป็น ผ่านความเป็นคู่มันเป็นไปได้ที่จะวิเคราะห์ปัญหาพื้นฐานต่าง ๆ ในมุมมองแบบครบวงจร ในช่วงครึ่งแรกของหนังสือเล่มนี้อุทิศให้กับการแนะนำที่ครอบคลุมเกี่ยวกับพื้นฐานทางคณิตศาสตร์ของเรขาคณิตข้อมูลรวมถึงเบื้องต้นจากเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์เรขาคณิตของแมนิโฟลด์หรือการแจกแจงความน่าจะเป็นและทฤษฎีทั่วไปของการเชื่อมต่อเลียนแบบคู่ ครึ่งหลังของข้อความให้ภาพรวมของการใช้งานหลายด้านเช่นสถิติระบบเชิงเส้นทฤษฎีสารสนเทศกลศาสตร์ควอนตัมการวิเคราะห์นูนเครือข่ายประสาทเทียม และเลียนแบบเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์ หนังสือเล่มนี้สามารถใช้เป็นข้อความที่เหมาะสมสำหรับหลักสูตรหัวข้อสำหรับนักศึกษาระดับปริญญาตรีและบัณฑิตศึกษาขั้นสูง

• เรขาคณิตเชิงอนุพันธ์ในการอนุมานเชิงสถิติ , S.-I Amari, OE Barndorff-Nielsen, RE Kass, SL Lauritzen และ CR Rao, IMS บันทึกการบรรยาย Monogr ser เล่มที่ 10, 1987, 240 หน้า

• บทบาทของเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์ในทฤษฎีทางสถิติ OE Barndorff-Nielsen, DR Cox และ N. Reid, การทบทวนทางสถิติระหว่างประเทศ / บทเพลงสากล 54, ลำดับที่ 1 (เม.ย. 2529), หน้า 83-96

เรขาคณิต Riemannian ใช้ในการศึกษาของเขตข้อมูลแบบสุ่ม (เป็นลักษณะทั่วไปของกระบวนการสุ่ม) โดยที่กระบวนการไม่จำเป็นต้องอยู่กับที่ การอ้างอิงที่ฉันเรียนอยู่ด้านล่างมีรีวิวสองรีวิว มีการใช้งานในสมุทรศาสตร์ฟิสิกส์ดาราศาสตร์และการถ่ายภาพสมอง

ฟิลด์สุ่มและเรขาคณิต , Adler, RJ, Taylor, Jonathan E.

http://www.springer.com/us/book/9780387481128#otherversion=9781441923691

ความคิดเห็น:

$f$$\Bbb{P}\{\sup_{t\in M}f(t)\ge u\}$$M$เป็น Riemannian แบ่งชั้นมากมายและวิธีการของพวกเขาเป็นธรรมชาติทางเรขาคณิต หนังสือเล่มนี้แบ่งออกเป็นสามส่วน ตอนที่ฉันทุ่มเทให้กับการนำเสนอเครื่องมือที่จำเป็นของกระบวนการและสาขาเกาส์เซียน ส่วนที่ II สรุปย่อสิ่งที่จำเป็นต้องมีของเรขาคณิตที่สมบูรณ์และอนุพันธ์ ในที่สุดในส่วนที่สามเคอร์เนลของหนังสือสูตรสำหรับความคาดหวังของฟังก์ชั่นลักษณะออยเลอร์ของชุดการเดินทางและการประมาณของการกระจายตัวของสูงสุดของสนามถูกจัดตั้งขึ้นอย่างแม่นยำ หนังสือเล่มนี้เขียนขึ้นในรูปแบบที่ไม่เป็นทางการซึ่งทำให้การอ่านน่าพอใจมาก แต่ละบทเริ่มต้นด้วยการนำเสนอเรื่องที่จะกล่าวถึงและเชิงอรรถซึ่งอยู่ทั่วทั้งข้อความทำหน้าที่เป็นส่วนประกอบที่ขาดไม่ได้และหลายต่อหลายครั้งเป็นข้อมูลอ้างอิงทางประวัติศาสตร์

"หนังสือเล่มนี้นำเสนอทฤษฎีสมัยใหม่เกี่ยวกับความน่าจะเป็นในการทัศนศึกษาและรูปทรงเรขาคณิตของชุดการทัศนศึกษาสำหรับ ... ทุ่งสุ่มที่กำหนดไว้ใน manifolds ... หนังสือเล่มนี้เป็นที่เข้าใจสำหรับนักเรียน ... ด้วยพื้นฐานที่ดีในการวิเคราะห์ ... ลักษณะสหวิทยาการของหนังสือเล่มนี้ ความงามและความลึกของทฤษฎีทางคณิตศาสตร์ที่นำเสนอทำให้มันเป็นส่วนที่ขาดไม่ได้ของห้องสมุดคณิตศาสตร์ทุกแห่งและชั้นหนังสือของผู้น่าจะเป็นที่สนใจในกระบวนการเสียนแบบสุ่มและการประยุกต์ทางสถิติ " (Ilya S. Molchanov, Zentralblatt MATH, Vol. 1149, 2008)

หนึ่งในพื้นที่ของสถิติ / คณิตศาสตร์ประยุกต์ที่ค่าเรขาคณิตถูกนำมาใช้ในทางที่จำเป็น (ร่วมกับจำนวนมากของพื้นที่อื่น ๆ ของคณิตศาสตร์!) เป็นทฤษฎีรูปแบบ คุณสามารถดูหนังสือโดย Ulf Grenander: https://www.amazon.com/Pattern-Theory-Representation-Inference-European/dp/0199297061/ref=asap_bc?ie=UTF8 หรือข้อความที่เข้าถึงได้ง่ายขึ้นโดย เดวิดมัมฟอร์ด (ผู้ชนะเลิศเหรียญไม่น้อยกว่า): https://www.amazon.com/Pattern-Theory-Stochastic-Real-World-Mathematics/dp/1568815794/ref=pd_bxgy_14_img_2?_encoding=UTF8&pd_rdi=156_TH_D_RD_TH_DDD = LIesY & psc = 1 & refRID = Q40ESHME10ZPC7XYVT59

จากส่วนนำของข้อความสุดท้าย:

คำว่า "ทฤษฎีรูปแบบ" ได้รับการประกาศเกียรติคุณจาก Ulf Grenander เพื่อแยกความแตกต่างของวิธีการวิเคราะห์โครงสร้างที่มีลวดลายในโลกจาก "การจดจำรูปแบบ" ในหนังสือเล่มนี้เราใช้มันในความหมายกว้าง ๆ เพื่อรวมวิธีทางสถิติที่ใช้ในการวิเคราะห์ “ สัญญาณ” ทั้งหมดที่เกิดขึ้นจากโลกไม่ว่าจะเป็นรูปภาพเสียงข้อความที่เป็นลายลักษณ์อักษร DNA หรือสายโปรตีนโปรตีนขัดขวางรถไฟในเซลล์ประสาทหรืออนุกรมเวลาของราคาหรือสภาพอากาศ ตัวอย่างจากสิ่งเหล่านี้ปรากฏในหนังสือองค์ประกอบของทฤษฎีแบบแผน [94] หรือในงานของเพื่อนร่วมงานผู้ร่วมมือและนักเรียนเกี่ยวกับทฤษฎีรูปแบบ

ตัวอย่างหนึ่งที่ใช้เรขาคณิตเชิงอนุพันธ์สำหรับรุ่นใบหน้า

พยายามที่จะตอบคำถาม (ในความคิดเห็น) โดย @whuber ให้ดูที่บทที่ 16 ของหนังสือ Grenander ที่มีชื่อ "กายวิภาคศาสตร์คำนวณ" มีแมนิโฟลด์ที่ใช้แทนส่วนต่าง ๆ ของกายวิภาคศาสตร์ของมนุษย์ (เช่นเตา) และ diffeomorhisms ใช้เพื่อแสดงการเปลี่ยนแปลงของแมนิโฟลด์ทางกายวิภาคเหล่านี้ทำให้สามารถเปรียบเทียบการสร้างแบบจำลองของการเจริญเติบโต ความคิดนี้สามารถย้อนกลับไปที่บทความของ D'Arcy Thompson "ต่อการเติบโตและรูปแบบ" จากปี 1917!

Grenander กล่าวต่อจากบทความ:

ในส่วนที่มีขนาดใหญ่มากของสัณฐานวิทยางานที่สำคัญของเราอยู่ในการเปรียบเทียบรูปแบบที่เกี่ยวข้องมากกว่าในการกำหนดที่แม่นยำของแต่ละ และการเสียรูปของตัวเลขที่ซับซ้อนอาจเป็นปรากฏการณ์ที่เข้าใจง่ายแม้ว่าตัวเลขนั้นอาจจะต้องถูกทิ้งไว้โดยไม่มีการวิเคราะห์และไม่ได้กำหนด กระบวนการของการเปรียบเทียบการรับรู้ในรูปแบบหนึ่งเป็นการเปลี่ยนแปลงที่แน่นอนหรือการเสียรูปของผู้อื่นนอกเหนือจากความเข้าใจที่แม่นยำและเพียงพอของ“ ประเภท” ดั้งเดิมหรือมาตรฐานการเปรียบเทียบอยู่ภายในจังหวัดทางคณิตศาสตร์ทันทีและค้นหาวิธีแก้ปัญหาใน การใช้งานเบื้องต้นของวิธีการบางอย่างของนักคณิตศาสตร์ วิธีนี้เป็นวิธีการประสานงานซึ่งเป็นไปตามทฤษฎีการแปลง

ตัวอย่างที่รู้จักกันดีที่สุดของความคิดนี้คือเมื่อเด็กบางคนหายไปพูดเมื่อสามปีที่แล้วและมีคนหนึ่งเผยแพร่ภาพใบหน้าของเขาเปลี่ยนรูป (โดยทั่วไปจะใช้เส้นโค้ง) เป็นสิ่งที่เขาอาจดูเหมือนวันนี้