มีระยะทางน่าจะเป็นที่รักษาคุณสมบัติทั้งหมดของตัวชี้วัดหรือไม่?

ในการศึกษาระยะทาง Kullback – Leibler มีสองสิ่งที่เราเรียนรู้อย่างรวดเร็วคือมันไม่เคารพทั้งความไม่เท่าเทียมกันของสามเหลี่ยมและสมมาตรซึ่งเป็นคุณสมบัติที่จำเป็นของเมตริก

คำถามของฉันคือว่ามีฟังก์ชั่นการวัดความหนาแน่นของความน่าจะเป็นที่ตอบสนองข้อ จำกัด ทั้งหมดของการวัดหรือไม่

ดูบทความนี้ที่ครอบคลุมการวัดที่เป็นที่นิยมในวงกว้างเกี่ยวกับการวัดความน่าจะเป็น รายการโปรดส่วนตัวของฉันคือระยะทางผันแปรทั้งหมดและระยะทาง Wasserstein$L^2$

ฉันเชื่อว่าระยะทางของ Earth Moverเรียกอีกอย่างว่าWasserstein metricเป็นตัวอย่างที่ตรงกับความต้องการของคุณ

มีการดัดแปลง KL divergence ที่ทำให้ได้รับคุณสมบัติเมตริกบางอย่าง (แม้ว่าจะไม่ใช่ทั้งหมด)

ตัวอย่างเช่นความแตกต่างของเจฟฟรีย์ปรับเปลี่ยนความแตกต่าง KL เพื่อให้สมมาตร

มีกรณีพิเศษบางอย่างที่เห็น [1]: "น่าเสียดายที่มาตรการดั้งเดิมตามความแตกต่างของ Kullback – Leibler (KL) และระยะทาง Bhattacharyya ไม่ตรงกับสัจพจน์ของเมตริกทั้งหมดที่จำเป็นสำหรับอัลกอริธึมหลายอย่างในบทความนี้เราเสนอการดัดแปลงสำหรับ KL ความแตกต่างและระยะทาง Bhattacharyya สำหรับความหนาแน่นแบบหลายตัวแปรแบบเกาส์ซึ่งแปลงทั้งสองมาตรการเป็นตัวชี้วัดระยะทาง "

[1] K. Abou-Moustafa และ F. Ferrie, "หมายเหตุเกี่ยวกับคุณสมบัติของตัวชี้วัดสำหรับมาตรการความแตกต่างบางอย่าง: คดี Gaussian," JMLR: การประชุมเชิงปฏิบัติการและการประชุม 25: 1–15, 2012

ฉันคิดว่าคำตอบสำหรับคำถามเป็นไปได้ เพราะเมื่อเร็ว ๆ นี้ในปี 2017 R. Farhadian ได้แสดงให้เห็นว่ามีความน่าจะเป็นในชุดย่อยของการแก้ปัญหาจำนวนเต็มว่าเป็นตัวชี้วัด สำหรับผลงานของเขาโปรดดูที่ลิงก์ต่อไปนี้: http://journals.univ-danubius.ro/index.php/oeconomica/article/view/4010