หลังเบย์ต้องมีการกระจายที่เหมาะสมหรือไม่?

ฉันรู้ว่านักบวชไม่จำเป็นต้องเหมาะสมและฟังก์ชั่นความน่าจะเป็นไม่ได้รวมเข้ากับ 1 เช่นกัน แต่คนหลังต้องมีการกระจายตัวที่เหมาะสมหรือไม่? อะไรคือความหมายถ้ามัน / ไม่

(มันค่อนข้างแปลกใจที่จะอ่านคำตอบก่อนหน้าซึ่งมุ่งเน้นไปที่ความไม่เหมาะสมที่อาจเกิดขึ้นของคนหลังเมื่อก่อนหน้านี้มีความเหมาะสมเนื่องจากเท่าที่ฉันสามารถบอกได้คำถามคือว่าคนหลังจะต้องเหมาะสมหรือไม่( ie, integrable to one) เพื่อให้เหมาะสม (กล่าวคือยอมรับได้สำหรับการอนุมานแบบเบย์)

ในสถิติคชกรรมการกระจายหลังมีที่จะกระจายความน่าจะเป็นจากที่หนึ่งสามารถได้รับมาในช่วงเวลาเช่นหลังเฉลี่ยและความน่าจะเป็นงบเช่นการรายงานข่าวของที่น่าเชื่อถือ ภูมิภาคx) ถ้าด้านหลังไม่สามารถ ถูกทำให้เป็นมาตรฐานในความหนาแน่นของความน่าจะเป็นและการอนุมานแบบเบย์ก็ไม่สามารถทำได้ หลังก็ไม่มีอยู่ในกรณีเช่นนี้ P (π(θ | x)>κ | x) ∫ f(x | θ$\mathbb{E}^\pi[h(\theta)|x]$$\mathbb{P}(\pi(\theta|x)>\kappa|x)$π ( θ | x

$$\int f(x|\theta)\,\pi(\theta)\,\text{d}\theta = +\infty\,,\qquad (1)$$ $\pi(\theta|x)$

ที่จริง (1) ต้องถือสำหรับทุก 'ในพื้นที่ตัวอย่างและไม่เพียง แต่สำหรับการสังเกตสำหรับมิฉะนั้นการเลือกก่อนที่จะขึ้นอยู่กับข้อมูล นี่หมายความว่านักบวชเหมือน Haldane ก่อน , บนความน่าจะเป็นของ Binomial หรือตัวแปรลบ Binomialไม่สามารถใช้ได้เนื่องจาก posterior ไม่ใช่ กำหนดไว้สำหรับ 0x π ( p ) ∝ { 1 / p ( 1 - p ) } p X x = $x$ $x$$\pi(p)\propto \{1/p(1-p)\}$$p$$X$$x=0$

ฉันรู้ข้อยกเว้นหนึ่งข้อเมื่อพิจารณาว่า "ผู้โพสต์ที่ไม่เหมาะสม": พบได้ใน"ศิลปะแห่งการเพิ่มข้อมูล"โดย David van Dyk และ Xiao-Li Meng การวัดที่ไม่เหมาะสมอยู่เหนือพารามิเตอร์การทำงานที่ เรียกว่าซึ่งการสังเกตจะเกิดขึ้นที่ขอบของการแจกแจงที่เพิ่มขึ้น และ van Dyk และ Meng วางค่าที่ไม่เหมาะสมก่อนในพารามิเตอร์การทำงานนี้เพื่อเร่งการจำลองของ (ซึ่งยังคงเป็นความหนาแน่นของความน่าจะเป็นที่กำหนดไว้อย่างดี -) โดย MCMCf ( x | θ ) = ∫ T ( x aug ) = x f ( x aug | θ , α $\alpha$พี( α ) α เธ( θ | x

$$f(x|\theta)=\int_{T(x^\text{aug})=x} f(x^\text{aug}|\theta,\alpha)\,\text{d}x^\text{aug}$$ $p(\alpha)$$\alpha$$\pi(\theta|x)$

ในอีกมุมมองหนึ่งค่อนข้างเกี่ยวข้องกับคำตอบของeretmochelysคือมุมมองของทฤษฎีการตัดสินใจแบบเบย์การตั้งค่าที่ (1) เกิดขึ้นอาจเป็นที่ยอมรับได้หากนำไปสู่การตัดสินใจที่ดีที่สุด กล่าวคือถ้าเป็นฟังก์ชั่นการสูญเสียประเมินผลกระทบของการใช้การตัดสินใจการตัดสินใจที่ดีที่สุดแบบเบย์ภายใต้ก่อนหน้านั้นได้รับโดย และสิ่งที่สำคัญคือสิ่งนี้สำคัญไม่ได้อยู่ทุกที่ (ใน ) ไม่มีที่สิ้นสุด หรือไม่ (1) ถือเป็นรองสำหรับการมาของ$L(\delta,\theta)\ge 0$$\delta$$\pi$

$$\delta^\star(x)=\arg\min_\delta \int L(\delta,\theta) f(x|\theta)\,\pi(\theta)\,\text{d}\theta$$ $\delta$$\delta^\star(x)$แม้ว่าจะมีการรับประกันคุณสมบัติเช่นการยอมรับได้เฉพาะเมื่อ (1) ถือครอง

การกระจายหลังนั้นไม่จำเป็นต้องเหมาะสมแม้ว่าก่อนหน้านั้นเหมาะสม ตัวอย่างเช่นสมมติว่ามีแกมมาก่อนที่มีรูปร่าง 0.25 (ซึ่งเป็นที่เหมาะสม) และเรารูปแบบตัวเลขของเราเป็นมาจากการกระจายเสียนกับศูนย์ค่าเฉลี่ยและความแปรปรวนวีสมมติว่าเป็นศูนย์ แล้วโอกาสเป็นสัดส่วนกับซึ่งจะทำให้การกระจายหลังสำหรับที่ไม่เหมาะสมเพราะมันเป็นสัดส่วนกับ-} ปัญหานี้เกิดขึ้นเนื่องจากลักษณะแปลกประหลาดของตัวแปรต่อเนื่องx v x p ( x | v ) v - 0.5 v v - 1.25 e - $v$$x$$v$$x$$p(x|v)$$v^{-0.5}$$v$$v^{-1.25} e^{-v}$

การกำหนดชุด เรามี P R ( X ∈ ปลอมข้อมูล) = ∫ปลอมข้อมูล∫ F ( x | θ

$$\text{Bogus Data} = \left\{ x:\int f(x\mid \theta)\,\pi(\theta)\,d\theta = \infty \right\} \, ,$$ อินทิกรัลสุดท้ายจะเท่ากับ ∞หากการวัด Lebesgue ของข้อมูลปลอมเป็นการบวก แต่นี่เป็นไปไม่ได้เพราะอินทิกรัลนี้ให้ความน่าจะเป็น (จำนวนจริงระหว่าง 0ถึง 1 ) ดังนั้นมันตามที่เกอวัดของปลอมข้อมูลมีค่าเท่ากับ 0และแน่นอนมันยังตามที่พีอาร์( X ∈ ปลอมข้อมูล) = 0 $$\mathrm{Pr}\left(X\in\text{Bogus Data}\right) = \int_\text{Bogus Data} \int f(x\mid \theta)\,\pi(\theta)\,d\theta\,dx = \int_\text{Bogus Data} \infty\,dx \, .$$ $\infty$$\text{Bogus Data}$$0$$1$$\text{Bogus Data}$$0$$\mathrm{Pr}\left(X\in\text{Bogus Data}\right)=0$

ในคำพูด: ความน่าจะเป็นที่คาดการณ์ก่อนหน้าของค่าตัวอย่างเหล่านั้นที่ทำให้ไม่เหมาะสมหลังเท่ากับศูนย์

คุณธรรมของเรื่องราว: ระวังเซตว่างพวกเขาอาจกัด แต่ไม่น่าเป็นไปได้

ป.ล. ตามที่ศาสตราจารย์โรเบิร์ตชี้ให้เห็นในการแสดงความคิดเห็นเหตุผลนี้จะระเบิดขึ้นหากสิ่งที่ไม่เหมาะสมก่อนหน้านี้

"การกระจาย" ใด ๆ จะต้องรวม (หรือรวม) กับ 1 ฉันสามารถคิดตัวอย่างเล็ก ๆ น้อย ๆ ที่หนึ่งอาจทำงานกับการแจกแจงแบบไม่ปกติ แต่ฉันรู้สึกไม่สบายใจที่จะเรียกสิ่งใดก็ตาม

$x$$d$

$$\begin{align} \hat{x} &= \arg \max_x P_{X|D}(x|d) \\ &= \arg \max_x \frac{P_{D|X}(d|x) P_X(x)}{P_D(d)} \\ &= \arg \max_x {P_{D|X}(d|x) P_X(x)} \end{align}$$

$P_D$$x$$\hat{x}$$P_{D|X}(d|x) P_X(x)$

$n$$Beta(0,0)$