สูตรการประมาณค่าถดถอยแบบ Quantile

ฉันได้เห็นการเป็นตัวแทนที่แตกต่างกันสองแบบของตัวประมาณการถดถอยแบบควอไทล์ซึ่ง ได้แก่

Q (β_{q}) = \sum_{i : y_{i} \geq x_{i}^{'} β}^{n} q ∣ y_{i} - x_{i}^{'} β_{q} ∣ + \sum_{i : y_{i} < x_{i}^{'} β}^{n} (1 - q) ∣ y_{i} - x_{i}^{'} β_{q} ∣

$Q(\beta_{q}) = \sum^{n}_{i:y_{i}\geq x'_{i}\beta} q\mid y_i - x'_i \beta_q \mid + \sum^{n}_{i:y_{i}< x'_{i}\beta} (1-q)\mid y_i - x'_i \beta_q \mid$

และ

Q (β_{q}) = \sum_{i = 1}^{n} ρ_{q} (y_{i} - x_{i}^{'} β_{q}), ρ_{q} (u) = u_{i} (q - 1 (u_{i} < 0))

$Q(\beta_q) = \sum^{n}_{i=1} \rho_q (y_i - x'_i \beta_q), \hspace{1cm} \rho_q(u) = u_i(q - 1(u_i < 0 ))$

ที่\ ใครช่วยบอกวิธีการแสดงความเท่าเทียมกันของการแสดงออกทั้งสองนี้? นี่คือสิ่งที่ฉันพยายามจนถึงตอนนี้โดยเริ่มจากนิพจน์ที่สอง $u_i = y_i - x'_i \beta_q$

\begin{aligned} Q (β_{q}) & = \sum_{i = 1}^{n} u_{i} (q - 1 (u_{i} < 0)) (y_{i} - x_{i}^{'} β_{q}) \\ = \sum_{i = 1}^{n} (y_{i} - x_{i}^{'} β_{q}) (q - 1 (y_{i} - x_{i}^{'} β_{q} < 0)) (y_{i} - x_{i}^{'} β_{q}) \\ = [\sum_{i : y_{i} \geq x_{i}^{'} β}^{n} (q (y_{i} - x_{i}^{'} β_{q})) + \sum_{i : y_{i} < x_{i}^{'} β}^{n} (q (y_{i} - x_{i}^{'} β_{q}) - (y_{i} - x_{i}^{'} β_{q}))] (y_{i} - x_{i}^{'} β_{q}) \end{aligned}

$\begin{align} Q(\beta_q) &= \sum^{n}_{i=1} u_i(q - 1(u_i < 0 )) (y_i - x'_i \beta_q) \newline &= \sum^{n}_{i=1}(y_i - x'_i \beta_q)(q - 1(y_i - x'_i \beta_q < 0 )) (y_i - x'_i \beta_q) \newline &=\left[ \sum^{n}_{i:y_{i}\geq x'_{i}\beta}(q(y_i - x'_i\beta_q)) + \sum^{n}_{i:y_{i}< x'_{i}\beta}(q(y_i - x'_i\beta_q)-(y_i - x'_i\beta_q)) \right](y_i - x'_i\beta_q) \end{align}$ แต่จากจุดนี้ฉันติดอยู่กับวิธีดำเนินการต่อ โปรดอย่าว่านี่ไม่ใช่การบ้านหรือคำถามที่ได้รับมอบหมาย ขอบคุณมาก.

proof quantile-regression equivalence

— AlexH
แหล่งที่มา

หากคุณจำ OLS ลดผลรวมของเหลือยืดในขณะที่ลดความถดถอยเฉลี่ยรวมของสิ่งตกค้างแน่นอน\ ค่ามัธยฐานหรือเบี่ยงเบนแน่นอนอย่างน้อย (หนุ่ม) ประมาณการเป็นกรณีพิเศษของการถดถอย quantile ที่คุณมี0.5 ในการถดถอยเชิงปริมาณเราลดผลรวมของข้อผิดพลาดสัมบูรณ์ที่ได้รับน้ำหนักไม่สมดุลสำหรับการคาดการณ์มากเกินไปและสำหรับการคาดการณ์ต่ำกว่า คุณสามารถเริ่มต้นจากการเป็นตัวแทน LAD และขยายสิ่งนี้เป็นผลรวมของเศษส่วนของข้อมูลที่ถ่วงน้ำหนักโดยและให้ค่าเป็นและดำเนินการดังต่อไปนี้: $\sum_i u_{i}^{2}$ $\sum_i \mid u_i \mid$ $q = .5$ $(1-q)$ $q$ $q$ $(1-q)$ $u_i$

\begin{aligned} ρ_{q} (u) & = 1 (u_{i} > 0) q ∣ u_{i} ∣ + 1 (u_{i} \leq 0) (1 - q) ∣ u_{i} ∣ \\ = 1 (y_{i} - x_{i}^{'} β_{q} > 0) q ∣ y_{i} - x_{i}^{'} β_{q} ∣ + 1 (y_{i} - x_{i}^{'} β_{q} \leq 0) (1 - q) ∣ y_{i} - x_{i}^{'} β_{q} ∣ \end{aligned}

$\begin{align} \rho_q(u) &= 1(u_i>0) \, q\mid u_i\mid + 1(u_i\leq 0) \, (1-q)\mid u_i \mid \newline &= 1(y_i - x'_i \beta_q > 0) \, q\mid y_i - x'_i \beta_q \mid + 1(y_i - x'_i\beta_q \leq 0) \, (1-q)\mid y_i - x'_i \beta_q \mid \end{align}$ นี่ใช้ความจริงที่ว่าจากนั้นคุณสามารถเขียนฟังก์ชันตัวบ่งชี้อีกครั้งเป็นผลรวมของการสังเกตที่ตรงตามเงื่อนไขของตัวบ่งชี้ . นี่จะให้นิพจน์แรกที่คุณจดไว้สำหรับตัวประมาณการถดถอยแบบควอนไทล์

u_{i} = y_{i} - x_{i}^{'} β_{q}

$u_i = y_i - x'_i \beta_q$

\begin{aligned} = Σ_{ผม : Y_{ผม} > x_{ผม}^{'} β_{Q}}^{n} Q | Y_{ผม} - x_{ผม}^{'} β_{Q} | + Σ_{ผม : Y_{ผม} \leq x_{ผม}^{'} β_{Q}}^{n} (1 - Q) | Y_{ผม} - x_{ผม}^{'} β_{Q} | \\ = Q Σ_{ผม : Y_{ผม} > x_{ผม}^{'} β_{Q}}^{n} | Y_{ผม} - x_{ผม}^{'} β_{Q} | + (1 - Q) Σ_{ผม : Y_{ผม} \leq x_{ผม}^{'} β_{Q}}^{n} | Y_{ผม} - x_{ผม}^{'} β_{Q} | \\ = Q Σ_{ผม : Y_{ผม} > x_{ผม}^{'} β_{Q}}^{n} (Y_{ผม} - x_{ผม}^{'} β_{Q}) - (1 - Q) Σ_{ผม : Y_{ผม} \leq x_{ผม}^{'} β_{Q}}^{n} (Y_{ผม} - x_{ผม}^{'} β_{Q}) \\ = Q Σ_{ผม : Y_{ผม} > x_{ผม}^{'} β_{Q}}^{n} (Y_{ผม} - x_{ผม}^{'} β_{Q}) - Σ_{ผม : Y_{ผม} \leq x_{ผม}^{'} β_{Q}}^{n} (Y_{ผม} - x_{ผม}^{'} β_{Q}) + Q Σ_{ผม : Y_{ผม} \leq x_{ผม}^{'} β_{Q}}^{n} (Y_{ผม} - x_{ผม}^{'} β_{Q}) \\ = Q Σ_{ผม = 1}^{n} (Y_{ผม} - x_{ผม}^{'} β_{Q}) - Σ_{ผม = 1}^{n} 1 (Y_{ผม} - x_{ผม}^{'} β_{Q} \leq 0) (Y_{ผม} - x_{ผม}^{'} β_{Q}) \\ = Σ_{ผม = 1}^{n} (Q - 1 ({ยู}_{ผม} \leq 0)) {ยู}_{ผม} \end{aligned}

$\begin{align} &= \sum^{n}_{i:y_i>x'_i\beta_q}q\mid y_i - x'_i\beta_q \mid + \sum^{n}_{i:y_i\leq x'_i\beta_q} (1-q) \mid y_i - x'_i\beta_q \mid \newline &= q \sum^{n}_{i:y_i>x'_i\beta_q} \mid y_i - x'_i\beta_q \mid + (1-q)\sum^{n}_{i:y_i\leq x'_i\beta_q} \mid y_i - x'_i\beta_q \mid \newline &= q \sum^{n}_{i:y_i>x'_i\beta_q} (y_i - x'_i\beta_q) - (1-q)\sum^{n}_{i:y_i\leq x'_i\beta_q} ( y_i - x'_i\beta_q ) \newline &= q \sum^{n}_{i:y_i>x'_i\beta_q} (y_i - x'_i\beta_q) - \sum^{n}_{i:y_i\leq x'_i\beta_q} (y_i - x'_i\beta_q) + q \sum^{n}_{i:y_i\leq x'_i\beta_q} (y_i - x'_i\beta_q) \newline &= q \sum^{n}_{i=1} (y_i - x'_i \beta_q) - \sum^{n}_{i=1}1(y_i - x'_i\beta_q\leq 0)(y_i - x'_i\beta_q) \newline &= \sum^{n}_{i=1}(q - 1(u_i \leq 0))u_i \end{align}$

บรรทัดที่สองจะยกน้ำหนักจากการรวม บรรทัดที่สามกำจัดค่าสัมบูรณ์และแทนที่ด้วยค่าจริง ตามคำจำกัดความเป็นลบเมื่อใดก็ตามที่ดังนั้นการเปลี่ยนเครื่องหมายในบรรทัดนี้ คูณบรรทัดที่สี่ออก(1-Q)จากนั้นคุณตระหนักว่า และแทนที่การรวมของคำกลางในบรรทัดที่สี่โดยตัวบ่งชี้ที่สอดคล้องกัน คุณมาถึงบรรทัดที่ห้า แยกแล้วแทนที่ $y_i - x'_i\beta_q$ $y_i < x'_i\beta_q$ $(1-q)$

Q Σ_{ผม : Y_{ผม} > x_{ผม}^{'} β_{Q}}^{n} (Y_{ผม} - x_{ผม}^{'} β_{Q}) + Q Σ_{ผม : Y_{ผม} \leq x_{ผม}^{'} β_{Q}}^{n} (Y_{ผม} - x_{ผม}^{'} β_{Q}) = Σ_{ผม = 1}^{n} (Y_{ผม} - x_{ผม}^{'} β_{Q})

$q\sum^{n}_{i:y_i>x'_i\beta_q}(y_i - x'_i\beta_q) + q\sum^{n}_{i:y_i \leq x'_i\beta_q}(y_i - x'_i\beta_q) = \sum^{n}_{i=1}(y_i - x'_i\beta_q)$

y_{i} - x_{i}^{'} β_{q}

$y_i - x'_i\beta_q$

u_{i}

$u_i$
นี่แสดงให้เห็นว่าทั้งสองนิพจน์มีความเท่าเทียมกันอย่างไร

— แอนดี้
แหล่งที่มา