การกระจายตัวของอัตราส่วนของตัวแปรสุ่มไคสแควร์แบบพึ่งพา

สมมติว่าโดยที่เป็นอิสระ $X = X_1 + X_2+\cdots+ X_n$ $X_i \sim N(0,\sigma^2)$

คำถามของฉันคือการกระจายอะไรบ้าง

Z = \frac{X^{2}}{X_{1}^{2} + X_{2}^{2} + \dots + X_{n}^{2}}

$Z = \frac{X^2}{X_1^2 + X_2^2 + \cdots + X_n^2}$

ทำตาม? ฉันรู้จากที่นี่ว่าอัตราส่วนของตัวแปรสุ่มไคสแควร์สองตัวแสดงเป็นตามการแจกแจงแบบเบต้า ผมคิดว่านี้จะถือว่าเป็นอิสระระหว่างและYในกรณีของฉันตัวส่วนของมีส่วนประกอบของกำลังสอง $\frac{W}{W + Y}$ $W$ $Y$ $Z$ $X$

ฉันคิดว่าต้องติดตามความผันแปรของการกระจายเบต้า แต่ฉันไม่แน่ใจ และถ้าสมมติฐานนี้ถูกต้องฉันก็ไม่รู้จะพิสูจน์มันได้อย่างไร $Z$

— x0dros
แหล่งที่มา

เนื่องจากการกระจายตัวส่วนเป็นค่าคงที่ภายใต้การหมุนคุณสามารถหมุนเป็นเท่ากับซึ่งจะช่วยลดคำถามของคุณเป็นสิ่งที่คุ้นเคย :-)

X

$X$

\sqrt{n} X_{1}

$\sqrt{n}X_1$

— whuber

ฉันค่อนข้างแน่ใจว่า @whuber หมายถึงสิ่งที่พิมพ์ตรงนั้น เมื่อคุณพูดว่า 'nominator' คุณหมายถึง 'numerator' หรือไม่

— Glen_b -Reinstate Monica

เมื่อคุณหมุนสิ่งที่คุณ (ตามคำจำกัดความ) รักษาความยาวของมัน ดังนั้นความแปรปรวนของรุ่นที่หมุนใด ๆ ของต้องเท่ากับความแปรปรวนของซึ่งเป็น : ว่าที่คำมาจาก

X

$X$

X

$X$

1 + 1 + \dots + 1 = n

$1+1+\cdots+1=n$

\sqrt{n}

$\sqrt{n}$

— whuber

@whuber คำตอบของคุณน่าสนใจมาก แต่ฉันมีข้อสงสัย เมื่อคุณบอกว่าฉันสามารถหมุนให้เท่ากับนี่ก็หมายความว่าฉันสามารถเขียนตัวเศษของเป็นและดังนั้นกลายเป็น2} ตอนนี้ถ้าฉันถือว่าและและเนื่องจากและเป็นอิสระฉันสามารถสันนิษฐานได้ว่ามี

X

$X$

\sqrt{n} X_{1}

$\sqrt nX_1$

Z

$Z$

n X_{1}^{2}

$nX_1^2$

Z

$Z$

n \frac{X_{1}^{2}}{X_{1}^{2} + X_{2}^{2} + \dots + X_{n}^{2}}

$n\frac{X_1^2}{X_1^2+X_2^2+\cdots+X_n^2}$

W = X_{1}^{2}

$W=X_1^2$

Y = X_{2}^{2} + \dots + X_{n}^{2}

$Y=X_2^2+\cdots+X_n^2$

W

$W$

Y

$Y$

Z = n \frac{W}{W + Y}

$Z=n\frac{W}{W+Y}$

β

$\beta$ การกระจายและอื่น ๆ ฉันได้รับคะแนนของคุณถึงตอนนี้? ดังนั้นนี่คือความสับสนของฉัน ก่อนที่จะใช้แนวคิดของค่าความแปรปรวนแบบหมุนและโมดิฟายน์

— ssah

@ssah คุณทำผิดพลาดในการใช้เหตุผลของฉัน: หากไม่มีในตัวหารการแจกแจงจะไม่คงที่อีกต่อไปกับการหมุนโดยพลการของและข้อสรุปไม่ได้อยู่อีกต่อไป

X_{1}^{2}

$X_1^2$

(X_{1}, \dots, X_{n}),

$(X_1,\ldots, X_n),$

— whuber

โพสต์นี้จะอธิบายรายละเอียดเกี่ยวกับคำตอบของคำถาม

ให้X_n) แก้ไขของความยาวหน่วยใด ๆ เวกเตอร์ดังกล่าวอาจถูกทำให้สมบูรณ์ตามหลัก orthonormal (โดยใช้กระบวนการ Gram-Schmidtเป็นต้น) การเปลี่ยนแปลงของพื้นฐานนี้ (จากปกติ) คือ orthogonal: มันไม่เปลี่ยนความยาว ดังนั้นการกระจายของ $X = (X_1, X_2, \ldots, X_n)$ $\mathbf{e}_1\in\mathbb{R}^n$ $(\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2, \ldots, \mathbf{e}_n)$

\frac{(e_{1} \cdot X)^{2}}{| | X | |^{2}} = \frac{(e_{1} \cdot X)^{2}}{X_{1}^{2} + X_{2}^{2} + \dots + X_{n}^{2}}

$\frac{(\mathbf{e}_1\cdot X)^2}{||X||^2}=\frac{(\mathbf{e}_1\cdot X)^2}{X_1^2 + X_2^2 + \cdots + X_n^2}$

ไม่ขึ้นอยู่กับ\การแสดงว่ามีการแจกแจงแบบเดียวกัน $\mathbf{e}_1$ $\mathbf{e}_1 = (1,0,0,\ldots, 0)$

\begin{matrix} (1) & \frac{X_{1}^{2}}{X_{1}^{2} + X_{2}^{2} + \dots + X_{n}^{2}} . \end{matrix}

$\frac{X_1^2}{X_1^2 + X_2^2 + \cdots + X_n^2}.\tag{1}$

ตั้งแต่มี IID ปกติพวกเขาอาจจะเขียนเป็นครั้ง IID ตัวแปรปกติมาตรฐานและสี่เหลี่ยมของพวกเขาครั้งการกระจาย เนื่องจากผลรวมของ การแจกแจง อิสระคือเราได้พิจารณาแล้วว่าการกระจายของนั้นเป็นของ $X_i$ $\sigma$ $Y_1, \ldots, Y_n$ $\sigma^2$ $\Gamma(1/2)$ $n-1$ $\Gamma(1/2)$ $\Gamma((n-1)/2)$ $(1)$

\frac{σ^{2} U}{σ^{2} U + σ^{2} V} = \frac{U}{U + V}

$\frac{\sigma^2 U}{\sigma^2 U + \sigma^2 V} = \frac{U}{U+V}$

ที่และเป็นอิสระ เป็นที่ทราบกันดีว่าอัตราส่วนนี้มีการแจกแจงแบบเบต้า(ดูหัวข้อที่เกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดที่การกระจายของ ถ้า Beta และ chi-squared ด้วย องศา ) $U = X_1^2/\sigma^2 \sim \Gamma(1/2)$ $V = (X_2^2 + \cdots + X_n^2)/\sigma^2 \sim \Gamma((n-1)/2)$ $(1/2, (n-1)/2)$ $XY$ $X \sim$ $(1,K-1)$ $Y \sim$ $2K$

ตั้งแต่

X_{1} + \dots + X_{n} = (1, 1, \dots, 1) \cdot (X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n}) = \sqrt{n} e_{1} \cdot X

$X_1 + \cdots + X_n = (1,1,\ldots,1)\cdot (X_1, X_2, \cdots, X_n) = \sqrt{n}\,\mathbf{e}_1\cdot X$

สำหรับหน่วยเวกเตอร์เราสรุปได้ว่าคือครั้งเบต้าชุดรูปแบบ สำหรับมันจึงมีฟังก์ชั่นความหนาแน่น $\mathbf{e}_1=(1,1,\ldots,1)/\sqrt{n}$ $Z$ $(\sqrt{n})^2 = n$ $(1/2, (n-1)/2)$ $n\ge 2$

f_{Z} (z) = \frac{n^{1 - n / 2}}{B (\frac{1}{2}, \frac{n - 1}{2})} \sqrt{\frac{(n - z)^{n - 3}}{z}}

$f_Z(z) = \frac{n^{1-n/2}}{B\left(\frac{1}{2}, \frac{n-1}{2}\right)} \sqrt{\frac{(n-z)^{n-3}}{z}}$

ในช่วงเวลา (และเป็นศูนย์) $(0,n)$

ในการตรวจสอบฉันจำลองการรับรู้เป็นอิสระสำหรับและพล็อตฮิสโทแกรมของพวกเขาและวางกราฟของความหนาแน่นเบต้าที่สอดคล้องกัน (สีแดง) ข้อตกลงที่ยอดเยี่ยม $100,000$ $Z$ $\sigma=1$ $n=2,3,10$

นี่คือRรหัส จะดำเนินการโดยวิธีการจำลองของสูตรsum(x)^2 / sum(x^2)สำหรับซึ่งเป็นเวกเตอร์ของความยาวที่สร้างขึ้นโดย ส่วนที่เหลือเป็นเพียงวนลูป ( , ) และพล็อต ( , ) $Z$ xnrnormforapplyhistcurve

for (n in c(2, 3, 10)) {
  z <- apply(matrix(rnorm(n*1e5), nrow=n), 2, function(x) sum(x)^2 / sum(x^2))
  hist(z, freq=FALSE, breaks=seq(0, n, length.out=50), main=paste("n =", n), xlab="Z")
  curve(dbeta(x/n, 1/2, (n-1)/2)/n, add=TRUE, col="Red", lwd=2)
}

— whuber
แหล่งที่มา