วิธีทั่วไปสำหรับการรับข้อผิดพลาดมาตรฐาน

ฉันไม่สามารถหาวิธีทั่วไปในการรับข้อผิดพลาดมาตรฐานได้ทุกที่ ฉันดูใน google เว็บไซต์นี้และแม้แต่ในตำราเรียน แต่สิ่งที่ฉันสามารถค้นหาได้คือสูตรข้อผิดพลาดมาตรฐานสำหรับค่าเฉลี่ยความแปรปรวนสัดส่วนสัดส่วนความเสี่ยง ฯลฯ ... และไม่ใช่ว่าสูตรเหล่านี้มาถึงอย่างไร

หากร่างกายใด ๆ สามารถอธิบายได้ด้วยคำง่ายๆหรือแม้กระทั่งเชื่อมโยงฉันไปยังแหล่งข้อมูลที่ดีซึ่งอธิบายว่าฉันจะขอบคุณ

standard-error

— Daniel Gardiner
แหล่งที่มา

ผมมีรูปแบบที่เรียบง่ายทั่วไปและใช้มันมีรายละเอียดทั้งหมดทำงานออกในโพสต์ที่stats.stackexchange.com/a/18609/919 ข้อความนี้และโพสต์อื่น ๆ อีกมากมายเกี่ยวกับข้อผิดพลาดมาตรฐาน (เกือบหนึ่งพันจนถึงปัจจุบัน) สามารถพบได้โดยการค้นหา"ข้อผิดพลาดมาตรฐาน"

— whuber

สิ่งที่คุณต้องการหาคือค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของการกระจายตัวตัวอย่างของค่าเฉลี่ย เช่นในภาษาอังกฤษธรรมดากระจายการสุ่มตัวอย่างคือเมื่อคุณเลือกรายการจากประชากรของคุณเพิ่มพวกเขาร่วมกันและแบ่งผลรวมโดยnเราพบความแปรปรวนของปริมาณนี้มากกว่าและรับส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานโดยการหาสแควร์รูทของความแปรปรวน $n$ $n$

ดังนั้นขอรายการที่คุณเลือกจะแสดงโดยตัวแปรสุ่มแต่ละของพวกเขาเหมือนกันกระจายกับความแปรปรวน 2 พวกมันสุ่มตัวอย่างอย่างอิสระดังนั้นความแปรปรวนของผลรวมจึงเป็นเพียงผลรวมของความแปรปรวน $X_i, 1\le i \le n$ $\sigma^2$

Var (\sum_{i = 1}^{n} X_{i}) = \sum_{i = 1}^{n} Var (X_{i}) = \sum_{i = 1}^{n} σ^{2} = n σ^{2}

$\text{Var}\left(\sum_{i=1}^n X_i\right) = \sum_{i=1}^n\text{Var}\left(X_i\right) = \sum_{i=1}^n\sigma^2 = n\sigma^2$

ต่อไปเราหารด้วยnเรารู้โดยทั่วไปแล้วว่าดังนั้นการใส่เรามี $n$ $\text{Var}(kY)=k^2 \text{Var}(Y)$ $k=1/n$

Var (\frac{\sum_{i = 1}^{n} X_{i}}{n}) = \frac{1}{n^{2}} Var (\sum_{i = 1}^{n} X_{i}) = \frac{1}{n^{2}} n σ^{2} = \frac{σ^{2}}{n}

$\text{Var}\left(\frac{\sum_{i=1}^n X_i}{n}\right) = \frac{1}{n^2} \text{Var}\left(\sum_{i=1}^n X_i\right) = \frac{1}{n^2} n\sigma^2 = \frac{\sigma^2}{n}$

สุดท้ายใช้รากที่จะได้รับค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน{n}} เมื่อค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของประชากรที่ไม่สามารถใช้ได้ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานตัวอย่างใช้เป็นประมาณการให้{n}} $\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$ $s$ $\dfrac{s}{\sqrt{n}}$

ทั้งหมดข้างต้นเป็นจริงโดยไม่คำนึงถึงการกระจายของ s แต่มันเป็นคำถามของสิ่งที่คุณต้องการจะทำอย่างไรกับข้อผิดพลาดมาตรฐาน? โดยทั่วไปคุณอาจต้องการสร้างช่วงความมั่นใจและจากนั้นจึงกำหนดความน่าจะเป็นในการสร้างช่วงความมั่นใจที่มีค่าเฉลี่ย $X_i$

ถ้า s ของคุณกระจายแบบปกตินี่เป็นเรื่องง่ายเพราะจากนั้นการกระจายตัวตัวอย่างก็จะกระจายแบบปกติเช่นกัน คุณสามารถพูดได้ว่า 68% ของตัวอย่างของค่าเฉลี่ยจะอยู่ภายใน 1 ข้อผิดพลาดมาตรฐานของค่าเฉลี่ยจริง 95% จะอยู่ใน 2 ข้อผิดพลาดมาตรฐาน ฯลฯ $X_i$

หากคุณมีตัวอย่างที่มีขนาดใหญ่พอ (หรือตัวอย่างที่มีขนาดเล็กกว่าและนั้นไม่ผิดปกติมากเกินไป) จากนั้นคุณสามารถเรียกใช้ทฤษฎีขีด จำกัด กลางและบอกว่าการกระจายตัวตัวอย่างนั้นกระจายโดยทั่วไปประมาณและความน่าจะเป็นของคุณ $X_i$

กรณีในจุดประมาณสัดส่วนที่คุณวาดรายการแต่ละรายการจากการกระจาย Bernouilli ความแปรปรวนของการแจกแจงแต่ละรายการคือและดังนั้นข้อผิดพลาดมาตรฐานคือ (สัดส่วนถูกประมาณโดยใช้ข้อมูล) หากต้องการข้ามไปที่การบอกว่าประมาณร้อยละของกลุ่มตัวอย่างอยู่ในส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของค่าเฉลี่ยคุณต้องเข้าใจเมื่อการกระจายตัวตัวอย่างเป็นปกติประมาณ การสุ่มตัวอย่างซ้ำ ๆ จากการแจกแจงเบอร์นูอิลลีนั้นเหมือนกับการสุ่มตัวอย่างจากการแจกแจงแบบทวินามและกฎทั่วไป 1 ข้อที่ใช้กันก็คือประมาณเมื่อและคือ $p$ $n$ $X_i$ $p(1-p)$ $\sqrt{p(1-p)/n}$ $p$ $np$ $n(1-p)$ $\ge5$ . (ดูวิกิพีเดียสำหรับการสนทนาในเชิงลึกเพิ่มเติมเกี่ยวกับการประมาณทวินามด้วยปกติดูที่นี่สำหรับตัวอย่างการทำงานของข้อผิดพลาดมาตรฐานที่มีสัดส่วน)

หากในอีกทางหนึ่งการแจกแจงตัวอย่างของคุณไม่สามารถประมาณได้ด้วยการแจกแจงแบบปกติดังนั้นข้อผิดพลาดมาตรฐานจะมีประโยชน์น้อยกว่ามาก ตัวอย่างเช่นด้วยการแจกแจงแบบอสมมาตรคุณไม่สามารถบอกได้ว่า% ของตัวอย่างเดียวกันจะเป็นค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานทั้งสองด้านของค่าเฉลี่ยและคุณอาจต้องการหาวิธีอื่นในการเชื่อมโยงความน่าจะเป็นกับตัวอย่าง $\pm1$

— TooTone
แหล่งที่มา

ขอบคุณวิธีนี้เหมาะสมและฉันสามารถดูว่ามันใช้กับค่าเฉลี่ย แต่ฉันไม่สามารถดูวิธีการขยายไปยังสถิติอื่น ๆ ตัวอย่างเช่นฉันจะค้นหาข้อผิดพลาดมาตรฐานของอัตราได้อย่างไร หรืออัตราส่วนอัตรา

— Daniel Gardiner

ฉันอัพเดทโพสต์แล้ว จุดสำคัญคือปริมาณเช่นค่าเฉลี่ยความแปรปรวน ฯลฯ - และดังนั้น stderr - สามารถพบได้สำหรับการแจกแจงใด ๆ แต่เพื่อสร้างประโยคความน่าจะเป็นคุณต้องรู้อะไรเกี่ยวกับการแจกแจงไม่ว่าจะเป็นเรื่องปกติทวินามหรืออะไรก็ตาม ดังนั้น stderr สามารถพบได้เสมอ แต่มีประโยชน์อย่างไรขึ้นอยู่กับสถานการณ์

— TooTone

ถ้า n ได้รับการแก้ไขและแสดงเพียงเศษเสี้ยวของประชากรทั้งหมดของคุณทำไมคุณถึงเขียน ? และไม่ใช่

v a r (X_{i}) = σ^{2}

$var(X_i) = \sigma^2$

s^{2}

$s^2$

— Oleg

@Olegเป็นตัวแปรสุ่มและมีความแปรปรวนแม้ว่าคุณจะไม่รู้ว่ามันคืออะไร มันไม่ถูกต้องในการเขียนความแปรปรวน ( ) =เพราะเป็นค่าประมาณของความแปรปรวนซึ่งเกือบจะแน่นอนไม่ใช่ความแปรปรวนประชากร มันง่ายกว่าที่จะใช้ความแปรปรวนแม้ว่าโดยทั่วไปแล้วพวกเขาจะไม่ทราบความแปรปรวนของผลรวมของตัวอย่างหรือค่าเฉลี่ยของตัวอย่างเพราะคุณใช้กฎความน่าจะเป็นแบบตรงไปตรงมา คุณแค่ใช้ลิเนียริตี้นั่นคือความแปรปรวนของผลรวม = ผลรวมของความแปรปรวน เมื่อคุณได้รับความแปรปรวนคุณจะ "จำ" คุณไม่ทราบความแปรปรวน ( ) ดังนั้นคุณจึงใช้

X_{i}

$X_i$

X_{i}

$X_i$

s^{2}

$s^2$

s^{2}

$s^2$

X_{i}

$X_i$

s^{2}

$s^2$

— TooTone

ข้อผิดพลาดมาตรฐานคือค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของสถิติ (ภายใต้สมมติฐานว่างถ้าคุณกำลังทดสอบ) วิธีการทั่วไปในการค้นหาข้อผิดพลาดมาตรฐานคือการหาฟังก์ชันการแจกแจงหรือโมเมนต์สร้างสถิติของคุณก่อนค้นหาช่วงเวลากลางที่สองและนำสแควร์รูท

ตัวอย่างเช่นหากคุณสุ่มตัวอย่างจากการแจกแจงแบบปกติที่มีค่าเฉลี่ยและความแปรปรวนตัวอย่างค่าเฉลี่ยมีการกระจายตามปกติที่มีค่าเฉลี่ยและความแปรปรวน n สิ่งนี้สามารถได้มาจากคุณสมบัติสามอย่าง: $\mu$ $\sigma^2$ $\bar{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} X_i$ $\mu$ $\sigma^2/n$

ผลรวมของตัวแปรสุ่มอิสระเป็นเรื่องปกติ
$\mathrm{E}\left[\sum_{i=1}^{n} a_i X_i\right] = \sum_{i=1}^{n} a_i \mathrm{E}\left[ X_i \right]$ ,
ถ้าและเป็นอิสระขวา) $X_1$ $X_2$ $\mathrm{Var}\left(a_1 X_1 + a_2 X_2 \right) = a_1^2 \mathrm{Var}\left(X_1\right) + a_2^2 \mathrm{Var}\left( X_2 \right)$

ดังนั้นข้อผิดพลาดมาตรฐานของค่าเฉลี่ยของกลุ่มตัวอย่างซึ่งเป็นรากที่สองของความแปรปรวนของมันคือ{n} $\sigma/\sqrt{n}$

มีทางลัดเช่นคุณไม่จำเป็นต้องค้นหาการกระจายตัวของสถิติ แต่ฉันคิดว่าแนวคิดมีประโยชน์ที่จะมีการแจกแจงในใจคุณถ้าคุณรู้

— P Schnell
แหล่งที่มา