ทำไมข้อผิดพลาดมาตรฐานของการดักจับเพิ่มขึ้นอีกมาจาก 0

ข้อผิดพลาดมาตรฐานของคำดักจับ ( ) ในมอบให้โดย ที่คือ ค่าเฉลี่ยของ 's $\hat{\beta}_0$ $y=\beta_1x+\beta_0+\varepsilon$

S E ({\hat{β}}_{0})^{2} = σ^{2} [\frac{1}{n} + \frac{{\bar{x}}^{2}}{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x})^{2}}]

$SE(\hat{\beta}_0)^2 = \sigma^2\left[\frac{1}{n}+\frac{\bar{x}^2}{\sum_{i=1}^n(x_i-\bar{x})^2}\right]$

\bar{x}

$\bar{x}$

x_{i}

$x_i$

จากสิ่งที่ฉันเข้าใจ SE คำนวณปริมาณความไม่แน่นอนของคุณ - ในตัวอย่าง 95%, ช่วงเวลาจะมีจริง . ผมไม่เข้าใจว่าทางทิศตะวันออก, ตัวชี้วัดของความไม่แน่นอนที่เพิ่มขึ้นกับ{x} ถ้าฉันเปลี่ยนข้อมูลของฉันดังนั้นความไม่แน่นอนของฉันลดลง ดูเหมือนว่าไม่มีเหตุผล $[\hat{\beta}_0-2SE,\hat{\beta}_0+2SE]$ $\beta_0$ $\bar{x}$ $\bar{x}=0$

การตีความแบบอะนาล็อกคือ - ในเวอร์ชันที่ไม่มีข้อมูลของฉันสอดคล้องกับการทำนายของฉันที่ในขณะที่อยู่ตรงกลางข้อมูลสอดคล้องกับการทำนายของฉันที่{x} ดังนั้นนี้ไม่แล้วหมายความว่าความไม่แน่นอนของฉันเกี่ยวกับการทำนายของฉันที่มีค่ามากกว่าความไม่แน่นอนของฉันเกี่ยวกับการทำนายของฉันที่ ? ที่ดูเหมือนว่าไม่มีเหตุผลเกินไปข้อผิดพลาดมีความแปรปรวนเหมือนกันสำหรับทุกค่าของดังนั้นความไม่แน่นอนของฉันในค่าคาดการณ์ของฉันควรจะเหมือนกันสำหรับทุกx $\hat{\beta}_0$ $x=0$ $\hat{\beta}_0$ $x=\bar{x}$ $x=0$ $x=\bar{x}$ $\epsilon$ $x$ $x$

มีช่องว่างในความเข้าใจของฉันฉันแน่ใจ มีใครช่วยให้ฉันเข้าใจว่าเกิดอะไรขึ้น?

regression interpretation standard-error

— elexhobby
แหล่งที่มา

คุณเคยถดถอยอะไรกับวันที่หรือไม่? ระบบคอมพิวเตอร์จำนวนมากเริ่มต้นวันที่ในอดีตอันไกลโพ้นบ่อยครั้งกว่า 100 ปีหรือมากกว่า 2,000 ปีมาแล้ว การสกัดกั้นประมาณค่าของข้อมูลของคุณคาดการณ์ย้อนหลังไปถึงเวลาเริ่มต้น คุณจะแน่ใจได้อย่างไรกับผลิตภัณฑ์มวลรวมภายในประเทศของอิรักในปี 0 CE จากการถดถอยชุดข้อมูลศตวรรษที่ 21

— whuber

ฉันเห็นด้วยมันสมเหตุสมผลถ้าคุณคิดแบบนี้ คำตอบนี้และ gung ทำให้สิ่งต่าง ๆ ชัดเจน

— elexhobby

คำตอบนี้ให้คำอธิบายที่เข้าใจง่ายพร้อมไดอะแกรม) ว่ามันเกิดขึ้นได้อย่างไรโดยการคัดเลือกสายที่พอดีในแง่ของความพอดีที่ค่าเฉลี่ย (เส้นที่ติดตั้งผ่าน ) และแสดงสาเหตุ ตำแหน่งของที่ที่เส้นสามารถกระจายออกไปในขณะที่คุณย้ายออกจาก (ซึ่งเกิดจากความไม่แน่นอนในความชัน)

\bar{x}

$\bar x$

(\bar{x}, \bar{y})

$(\bar x,\bar y)$

\bar{x}

$\bar x$

— Glen_b -Reinstate Monica

เนื่องจากเส้นการถดถอยนั้นพอดีกับกำลังสองน้อยที่สุดโดยทั่วไปจะต้องผ่านค่าเฉลี่ยของข้อมูลของคุณ (เช่น ) - อย่างน้อยที่สุดตราบใดที่คุณไม่ระงับการสกัดกั้น - ความไม่แน่นอนเกี่ยวกับค่าจริง ของความลาดชันไม่มีผลต่อตำแหน่งแนวตั้งของเส้นตรงที่ค่าเฉลี่ยของ (เช่นที่ ) สิ่งนี้แปลเป็นความไม่แน่นอนในแนวดิ่งน้อยกว่าที่มากกว่าที่คุณจะอยู่ห่างจากคุณ หากการสกัดกั้นโดยที่คือดังนั้นสิ่งนี้จะลดความไม่แน่นอนของคุณเกี่ยวกับมูลค่าที่แท้จริงของ $(\bar x, \bar y)$ $x$ $\hat y_{\bar x}$ $\bar x$ $\bar x$ $x=0$ $\bar x$ $\beta_0$ . ในแง่ทางคณิตศาสตร์นี้แปลเป็นค่าที่เป็นไปได้ที่เล็กที่สุดของข้อผิดพลาดมาตรฐานสำหรับ\ $\hat\beta_0$

นี่คือตัวอย่างด่วนในR:

set.seed(1)                           # this makes the example exactly reproducible
x0      = rnorm(20, mean=0, sd=1)     # the mean of x varies from 0 to 10
x5      = rnorm(20, mean=5, sd=1)
x10     = rnorm(20, mean=10, sd=1)
y0      = 5 + 1*x0  + rnorm(20)       # all data come from the same  
y5      = 5 + 1*x5  + rnorm(20)       #  data generating process
y10     = 5 + 1*x10 + rnorm(20)
model0  = lm(y0~x0)                   # all models are fit the same way
model5  = lm(y5~x5)
model10 = lm(y10~x10)

ป้อนคำอธิบายรูปภาพที่นี่

รูปนี้เป็นบิตยุ่ง แต่คุณสามารถดูข้อมูลจากการศึกษาที่แตกต่างกันที่การกระจายของอยู่ใกล้หรือไกลออกไปจาก0ความลาดชันแตกต่างกันเล็กน้อยจากการศึกษาเพื่อการศึกษา แต่ส่วนใหญ่จะคล้ายกัน (สังเกตว่าพวกเขาทั้งหมดผ่านวงกลม X ที่ฉันใช้เพื่อทำเครื่องหมาย ) อย่างไรก็ตามความไม่แน่นอนเกี่ยวกับมูลค่าที่แท้จริงของความลาดชันเหล่านั้นทำให้เกิดความไม่แน่นอนเกี่ยวกับเพื่อขยายเพิ่มเติมที่คุณได้รับจากความหมายว่ากว้างมากสำหรับข้อมูลที่ถูกเก็บตัวอย่างในเขตของ , และแคบมากสำหรับการศึกษาซึ่งข้อมูลที่ถูกเก็บตัวอย่างใกล้ 0 $x$ $0$ $(\bar x, \bar y)$ $\hat y$ $\bar x$ $SE(\hat\beta_0)$ $x=10$ $x=0$

แก้ไขในการตอบสนองต่อความคิดเห็น: แต่น่าเสียดายที่ศูนย์กลางข้อมูลของคุณหลังจากที่คุณมีพวกเขาจะไม่ช่วยให้คุณถ้าคุณต้องการที่จะรู้ว่าแนวโน้มมูลค่าที่บางค่า{} คุณต้องจัดศูนย์กลางการรวบรวมข้อมูลของคุณให้ตรงจุดที่คุณสนใจเป็นอันดับแรก เพื่อให้เข้าใจถึงปัญหาเหล่านี้มากขึ้นอย่างเต็มที่ก็อาจช่วยให้คุณอ่านคำตอบของฉันที่นี่: ช่วงเชิงเส้นทำนายถดถอย $y$ $x$ $x_\text{new}$

— gung - Reinstate Monica
แหล่งที่มา

ดังนั้นให้พูดด้วยเหตุผลบางอย่างที่ฉันสนใจมากที่สุดในการทำนายที่ค่าx' คำอธิบายข้างต้นแสดงให้เห็นว่าฉันไม่ควรศูนย์ข้อมูลของฉัน (คือกะเพื่อให้ ) แต่แทนที่จะเปลี่ยนมันเพื่อให้x' ถูกต้องหรือไม่

x = x^{'}

$x=x'$

x

$x$

\bar{x} = 0

$\bar{x}=0$

\bar{x} = x^{'}

$\bar{x}=x'$

— elexhobby

สูตรทั่วไปมีในตัวเศษแทน : ไม่จำเป็นต้องเปลี่ยน

(x^{'} - \bar{x})^{2}

$(x^\prime - \bar{x})^2$

{\bar{x}}^{2}

$\bar{x}^2$

— whuber

@elexhobby ฉันได้เพิ่มข้อมูลเพื่อตอบความคิดเห็นของคุณคุณอาจต้องการดูเนื้อหาที่เชื่อมโยง แจ้งให้เราทราบหากคุณยังต้องการอีก

— gung - Reinstate Monica

นี่คือวิธีที่ผมเข้าใจ - ผมอ่านที่อื่น ๆ ที่2} ตอนนี้ข้อผิดพลาดในมูลค่าที่คาดการณ์ไว้ที่เนื่องจากความไม่แน่นอนในความลาดชันเป็น 2 นอกจากนี้ข้อผิดพลาดเนื่องจากความไม่แน่นอนในตำแหน่งแนวตั้งของเส้นเป็น{n} รวมสิ่งเหล่านี้เข้าด้วยกันและเราจะได้ความไม่แน่นอนในค่าที่คาดการณ์เนื่องจากความไม่แน่นอนในและคือ2} ช่วยแก้ให้ด้วยนะถ้าฉันผิด.

S E ({\hat{β}}_{1}) = \frac{σ^{2}}{\sum (x_{i} - \bar{x})^{2}}

$SE(\hat{\beta}_1)=\frac{\sigma^2}{\sum(x_i-\bar{x})^2}$

x_{n e w}

$x_{new}$

S E ({\hat{β}}_{1}) (x_{n e w} - \bar{x})^{2}

$SE(\hat{\beta}_1)(x_{new}-\bar{x})^2$

\frac{σ^{2}}{n}

$\frac{\sigma^2}{n}$

{\hat{β}}_{1}

$\hat{\beta}_1$

{\hat{β}}_{0}

$\hat{\beta}_0$

\frac{σ^{2}}{n} + \frac{σ^{2} (x_{n e w} - \bar{x})^{2}}{\sum (x_{i} - \bar{x})^{2}}

$\frac{\sigma^2}{n}+\frac{\sigma^2(x_{new}-\bar{x})^2}{\sum(x_i-\bar{x})^2}$

— elexhobby

นอกจากนี้มันเป็นที่ชัดเจนว่าทำไมข้อผิดพลาดในตำแหน่งแนวตั้งคือ - เรารู้ว่าสายได้ผ่านที่{x} ตอนนี้มีค่าเฉลี่ยของข้อผิดพลาด IID และด้วยเหตุนี้จะมี SE เท่ากับ{n} ว้าว! ขอบคุณมากสำหรับแผนภาพของคุณและคำอธิบายที่ชัดเจนฉันซาบซึ้งจริงๆ

\frac{σ^{2}}{n}

$\frac{\sigma^2}{n}$

\bar{y}

$\bar{y}$

x = \bar{x}

$x=\bar{x}$

\bar{y}

$\bar{y}$

n

$n$

\frac{σ^{2}}{n}

$\frac{\sigma^2}{n}$

— elexhobby