ความน่าจะเป็นที่เป็นอย่างไรจาก 25 ตัวเลขสุ่มระหว่าง 1 ถึง 100 ค่าสูงสุดจะปรากฏมากกว่าหนึ่งครั้ง

ในเกมออนไลน์หลายเกมเมื่อผู้เล่นทำภารกิจที่ยากบางครั้งรางวัลพิเศษจะมอบให้ทุกคนที่ทำงานให้สำเร็จสามารถใช้งานได้ โดยปกติจะเป็นเมานท์ (วิธีการขนส่ง) หรือรายการโต๊ะเครื่องแป้งอื่น (รายการที่ไม่ปรับปรุงประสิทธิภาพของตัวละคร

เมื่อได้รับรางวัลดังกล่าววิธีที่ใช้กันโดยทั่วไปมากที่สุดในการพิจารณาว่าใครได้รับรางวัลคือการใช้ตัวเลขสุ่ม เกมมักจะมีคำสั่งพิเศษที่สร้างแบบสุ่ม (น่าจะเป็นแบบสุ่มหลอกไม่เข้ารหัสลับแบบสุ่ม) จำนวนระหว่าง 1 ถึง 100 (บางครั้งผู้เล่นสามารถเลือกการแพร่กระจายอื่นได้ แต่ 100 เป็นเรื่องธรรมดาที่สุด) ผู้เล่นแต่ละคนใช้คำสั่งนี้ผู้เล่นทุกคนสามารถดูได้ว่าใครรีดอะไรและไอเท็มนั้นจะมอบให้กับคนที่ม้วนสูงสุด เกมส่วนใหญ่มีระบบในตัวซึ่งผู้เล่นเพียงแค่กดปุ่มและเมื่อทุกคนกดปุ่มเกมจะจัดการที่เหลือโดยอัตโนมัติ

บางครั้งผู้เล่นบางคนสร้างจำนวนสูงเท่ากันและไม่มีใครชนะ สิ่งนี้มักจะได้รับการแก้ไขโดยผู้เล่นที่สร้างหมายเลขใหม่จนกว่าจะมีจำนวนสูงสุดที่ไม่ซ้ำกัน

คำถามของฉันมีดังต่อไปนี้: สมมติตัวสร้างตัวเลขสุ่มซึ่งสามารถสร้างตัวเลขใด ๆ ระหว่าง 1 ถึง 100 ด้วยความน่าจะเป็นเดียวกัน สมมติว่าคุณมีกลุ่มผู้เล่น 25 คนซึ่งแต่ละคนสร้าง 1 หมายเลขด้วยตัวสร้างตัวเลขแบบสุ่ม (แต่ละอันมีเมล็ดของตัวเอง) คุณจะมี 25 ตัวเลขระหว่าง 1 ถึง 100 โดยไม่มีข้อ จำกัด เกี่ยวกับจำนวนผู้เล่นที่หมุนปุ่มเฉพาะและไม่มีความสัมพันธ์ระหว่างตัวเลข โอกาสที่จำนวนสูงสุดที่สร้างจะถูกสร้างโดยผู้เล่นมากกว่า 1 คนคืออะไร? กล่าวอีกนัยหนึ่งความน่าจะเป็นของเน็คไทคืออะไร?

ปล่อย

• เป็นจุดสูงสุดของช่วงของคุณ, x = 100ในกรณีของคุณ$x$$x=100$
• เป็นจำนวนทั้งหมดเสมอ n = 25ในกรณีของคุณ$n$$n=25$

ตัวเลขใด ๆจำนวนลำดับของnตัวเลขที่มีจำนวนในแต่ละลำดับ≤ y ที่เป็นY n ลำดับเหล่านี้จำนวนที่มีไม่มีYคือ( Y - 1 ) nและจำนวนที่มีหนึ่งปีเป็นn ( Y - 1 ) n - 1 ดังนั้นจำนวนของลำดับที่มีสองหรือมากกว่าy s คือ y n - ( y - 1 - $y\le x$$n$$\le y$$y^n$$y$$(y-1)^n$$y$$n(y-1)^{n-1}$$y$ จำนวนรวมของลำดับของตัวเลข n ที่มีจำนวนสูงสุด yที่มีอย่างน้อยสอง y s คือ x ∑ y = 1 ( y n - ( y - 1 ) n - n ( y - 1 ) n -

$$y^n - (y-1)^n - n(y-1)^{n-1}$$ $n$$y$$y$ $$\begin{align} \sum_{y=1}^x \left(y^n - (y-1)^n - n(y-1)^{n-1}\right) &= \sum_{y=1}^x y^n - \sum_{y=1}^x(y-1)^n - \sum_{y=1}^xn(y-1)^{n-1}\\ &= x^n - n\sum_{y=1}^x(y-1)^{n-1}\\ &= x^n - n\sum_{y=1}^{x-1}y^{n-1}\\ \end{align}$$

จำนวนรวมของลำดับเป็นเพียง n ลำดับทั้งหมดมีแนวโน้มเท่ากันดังนั้นความน่าจะเป็นคือ x n - n ∑ y = x - 1 y = 1 y n - $x^n$

$$\frac{x^n - n\sum_{y=1}^{y=x-1}y^{n-1}}{x^n}$$

ด้วยฉันสร้างความน่าจะเป็น 0.120004212454$x=100,n=25$

ฉันได้ทดสอบสิ่งนี้โดยใช้โปรแกรม Python ต่อไปนี้ซึ่งนับลำดับที่จับคู่ด้วยตนเอง (สำหรับต่ำ, n ) จำลองและคำนวณโดยใช้สูตรด้านบน$x,n$

import itertools
import numpy.random as np

def countinlist(x, n):
    count = 0
    total = 0
    for perm in itertools.product(range(1, x+1), repeat=n):
        total += 1
        if perm.count(max(perm)) > 1:
            count += 1

    print "Counting: x", x, "n", n, "total", total, "count", count

def simulate(x,n,N):
    count = 0
    for i in range(N):
        perm = np.randint(x, size=n)
        m = max(perm)
        if sum(perm==m) > 1:
            count += 1
    print "Simulation: x", x, "n", n, "total", N, "count", count, "prob", count/float(N)

x=100
n=25
N = 1000000 # number of trials in simulation

#countinlist(x,n) # only call this for reasonably small x and n!!!!
simulate(x,n,N)
formula = x**n - n*sum([i**(n-1) for i in range(x)])
print "Formula count", formula, "out of", x**n, "probability", float(formula) / x**n

โปรแกรมนี้แสดงผล

Simulation: x 100 n 25 total 1000000 count 120071 prob 0.120071
Formula count 12000421245360277498241319178764675560017783666750 out of 100000000000000000000000000000000000000000000000000 probability 0.120004212454

ฉันจะพิจารณาหาโอกาสที่จะมีผู้ชนะที่ไม่ซ้ำกันก่อน

$x$$\frac{{25\choose1} (x-1)^{24}}{{100}^{25} }$$y-1$

ผู้ชนะสามารถชนะด้วยจำนวนของเขาเท่ากับ 2 ถึง 100 ดังนั้นความน่าจะเป็นรวมคือ

$$\begin{align} &\sum_{i=2}^{100} \frac {25(i-1)^{24}}{{100}^{25}}\\ =& 25\sum_{i=1}^{99} \frac{i^{24}}{{100}^{25}}\\ =& -{1 \over 4}+25\sum_{i=1}^{100} \frac{i^{24}}{{100}^{25}}\\\approx&-{1 \over 4}+25 {{1\over24+1}{100}^{24+1}+{{1\over2}{100}^{24}+{{{24\over2} {1\over6}}{100}^{23} }}\over{100}^{25}}\\ =&0.88 \end{align}$$

$100^{23}$

$1-0.88=0.12$

$p$ ) (ดูลิงค์ด้านบน) จากนั้นความน่าจะเป็นที่ทับซ้อนกันจำนวน 25 จำนวนนั้น$1-p$โดยที่ p คือความน่าจะเป็นที่คุณคำนวณไปแล้ว ในกรณีนี้ความน่าจะเป็นที่เป็นไปได้ที่ 25 หมายเลขจะไม่ทับซ้อนกับค่าสูงสุดที่กำหนดโดย: $p=1*(1-1/100)*(1-1/100)......*(1-1/10)=(1-1/100)^{24}$ ความน่าจะเป็นที่คุณต้องการคือ $P=1-p=1-(1-1/100)^{24} = 0.214$