ทำไมการกระจายเรขาคณิตและการกระจาย hypergeometric เรียกเช่นนี้?

ทำไมการกระจายเชิงเรขาคณิตและการกระจาย hypergeometricเรียกว่า "เรขาคณิต" และ "hypergoemetric" ตามลำดับ?

เป็นเพราะ pmfs ของพวกเขามีรูปแบบพิเศษหรือไม่? ขอบคุณ!

distributions terminology history

ใช่คำที่อ้างถึงฟังก์ชันความน่าจะเป็นจำนวนมาก (pmfs)

2,500 ปีที่แล้ว Euclid (ใน Books VIII และ IV ขององค์ประกอบของเขา) ศึกษาลำดับความยาวที่มีสัดส่วนร่วมกัน . ในบางจุดลำดับดังกล่าวเป็นที่รู้จักกันในนาม "ความก้าวหน้าทางเรขาคณิต" (แม้ว่าคำว่า "เรขาคณิต" อาจมีเหตุผลที่คล้ายคลึงกันเช่นเดียวกับที่ได้ถูกนำไปประยุกต์ใช้กับอนุกรมทั่วไปอื่น ๆ อีกหลายชุดรวมถึงที่เรียกว่า

ฟังก์ชันมวลความน่าจะเป็นของการแจกแจงเชิงเรขาคณิตด้วยพารามิเตอร์ทำให้เกิดความก้าวหน้าทางเรขาคณิต $p$

p, p (1 - p), p (1 - p)^{2}, \dots, p (1 - p)^{n}, \dots .

$p, p(1-p), p(1-p)^2, \ldots, p(1-p)^n, \ldots.$

นี่คือสัดส่วนที่เหมือนกันคือ1-P $1-p$

หลายร้อยปีที่ผ่านมาความกว้างใหญ่ของความก้าวหน้าเช่นนี้กลายเป็นสิ่งสำคัญในการศึกษาของเส้นโค้งรูปไข่สมการเชิงอนุพันธ์และพื้นที่อื่น ๆ ที่เชื่อมโยงกันอย่างลึกซึ้งของคณิตศาสตร์ ซึมทั่วไปว่าสัดส่วนญาติหมู่แง่เนื่องที่ตำแหน่งและอาจแตกต่างกัน แต่ก็ จำกัด ธรรมชาติของการเปลี่ยนแปลงว่า: สัดส่วนจะต้องเป็นฟังก์ชั่นให้เหตุผลของ k เพราะสิ่งเหล่านี้ไป "เหนือ" หรือ "เกิน" ความก้าวหน้าทางเรขาคณิต (ซึ่งฟังก์ชันเหตุผลมีค่าคงที่) พวกเขาถูกเรียกว่าhypergeometricจากคำนำหน้ากรีกโบราณ ("ไฮเปอร์") . $k$ $k+1$ $k$ $\grave\upsilon^\prime\pi\varepsilon\rho$

ฟังก์ชันมวลความน่าจะเป็นของฟังก์ชัน hypergeometric พร้อมพารามิเตอร์และมีรูปแบบ $N, K,$ $n$

p (k) = \frac{(\binom{K}{k}) (\binom{N - K}{n - k})}{(\binom{N}{n})}

$p(k) = \frac{\binom{K}{k}\binom{N-K}{n-k}}{\binom{N}{n}}$

สำหรับเหมาะkอัตราส่วนของความน่าจะเป็นที่ต่อเนื่องจึงเท่ากับ $k$

\frac{p (k + 1)}{p (k)} = \frac{(K - k) (n - k)}{(k + 1) (N - K - n + k + 1)},

$\frac{p(k+1)}{p(k)} = \frac{(K-k)(n-k)}{(k+1)(N-K-n+k+1)},$

ฟังก์ชั่นที่มีเหตุผลของปริญญา(2,2)สิ่งนี้ทำให้ความน่าจะเป็น (ความคืบหน้าของ hypergeometric) $k$ $(2,2)$

— whuber
แหล่งที่มา

ขอบคุณ! มีการแจกแจงอื่น ๆ ที่ PMPM ก่อตัวขึ้นด้วยความก้าวหน้าทางเรขาคณิตหรือ hypergeometric หรือไม่?

— ทิม

หาก PMF ก่อตัวเป็นรูปทรงเรขาคณิตที่ก้าวหน้าแล้วจะต้องมีการเลื่อนเลื่อนลดขนาดและ / หรือกระจายเรขาคณิต ถ้ามันก่อให้เกิดการก้าวหน้าระดับ hypergeometric ของระดับ (2,2) แล้วข้อสรุปที่คล้ายกันถือ มีการแจกแจงที่เกี่ยวข้องกับชุดใด ๆที่รวมเป็นค่า จำกัด และการแจกแจงแบบไฮเพอร์เมตริกซ์เป็นการสรุปให้กับการแจกแจงอื่น ๆ อีกมากมาย (โดยใช้ฟังก์ชันเหตุผลที่แตกต่างกัน) ส่วนใหญ่ไม่มีชื่อ ข้อยกเว้นหนึ่งคือการแจกแจงทวินามลบซึ่งมี pmf คือ hypergeometric ของระดับ (1,1)

— whuber

ขอบคุณ! PMF ของการกระจาย Poisson ก่อรูปแบบ / ความก้าวหน้าพิเศษหรือไม่? ได้รับการกระจาย Poission กับพารามิเตอร์อัตราแล้ว1) pmf ก่อตัวเป็นซีรี่ส์พิเศษหรือความก้าวหน้าหรือไม่?

λ

$\lambda$

p (k + 1) / p (k) = λ / (k + 1)

$p(k+1)/p(k) = \lambda/(k+1)$

— ทิม

ใช่นั่นเป็นฟังก์ชันที่มีเหตุผลของระดับ (0,1) ดังนั้นมันจึงเหมาะกับนิยามทั่วไปของการก้าวหน้าแบบ

— whuber

จากแหล่งข้อมูลหนึ่งเป็นเพราะสำหรับการกระจายทางเรขาคณิต pmf (k) คือค่าเฉลี่ยทางเรขาคณิตของ pmf (k-1) และ pmf (k + 1) ค่าเฉลี่ยเรขาคณิตของตัวเลขสอง A และ B เป็น{AB} ปัญหาคลาสสิกนี้ถูกตีความว่าเป็นการหาความยาวของด้านข้างของสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีพื้นที่เท่ากับสี่เหลี่ยมที่มีด้านยาว A และ B ซึ่งเป็นปัญหาเชิงเรขาคณิต $\sqrt{A B}$

— veryshuai
แหล่งที่มา

แหล่งข้อมูลของคุณใช้วิธีการเก็งกำไรที่ฉันอ้างถึง (ค่อนข้างเป็นรูปไข่) ในตอนต้นของคำตอบของฉัน อินเทอร์เน็ตเต็มไปด้วยผู้คนที่ทำสิ่งเดียวกัน แต่เพราะมันง่ายพอ ๆ กันในการหาค่าเฉลี่ยเลขคณิตในรูปทรงเรขาคณิตในท้ายที่สุดคุณสมบัตินี้ มันจะน่าสนใจมากในการค้นหาผู้มีอำนาจที่สามารถติดตามการใช้งานจริงในอดีตของ "เรขาคณิต" และ "คณิตศาสตร์" เพื่อช่วยให้เราเข้าใจว่าคำเหล่านี้เกิดขึ้นจริงเพียงใด

— whuber