คำตอบที่จริงจังมากขึ้นสำหรับการตั้งคำถามนี้โดยเฉพาะอย่างยิ่ง @ silverfish วิธีหนึ่งในการตอบคำถามเช่นนี้คือการจำลองสถานการณ์เพื่อเปรียบเทียบ ด้านล่างนี้คือรหัส R ที่จำลองข้อมูลภายใต้ทางเลือกต่าง ๆ และทำการทดสอบแบบปกติหลายแบบและเปรียบเทียบกำลังไฟ (และช่วงความเชื่อมั่นของกำลังงานเนื่องจากกำลังประมาณผ่านการจำลอง) ฉันปรับแต่งขนาดตัวอย่างบ้างเนื่องจากไม่ค่อยน่าสนใจเมื่อพลังจำนวนมากใกล้เคียงกับ 100% หรือ 5% ฉันพบตัวเลขกลมที่ให้พลังเกือบ 80% ใครก็ตามที่สนใจสามารถนำรหัสนี้มาใช้อย่างง่ายดายและปรับเปลี่ยนเพื่อสมมุติฐานที่แตกต่างกันทางเลือกอื่น ๆ
คุณสามารถเห็นได้ว่ามีทางเลือกซึ่งการทดสอบบางอย่างทำได้ดีกว่าและอื่น ๆ ที่พวกเขาทำได้แย่กว่านั้น คำถามสำคัญคือคำถามใดที่เป็นทางเลือกที่สมจริงที่สุดสำหรับคำถาม / ประเด็นทางวิทยาศาสตร์ของคุณ สิ่งนี้ควรติดตามด้วยการจำลองผลกระทบของประเภทของความสนใจในการทดสอบอื่น ๆ บางประเภทที่ไม่เป็นไปตามปกติเหล่านี้ส่งผลกระทบอย่างมากต่อการทดสอบตามปกติอื่น ๆ ส่วนมากไม่ส่งผลกระทบต่อพวกเขามากนัก
> library(nortest)
>
> simfun1 <- function(fun=function(n) rnorm(n), n=250) {
+ x <- fun(n)
+ c(sw=shapiro.test(x)$p.value, sf=sf.test(x)$p.value, ad=ad.test(x)$p.value,
+ cvm=cvm.test(x)$p.value, lillie=lillie.test(x)$p.value,
+ pearson=pearson.test(x)$p.value, snow=0)
+ }
>
> ### Test size using null hypothesis near true
>
> out1 <- replicate(10000, simfun1())
> apply(out1, 1, function(x) mean(x<=0.05))
sw sf ad cvm lillie pearson snow
0.0490 0.0520 0.0521 0.0509 0.0531 0.0538 1.0000
> apply(out1, 1, function(x) prop.test(sum(x<=0.05),length(x))$conf.int) #$
sw sf ad cvm lillie pearson snow
[1,] 0.04489158 0.04776981 0.04786582 0.04671398 0.04882619 0.04949870 0.9995213
[2,] 0.05345887 0.05657820 0.05668211 0.05543493 0.05772093 0.05844785 1.0000000
>
> ### Test again with mean and sd different
>
> out2 <- replicate(10000, simfun1(fun=function(n) rnorm(n,100,5)))
> apply(out2, 1, function(x) mean(x<=0.05))
sw sf ad cvm lillie pearson snow
0.0482 0.0513 0.0461 0.0477 0.0515 0.0506 1.0000
> apply(out2, 1, function(x) prop.test(sum(x<=0.05),length(x))$conf.int) #$
sw sf ad cvm lillie pearson snow
[1,] 0.04412478 0.04709785 0.04211345 0.04364569 0.04728982 0.04642612 0.9995213
[2,] 0.05262633 0.05585073 0.05043938 0.05210583 0.05605860 0.05512303 1.0000000
>
> #### now for the power under different forms of non-normality
>
> ## heavy tails, t(3)
> rt3 <- function(n) rt(n, df=3)
>
> out3 <- replicate(10000, simfun1(fun=rt3, n=75))
There were 50 or more warnings (use warnings() to see the first 50)
> round(apply(out3, 1, function(x) mean(x<=0.05, na.rm=TRUE)),3)
sw sf ad cvm lillie pearson snow
0.788 0.831 0.756 0.726 0.624 0.440 1.000
> round(apply(out3, 1, function(x){
+ prop.test(sum(x<=0.05,na.rm=TRUE),sum(!is.na(x)))$conf.int),3) } #$
sw sf ad cvm lillie pearson snow
[1,] 0.780 0.824 0.748 0.717 0.614 0.431 1
[2,] 0.796 0.838 0.765 0.734 0.633 0.450 1
>
>
> ## light tails, uniform
> u <- function(n) runif(n)
>
> out4 <- replicate(10000, simfun1(fun=u, n=65))
> round(apply(out4, 1, function(x) mean(x<=0.05, na.rm=TRUE)),3)
sw sf ad cvm lillie pearson snow
0.906 0.712 0.745 0.591 0.362 0.270 1.000
> round(apply(out4, 1, function(x){
+ prop.test(sum(x<=0.05,na.rm=TRUE),sum(!is.na(x)))$conf.int),3) } #$
sw sf ad cvm lillie pearson snow
[1,] 0.900 0.703 0.737 0.581 0.353 0.261 1
[2,] 0.911 0.720 0.754 0.600 0.372 0.279 1
>
> ## double exponential, Laplace
> de <- function(n) sample(c(-1,1), n, replace=TRUE) * rexp(n)
>
> out5 <- replicate(10000, simfun1(fun=de, n=100))
> round(apply(out5, 1, function(x) mean(x<=0.05, na.rm=TRUE)),3)
sw sf ad cvm lillie pearson snow
0.796 0.844 0.824 0.820 0.706 0.477 1.000
> round(apply(out5, 1, function(x){
+ prop.test(sum(x<=0.05,na.rm=TRUE),sum(!is.na(x)))$conf.int),3) } #$
sw sf ad cvm lillie pearson snow
[1,] 0.788 0.837 0.817 0.813 0.697 0.467 1
[2,] 0.804 0.851 0.832 0.828 0.715 0.486 1
>
> ## skewed, gamma(2,2)
> g22 <- function(n) rgamma(n,2,2)
>
> out6 <- replicate(10000, simfun1(fun=g22, n=50))
Warning message:
In cvm.test(x) :
p-value is smaller than 7.37e-10, cannot be computed more accurately
> round(apply(out6, 1, function(x) mean(x<=0.05, na.rm=TRUE)),3)
sw sf ad cvm lillie pearson snow
0.954 0.930 0.893 0.835 0.695 0.656 1.000
> round(apply(out6, 1, function(x){
+ prop.test(sum(x<=0.05,na.rm=TRUE),sum(!is.na(x)))$conf.int),3) } #$
sw sf ad cvm lillie pearson snow
[1,] 0.950 0.925 0.886 0.827 0.686 0.646 1
[2,] 0.958 0.935 0.899 0.842 0.704 0.665 1
>
> ## skewed, gamma(2,2)
> g99 <- function(n) rgamma(n,9,9)
>
> out7 <- replicate(10000, simfun1(fun=g99, n=150))
> round(apply(out7, 1, function(x) mean(x<=0.05, na.rm=TRUE)),3)
sw sf ad cvm lillie pearson snow
0.844 0.818 0.724 0.651 0.526 0.286 1.000
> round(apply(out7, 1, function(x){
+ prop.test(sum(x<=0.05,na.rm=TRUE),sum(!is.na(x)))$conf.int),3) } #$
sw sf ad cvm lillie pearson snow
[1,] 0.836 0.810 0.715 0.642 0.516 0.277 1
[2,] 0.851 0.826 0.732 0.660 0.536 0.294 1
>
> ## tails normal, middle not
> mid <- function(n) {
+ x <- rnorm(n)
+ x[ x > -0.5 & x < 0.5 ] <- 0
+ x
+ }
>
> out9 <- replicate(10000, simfun1(fun=mid, n=30))
Warning messages:
1: In cvm.test(x) :
p-value is smaller than 7.37e-10, cannot be computed more accurately
2: In cvm.test(x) :
p-value is smaller than 7.37e-10, cannot be computed more accurately
> round(apply(out9, 1, function(x) mean(x<=0.05, na.rm=TRUE)),3)
sw sf ad cvm lillie pearson snow
0.374 0.371 0.624 0.739 0.884 0.948 1.000
> round(apply(out9, 1, function(x){
+ prop.test(sum(x<=0.05,na.rm=TRUE),sum(!is.na(x)))$conf.int),3) } #$
sw sf ad cvm lillie pearson snow
[1,] 0.365 0.362 0.614 0.730 0.878 0.943 1
[2,] 0.384 0.381 0.633 0.747 0.890 0.952 1
>
> ## mixture on variance
> mv <- function(n, p=0.1, sd=3) {
+ rnorm(n,0, ifelse(runif(n)<p, sd, 1))
+ }
>
> out10 <- replicate(10000, simfun1(fun=mv, n=100))
Warning message:
In cvm.test(x) :
p-value is smaller than 7.37e-10, cannot be computed more accurately
> round(apply(out10, 1, function(x) mean(x<=0.05, na.rm=TRUE)),3)
sw sf ad cvm lillie pearson snow
0.800 0.844 0.682 0.609 0.487 0.287 1.000
> round(apply(out10, 1, function(x){
+ prop.test(sum(x<=0.05,na.rm=TRUE),sum(!is.na(x)))$conf.int),3) } #$
sw sf ad cvm lillie pearson snow
[1,] 0.792 0.837 0.673 0.599 0.477 0.278 1
[2,] 0.808 0.851 0.691 0.619 0.497 0.296 1
>
> ## mixture on mean
> mm <- function(n, p=0.3, mu=2) {
+ rnorm(n, ifelse(runif(n)<p, mu, 0), 1)
+ }
>
> out11 <- replicate(10000, simfun1(fun=mm, n=400))
> round(apply(out11, 1, function(x) mean(x<=0.05, na.rm=TRUE)),3)
sw sf ad cvm lillie pearson snow
0.776 0.710 0.808 0.788 0.669 0.354 1.000
> round(apply(out11, 1, function(x){
+ prop.test(sum(x<=0.05,na.rm=TRUE),sum(!is.na(x)))$conf.int),3) } #$
sw sf ad cvm lillie pearson snow
[1,] 0.768 0.701 0.801 0.780 0.659 0.344 1
[2,] 0.784 0.719 0.816 0.796 0.678 0.363 1