คำอธิบายที่เข้าใจง่ายของการมีส่วนร่วมกับผลรวมของตัวแปรสุ่มแบบกระจายสองตัว

ถ้าฉันมีตัวแปรสุ่มอิสระแบบกระจายสองตัวคือ $X$ และ $Y$ ด้วยค่าเฉลี่ย $\mu_X$ และ $\mu_Y$ และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน $\sigma_X$ และ $\sigma_Y$ และฉันค้นพบว่า $X+Y=c$ ดังนั้น (สมมติว่าฉันไม่ได้ทำผิดพลาด) การแจกแจงแบบมีเงื่อนไข ของ $X$ และ $Y$ ได้รับ $c$ จะกระจายตามปกติด้วย

μ_{X | c} = μ_{X} + (c - μ_{X} - μ_{Y}) \frac{σ_{X}^{2}}{σ_{X}^{2} + σ_{Y}^{2}}

$\mu_{X|c} = \mu_X + (c - \mu_X - \mu_Y)\frac{ \sigma_X^2}{\sigma_X^2+\sigma_Y^2}$

และค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน

μ_{Y | c} = μ_{Y} + (c - μ_{X} - μ_{Y}) \frac{σ_{Y}^{2}}{σ_{X}^{2} + σ_{Y}^{2}}

$\mu_{Y|c} = \mu_Y + (c - \mu_X - \mu_Y)\frac{ \sigma_Y^2}{\sigma_X^2+\sigma_Y^2}$

σ_{X | c} = σ_{Y | c} = \sqrt{\frac{σ_{X}^{2} σ_{Y}^{2}}{σ_{X}^{2} + σ_{Y}^{2}}} .

$\sigma_{X|c} = \sigma_{Y|c} = \sqrt{ \frac{\sigma_X^2 \sigma_Y^2}{\sigma_X^2 + \sigma_Y^2}}.$

ไม่น่าแปลกใจที่การเบี่ยงเบนมาตรฐานตามเงื่อนไขนั้นเหมือนกับกำหนดหากใครขึ้นไปอีกคนหนึ่งจะต้องลงมาด้วยจำนวนเดียวกัน เป็นที่น่าสนใจว่าค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานตามเงื่อนไขไม่ได้ขึ้นอยู่กับ $c$ ค $c$

สิ่งที่ฉันไม่สามารถหาได้จากหัวของฉันคือเงื่อนไขแบบมีเงื่อนไขซึ่งพวกเขารับส่วนแบ่งจากส่วนเกินตามสัดส่วนของความแปรปรวนดั้งเดิมไม่ใช่ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานดั้งเดิม $(c - \mu_X - \mu_Y)$

ตัวอย่างเช่นหากพวกเขามีค่าเฉลี่ยเป็นศูนย์และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานและดังนั้นเงื่อนไขในเราจะมีและ , คือในอัตราส่วนแม้ว่าฉันจะคิดอย่างหยั่งรู้ว่าอัตราส่วน $\mu_X=\mu_Y=0$ $\sigma_X =3$ $\sigma_Y=1$ $c=4$ $E[X|c=4]=3.6$ $E[Y|c=4]=0.4$ $9:1$ $3:1$ จะเป็นธรรมชาติมากกว่า ทุกคนสามารถให้คำอธิบายที่เข้าใจง่ายสำหรับเรื่องนี้ได้หรือไม่?

สิ่งนี้ถูกกระตุ้นโดยคำถาม Math.SE

normal-distribution conditional-probability

— เฮนรี่
แหล่งที่มา

คำถามลดลงอย่างรวดเร็วในกรณีโดยดูที่และ $\mu_X = \mu_Y = 0$ $X-\mu_X$ $Y-\mu_Y$ Y

เห็นได้ชัดว่าการแจกแจงเงื่อนไขเป็นปกติ ดังนั้นค่าเฉลี่ยมัธยฐานและโหมดของแต่ละคนจึงเหมือนกัน โหมดจะเกิดขึ้นที่พิกัดของท้องถิ่นสุดของรูปแบบไฟล์ PDF bivariate ของและบีบบังคับให้โค้ง Cสิ่งนี้แสดงถึงรูปร่างของ PDF แบบแปรสภาพที่ตำแหน่งนี้และเส้นโค้งข้อ จำกัด มีแทนเจนต์ขนาน (นี่คือทฤษฏีของตัวคูณลากรองจ์) เนื่องจากสมการของรูปร่างใด ๆ อยู่ในรูปแบบ $X$ $Y$ $g(x,y) = x+y = c$ สำหรับบางคนคง (นั่นคือรูปทรงทั้งหมดเป็นวงรี), การไล่ระดับสีของพวกเขาจะต้องขนานไหนมีอยู่ดังกล่าวว่า $f(x,y) = x^2/(2\sigma_X^2) + y^2/(2\sigma_Y^2) = \rho$ $\rho$ $\lambda$

(\frac{x}{σ_{X}^{2}}, \frac{y}{σ_{Y}^{2}}) = \nabla f (x, y) = λ \nabla g (x, y) = λ (1, 1) .

$\left(\frac{x}{\sigma_X^2}, \frac{y}{\sigma_Y^2}\right) = \nabla f(x,y) = \lambda \nabla g(x,y) = \lambda(1,1).$

enter image description here

มันจะตามมาทันทีว่าโหมดของการแจกแจงแบบมีเงื่อนไข (และด้วยวิธีการ) จะถูกกำหนดโดยอัตราส่วนของความแปรปรวนไม่ใช่ของ SDs

$X$ $Y$

— whuber
แหล่งที่มา

มันน่าประทับใจมากและค่อนข้างสมบูรณ์กว่าที่ฉันเคยถาม ฉันจะได้รับความพึงพอใจกับแผนภาพและคำสั่งที่แทนเจนต์กับวงรีไม่ผ่านจุดศูนย์กลางของวงรีดังนั้นจุดสีแดงแทนเจนต์ต้องใช้เวลามากขึ้นจากตัวแปรสุ่มที่มีค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานที่สูงกว่า

— Henry

นั่นเป็นคำที่ไม่ดี สิ่งที่ฉันหมายถึงคือเส้นจากกึ่งกลางถึงจุดสีแดงไม่ได้ตั้งฉากกับแทนเจนต์

— Henry