วิธีเก็บรักษาตัวแปรที่คงที่ของเวลาในรูปแบบเอฟเฟกต์คงที่

ฉันมีข้อมูลเกี่ยวกับพนักงานของ บริษัท ขนาดใหญ่ของอิตาลีในช่วงสิบปีที่ผ่านมาและฉันต้องการดูว่าช่องว่างทางเพศในรายได้ของเพศชายและเพศหญิงมีการเปลี่ยนแปลงตลอดเวลาอย่างไร เพื่อจุดประสงค์นี้ฉันใช้ pooled OLS: โดยที่คือรายได้จากการบันทึกต่อปีรวม covariates ที่แตกต่างกันไปตามแต่ละบุคคลและเวลาคือ dummies ปีและเท่ากับหนึ่งถ้าคนงานเป็นผู้ชายและไม่มีศูนย์

y_{i t} = X_{i t}^{'} β + δ {m a l e}_{i} + \sum_{t = 1}^{10} γ_{t} d_{t} + ε_{i t}

$y_{it} = X'_{it}\beta + \delta {\rm male}_i + \sum^{10}_{t=1}\gamma_t d_t + \varepsilon_{it}$

y

$y$

X_{i t}

$X_{it}$

d_{t}

$d_t$

{m a l e}_{i}

${\rm male}_i$

ตอนนี้ฉันมีความกังวลว่าเพื่อนร่วมพันธุ์บางคนอาจมีความสัมพันธ์กับเอฟเฟกต์คงที่ที่ไม่ได้สังเกต แต่เมื่อฉันใช้เอฟเฟ็กต์คงที่ (ภายใน) ตัวประมาณหรือความแตกต่างครั้งแรกฉันเสียโมเดลเพศเพราะตัวแปรนี้ไม่เปลี่ยนแปลงตลอดเวลา ฉันไม่ต้องการใช้ตัวประมาณเอฟเฟกต์แบบสุ่มเพราะฉันมักจะได้ยินคนพูดว่ามันทำให้สมมติฐานที่ไม่สมจริงมากและไม่น่าจะถือได้

มีวิธีใดบ้างที่จะรักษาความหลอกทางเพศและควบคุมเอฟเฟกต์คงที่ในเวลาเดียวกันได้หรือไม่? หากมีวิธีฉันต้องจัดกลุ่มหรือดูแลปัญหาอื่น ๆ ด้วยข้อผิดพลาดสำหรับการทดสอบสมมติฐานเกี่ยวกับตัวแปรเพศหรือไม่?

— user42263
แหล่งที่มา

คำตอบ:

มีวิธีที่เป็นไปได้สองสามอย่างสำหรับคุณที่จะรักษาหุ่นจำลองทางเพศไว้ในการถดถอยเอฟเฟกต์

ภายในเครื่องมือประมาณการ
สมมติว่าคุณมีโมเดลที่คล้ายกันเมื่อเทียบกับโมเดล OLS ที่รวมกำไรของคุณซึ่งคือ โดยที่ตัวแปรนั้นเคยเป็นมาก่อน ตอนนี้ทราบว่าและไม่สามารถระบุได้เพราะภายในไม่สามารถประมาณการแตกต่างจากผลการแก้ไขC_iระบุว่าคือการสกัดกั้นสำหรับปีฐาน ,คือผลกระทบทางเพศต่อรายได้ในช่วงเวลานี้ สิ่งที่เราสามารถระบุได้ในกรณีนี้คือ

y_{i t} = β_{1} + \sum_{t = 2}^{10} β_{t} d_{t} + γ_{1} (m a l e_{i}) + \sum_{t = 1}^{10} γ_{t} (d_{t} \cdot m a l e_{i}) + X_{i t}^{'} θ + c_{i} + ϵ_{i t}

$y_{it} = \beta_1 + \sum^{10}_{t=2} \beta_t d_t + \gamma_1 (male_i) + \sum^{10}_{t=1} \gamma_t (d_t \cdot male_i) + X'_{it}\theta + c_i + \epsilon_{it}$

β_{1}

$\beta_1$

β_{1} + γ_{1} (m a l e_{i})

$\beta_1 + \gamma_1 (male_i)$

c_{i}

$c_i$

β_{1}

$\beta_1$

t = 1

$t=1$

γ_{1}

$\gamma_1$

γ_{2}, . . ., γ_{10}

$\gamma_2, ..., \gamma_{10}$ เพราะพวกมันมีปฏิสัมพันธ์กับเวลาของคุณและพวกเขาวัดความแตกต่างในผลกระทบบางส่วนของตัวแปรเพศของคุณเมื่อเทียบกับช่วงเวลาแรก ซึ่งหมายความว่าหากคุณสังเกตเห็นการเพิ่มขึ้นของเมื่อเวลาผ่านไปนี่เป็นข้อบ่งชี้ถึงการเพิ่มช่องว่างรายได้ระหว่างชายและหญิง

γ_{2}, . . ., γ_{10}

$\gamma_2,...,\gamma_{10}$

เครื่องมือประมาณการความแตกต่างแรก
หากคุณต้องการทราบผลโดยรวมของความแตกต่างระหว่างชายและหญิงเมื่อเวลาผ่านไปคุณสามารถลองใช้โมเดลต่อไปนี้: โดยที่ตัวแปรมีการโต้ตอบกับเพศที่ไม่แปรผันเวลา ตัวแทนเชิด ตอนนี้ถ้าคุณรับความแตกต่างแรกและเลื่อนออกและคุณได้รับ จากนั้น

Y_{ผม เสื้อ} = β_{1} + Σ_{เสื้อ = 2}^{10} β_{เสื้อ} d_{เสื้อ} + γ (เสื้อ \cdot ม. a ล. {อี}_{ผม}) + X_{ผม เสื้อ}^{'} θ + ค_{ผม} + ε_{ผม เสื้อ}

$y_{it} = \beta_1 + \sum^{10}_{t=2} \beta_t d_t + \gamma (t\cdot male_i) + X'_{it}\theta + c_i + \epsilon_{it}$

t = 1, 2, . . ., 10

$t = 1, 2,...,10$

β_{1}

$\beta_1$

c_{i}

$c_i$

Y_{ผม เสื้อ} - Y_{ผม (เสื้อ - 1)} = Σ_{เสื้อ = 3}^{10} β_{เสื้อ} (d_{เสื้อ} - d_{(เสื้อ - 1)}) + γ (เสื้อ \cdot ม. a ล. {อี}_{ผม} - [(เสื้อ - 1) ม. a ล. {อี}_{ผม}]) + (X_{ผม เสื้อ}^{'} - X_{ผม (เสื้อ - 1)}^{'}) θ + ε_{ผม เสื้อ} - ε_{ผม (เสื้อ - 1)}

$y_{it} - y_{i(t-1)} = \sum^{10}_{t=3} \beta_t (d_t - d_{(t-1)}) + \gamma (t\cdot male_i - [(t-1)male_i]) + (X'_{it}-X'_{i(t-1)})\theta + \epsilon_{it}-\epsilon_{i(t-1)}$

γ (t \cdot m a l e_{i} - [(t - 1) m a l e_{i}]) = γ [(t - (t - 1)) \cdot m a l e_{i}] = γ (m a l e_{i})

$\gamma(t\cdot male_i - [(t-1)male_i]) = \gamma[(t - (t-1))\cdot male_i] = \gamma (male_i)$ และคุณสามารถระบุความแตกต่างทางเพศในกำไร\ดังนั้นสมการการถดถอยครั้งสุดท้ายจะเป็น: และคุณได้รับผลกระทบที่น่าสนใจ สิ่งที่ดีคือมันสามารถนำไปใช้กับซอฟต์แวร์ทางสถิติได้อย่างง่ายดาย แต่คุณจะเสียเวลาไป

γ

$\gamma$

Δ y_{i t} = \sum_{t = 3}^{10} β_{t} Δ d_{t} + γ (m a l e_{i}) + Δ X_{i t}^{'} θ + Δ ϵ_{i t}

$\Delta y_{it} = \sum_{t=3}^{10}\beta_t \Delta d_t + \gamma(male_i) + \Delta X'_{it}\theta + \Delta \epsilon_{it}$

Hausman-Taylor Estimator
ตัวประมาณค่านี้แยกความแตกต่างระหว่าง regressors ที่คุณสามารถสันนิษฐานได้ว่าไม่เกี่ยวข้องกับเอฟเฟกต์คงที่และค่าที่มีความสัมพันธ์กับมัน นอกจากนี้ยังแยกความแตกต่างระหว่างตัวแปรที่แปรผันตามเวลาและตัวแปรไม่แปรตามเวลา ให้แสดงถึงตัวแปรที่ไม่เกี่ยวข้องกับและคนที่เป็นและสมมุติว่าตัวแปรเพศของคุณเป็นตัวแปรแปรผันตามเวลาเท่านั้น ตัวประมาณ Hausman-Taylor ใช้การเปลี่ยนเอฟเฟกต์แบบสุ่ม: ที่เครื่องหมายตัวหนอนหมายถึง $c_i$ $1$ $c_i$ $2$

{\tilde{y}}_{i t} = {\tilde{X}}_{1 i t}^{'} + {\tilde{X}}_{2 i t}^{'} + γ ({\tilde{m a l e}}_{i 2}) + {\tilde{c}}_{i} + {\tilde{ϵ}}_{i t}

$\tilde{y}_{it} = \tilde{X}'_{1it} + \tilde{X}'_{2it} + \gamma (\widetilde{male}_{i2}) + \tilde{c}_i + \tilde{\epsilon}_{it}$

{\tilde{X}}_{1 i t} = X_{1 i t} - {\hat{θ}}_{i} {\bar{X}}_{1 i}

$\tilde{X}_{1it} = X_{1it} - \hat{\theta}_i \overline{X}_{1i}$ โดยที่ใช้สำหรับการเปลี่ยนเอฟเฟกต์แบบสุ่มและคือเวลาเฉลี่ยของแต่ละบุคคล นี้ไม่ได้เป็นเหมือนปกติผลกระทบสุ่มประมาณการว่าคุณต้องการที่จะหลีกเลี่ยงเนื่องจากกลุ่มตัวแปร instrumented สำหรับเพื่อที่จะเอาความสัมพันธ์กับC_iสำหรับเครื่องดนตรีเป็น{} เช่นเดียวกันกับตัวแปรเวลาที่ไม่แปรเปลี่ยนดังนั้นหากคุณระบุตัวแปรเพศที่อาจมีความสัมพันธ์กับเอฟเฟกต์คงที่มันจะได้รับการสร้างด้วย

{\hat{θ}}_{i}

$\hat{\theta}_i$

{\bar{X}}_{1 i}

$\overline{X}_{1i}$

2

$2$

c_{i}

$c_i$

{\tilde{X}}_{2 i t}

$\tilde{X}_{2it}$

X_{2 i t} - {\bar{X}}_{2 i}

$X_{2it} - \overline{X}_{2i}$

{\bar{X}}_{1 i}

$\overline{X}_{1i}$ ดังนั้นคุณต้องมีการเปลี่ยนแปลงเวลามากกว่าตัวแปรที่ไม่แปรตามเวลา

ทั้งหมดนี้อาจฟังดูซับซ้อนเล็กน้อย แต่มีแพ็คเกจสำเร็จรูปสำหรับตัวประมาณนี้ ยกตัวอย่างเช่นใน Stata xthtaylorคำสั่งที่เกี่ยวข้องคือ สำหรับข้อมูลเพิ่มเติมเกี่ยวกับวิธีนี้คุณสามารถอ่าน Cameron และ Trivedi (2009) "Microeconometrics Using Stata" มิฉะนั้นคุณสามารถใช้สองวิธีก่อนหน้าซึ่งง่ายกว่าเล็กน้อย

การอนุมาน
สำหรับการทดสอบสมมติฐานของคุณมีไม่มากที่ต้องพิจารณานอกเหนือจากสิ่งที่คุณจะต้องทำต่อไปในการถดถอยผลคงที่ คุณต้องดูแลความสัมพันธ์อัตโนมัติในข้อผิดพลาดตัวอย่างเช่นโดยการทำคลัสเตอร์ในตัวแปร ID แต่ละรายการ สิ่งนี้ช่วยให้โครงสร้างความสัมพันธ์โดยพลการในกลุ่ม (บุคคล) ซึ่งเกี่ยวข้องกับ autocorrelation สำหรับการอ้างอิงดูอีกครั้ง Cameron และ Trivedi (2009)

— แอนดี้
แหล่งที่มา

อีกวิธีที่เป็นไปได้สำหรับคุณที่จะรักษาหุ่นจำลองคือแนวทางของ Mundlak (1978)สำหรับโมเดลเอฟเฟกต์คงที่ที่มีตัวแปรไม่แปรผันตามกาลเวลา วิธีการของมันดัลก์จะแสดงให้เห็นว่าผลกระทบทางเพศสามารถถูกคาดการณ์ได้จากกลุ่มของตัวแปรที่แปรผันตามเวลา

Mundlak, Y. 1978: ในการรวมกลุ่มของอนุกรมเวลาและข้อมูลภาคตัดขวาง เศรษฐมิติ 46: 69-85

— เอเมอรีวิลล์
แหล่งที่มา

อีกวิธีหนึ่งคือการประมาณค่าสัมประสิทธิ์เวลาไม่แปรเปลี่ยนในสมการขั้นตอนที่สองโดยใช้ข้อผิดพลาดเฉลี่ยเป็นตัวแปรตาม

ขั้นแรกให้ประเมินโมเดลด้วย FE จากที่นี่คุณจะได้รับการประมาณค่าของและ{t} เพื่อความง่ายลองลืมเรื่องผลกระทบของปี กำหนดข้อผิดพลาดในการประมาณค่าเหมือนเมื่อก่อน: $\beta$ $\gamma_{t}$ $\hat{u}_{it}$

{\hat{ยู}}_{ผม เสื้อ} \equiv Y_{ผม เสื้อ} - X_{ผม เสื้อ} \hat{β}

$\hat{u}_{it} \equiv y_{it} - X_{it}\hat{\beta}$

ตัวทำนาย เชิงเส้นคือ: $\bar{u}_{i}$

{\bar{ยู}}_{ผม} \equiv \frac{Σ_{เสื้อ = 1}^{T} {\hat{ยู}}_{ผม}}{T} = \bar{Y_{ผม เสื้อ}} - {\bar{x}}_{ผม} \hat{β}

$\bar{u}_{i} \equiv \frac{\sum_{t=1}^{T}\hat{u}_{i}}{T} = \bar{y_{it}} - \bar{x}_{i}\hat{\beta}$

ทีนี้ลองพิจารณาสมการขั้นที่สองต่อไปนี้:

{\bar{ยู}}_{ผม} = δ ม. a ล. {อี}_{ผม} + ค_{ผม}

$\begin{equation} \bar{u}_{i} = \delta male_{i} + c_{i} \end{equation}$

สมมติว่าเพศที่ uncorrelated กับปัจจัยสังเกต{i} จากนั้นตัวประมาณ OLS ของนั้นไม่เอนเอียงและสอดคล้องกับเวลา (นี่คือมันจะสอดคล้องกันเมื่อ ) $c_{i}$ $\delta$ $T \rightarrow \infty$

หากต้องการพิสูจน์ข้างต้นให้แทนที่โมเดลดั้งเดิมเป็นตัวประมาณ : $\bar{u}_{i}$

{\bar{ยู}}_{ผม} = {\bar{x}}_{ผม} β - {\bar{x}}_{ผม} \hat{β} + δ ม. a ล. {อี}_{ผม} + ค_{ผม} + \frac{Σ_{เสื้อ = 1}^{T} ε_{ผม เสื้อ}}{T}

$\bar{u}_{i} = \bar{x}_{i}\beta - \bar{x}_{i}\hat{\beta} + \delta male_{i} + c_{i} + \frac{\sum_{t=1}^{T}\epsilon_{it}}{T}$

ความคาดหวังของตัวประมาณนี้คือ:

E ({\bar{ยู}}_{ผม}) = {\bar{x}}_{ผม} β - {\bar{x}}_{ผม} E (\hat{β}) + δ ม. a ล. {อี}_{ผม} + E (ค_{ผม}) + \frac{Σ_{เสื้อ = 1}^{T} E (ε_{ผม เสื้อ})}{T}

$E(\bar{u}_{i}) = \bar{x}_{i}\beta - \bar{x}_{i}E(\hat{\beta}) + \delta male_{i} + E(c_{i}) + \frac{\sum_{t=1}^{T}E(\epsilon_{it})}{T}$

หากสมมติฐาน FE ถือสอดคล้องเป็นประมาณการที่เป็นกลางจากและ0 ดังนั้น: $\hat{\beta}$ $\beta$ $E(\epsilon_{it}) = 0$

E ({\bar{ยู}}_{ผม}) = δ ม. a ล. {อี}_{ผม} + E (ค_{ผม})

$E(\bar{u}_{i}) = \delta male_{i} + E(c_{i})$

นี่คือตัวทำนายของเราเป็นตัวประมาณค่าที่เป็นกลางของส่วนประกอบที่ไม่แปรเปลี่ยนเวลาของโมเดล

เกี่ยวกับความสอดคล้องขีด จำกัด ความน่าจะเป็นของตัวทำนายนี้คือ:

พี \underset{T \to \infty}{Lim} {\bar{ยู}}_{ผม} = พี \underset{T \to \infty}{Lim} ({\bar{x}}_{ผม} β) - พี \underset{T \to \infty}{Lim} ({\bar{x}}_{ผม} \hat{β}) + พี \underset{T \to \infty}{Lim} δ ม. a ล. {อี}_{ผม} + พี \underset{T \to \infty}{Lim} ค_{ผม} + พี \underset{T \to \infty}{Lim} (\frac{Σ_{เสื้อ = 1}^{T} ε_{ผม เสื้อ}}{T})

$p \lim\limits_{T \rightarrow \infty} \bar{u}_{i} = p \lim\limits_{T \rightarrow \infty} \left( \bar{x}_{i}\beta\right) - p \lim\limits_{T \rightarrow \infty} \left(\bar{x}_{i}\hat{\beta}\right) + p \lim\limits_{T \rightarrow \infty} \delta male_{i} + p \lim\limits_{T \rightarrow \infty} c_{i} + p \lim\limits_{T \rightarrow \infty} \left( \frac{\sum_{t=1}^{T}\epsilon_{it}}{T}\right)$

อีกครั้งจากสมมติฐาน FE ที่ได้รับเป็นตัวประมาณที่สอดคล้องกันของและคำผิดพลาดมาบรรจบกับค่าเฉลี่ยซึ่งเป็นศูนย์ ดังนั้น: $\hat{\beta}$ $\beta$

พี \underset{T \to \infty}{Lim} {\bar{ยู}}_{ผม} = δ ม. a ล. {อี}_{ผม} + ค_{ผม}

$p \lim\limits_{T \rightarrow \infty} \bar{u}_{i} = \delta male_{i} + c_{i}$

อีกครั้งตัวทำนายของเราเป็นตัวประมาณค่าที่สอดคล้องกันของส่วนประกอบที่ไม่แปรเปลี่ยนเวลาของโมเดล

— luchonacho
แหล่งที่มา

อุปกรณ์แชนด์เลน Mundlak เป็นเครื่องมือที่สมบูรณ์แบบสำหรับสิ่งนี้ มันมักจะถูกเรียกว่าแบบจำลองผลกระทบแบบสุ่มที่มีความสัมพันธ์เพราะมันใช้แบบจำลองผลกระทบแบบสุ่มเพื่อประเมินผลกระทบคงที่สำหรับตัวแปรตัวแปรเวลาโดยปริยาย

อย่างไรก็ตามในซอฟท์แวร์ทางสถิติคุณใช้มันเป็นแบบจำลองเอฟเฟกต์แบบสุ่ม แต่คุณต้องเพิ่มวิธีการตัวแปรแปรปรวนตลอดเวลา

— มาร์ตินพอล
แหล่งที่มา