อัตราส่วนของการกระจายตัวสม่ำเสมอและปกติคืออะไร?

ให้ติดตามการกระจายตัวแบบสม่ำเสมอและติดตามการกระจายตัวแบบปกติ สิ่งที่สามารถจะกล่าวเกี่ยวกับ ? มีการกระจายสำหรับมันหรือไม่? $X$ $Y$ $\frac X Y$

ฉันพบอัตราส่วนของสองบรรทัดฐานที่มีค่าเฉลี่ยเป็นศูนย์คือโคชี

— rrpp
แหล่งที่มา

สำหรับสิ่งที่คุ้มค่าการกระจายของเรียกว่ากระจายเฉือน ฉันไม่รู้ว่าการแลกเปลี่ยนซึ่งกันและกันมีชื่อหรือรูปแบบปิด

Y / X

$Y/X$

— David J. Harris

และคลาสที่ใหญ่กว่าซึ่งทั้งคู่อยู่ในนั้นดูเหมือนจะเป็นอัตราส่วนแบบกระจาย !

— Nick Stauner

@ DavidJ.Harris ค่อนข้างงั้น +1 ฉันเคยเห็นเครื่องหมายทับใช้สองสามครั้งในการศึกษาความทนทาน บางที - เป็นเครื่องหมายทับกลับ - ควรเรียกว่า " การกระจายแบ็กสแลช "

X / Y

$X/Y$

— Glen_b -Reinstate Monica

@rrpp คุณหมายถึงมาตรฐานหรือทั่วไปหรือไม่? ถ้าหลังเราต้องรู้ว่าถ้า ,ฯลฯ

U n i f o r m (0, 1)

$Uniform(0,1)$

U n i f o r m (a, b)

$Uniform(a,b)$

a > 0

$a>0$

a < 0

$a<0$

— wolfies

ขอบคุณทุกคำตอบ @wolfiesเป็นและ

มีค่าเฉลี่ยเป็นบวก

X

$X$

U n i f o r m (0, 1)

$Uniform(0,1)$

Y

$Y$

— rrpp

คำตอบ:

ปล่อยให้ตัวแปรสุ่มด้วย pdf : $X \sim \text{Uniform}(a,b)$ $f(x)$

โดยที่ฉันถือว่า (นี่เป็นกรณีมาตรฐาน ) [จะได้ผลลัพธ์ที่แตกต่างกันถ้าพูดพารามิเตอร์แต่ขั้นตอนเหมือนกันทุกประการ ] $0<a<b$ $\text{Uniform}(0,1)$ $a<0$

เพิ่มเติมปล่อยให้และให้ด้วย pdf : $Y \sim N(\mu, \sigma^2)$ $W=1/Y$ $g(w)$

จากนั้นเราค้นหาไฟล์ PDF ของผลิตภัณฑ์ , พูดซึ่งได้รับจาก: $V = X*W$ $h(v)$

ที่ฉันใช้mathStaticaของTransformProductฟังก์ชั่นอัตโนมัติ nitty-gritties และที่Erfหมายถึงการทำงานข้อผิดพลาด: http://reference.wolfram.com/language/ref/Erf.html

เสร็จหมดแล้ว.

พล็อต

นี่คือสองแปลงของ pdf:

ลงจุด 1: , , ... และ ... $\mu = 0$ $\sigma = 1$ $b = 3$ $a = 0, 1, 2$

เรื่อง 2: , , , $\mu = {0,\frac12,1}$ $\sigma = 1$ $a=0$ $b = 1$

ตรวจสอบ Monte Carlo

นี่คือการตรวจสอบ Monte Carlo อย่างรวดเร็วของคดี Plot 2 เพียงเพื่อให้แน่ใจว่าไม่มีข้อผิดพลาดพุ่งเข้ามา: , , ,
$\mu = \frac12$ $\sigma = 1$ $a=0$ $b = 1$

เส้นสีฟ้าเป็นเชิงประจักษ์ Monte Carlo PDF, และเส้นประสีแดงเป็นรูปแบบไฟล์ PDF ทฤษฎีดังกล่าวข้างต้น ดูดี :) $h(v)$

— wolfies
แหล่งที่มา

มันเป็นไปได้ที่จะหาการกระจายของจากหลักการแรกที่และ2) พิจารณาฟังก์ชันความน่าจะเป็นสะสมของ : $Z=\frac{X}{Y}$ $X\sim U[0,1]$ $Y \sim N(\mu,\sigma^2)$ $Z$

F_{Z} (z) = P (Z \leq z) = P (\frac{X}{Y} \leq z)

$F_Z(z) = P(Z\le z) = P\left(\frac{X}{Y} \le z \right)$

พิจารณาสองกรณีและ<0 หากแล้วZY ในทำนองเดียวกันถ้าแล้วZY $Y>0$ $Y<0$ $Y>0$ $\frac{X}{Y}\le z\implies X \le zY$ $Y<0$ $\frac{X}{Y}\le z\implies X \ge zY$

ตอนนี้เรารู้-เพื่อหาสิ่งที่น่าจะเป็นดังกล่าวข้างต้นให้พิจารณากรณีและ<0 $-\infty<Z<\infty$ $z>0$ $z<0$

ถ้าดังนั้นความน่าจะเป็นสามารถแสดงเป็นการรวมกันของการแจกแจงร่วมของในพื้นที่ที่แสดงด้านล่าง (ใช้ความไม่เท่าเทียมกัน) $z>0$ $(X,Y)$

ภูมิภาคบูรณาการ

ดังนั้น โดยที่เป็นฟังก์ชั่นการกระจายของY

F_{Z} (z) = \int_{0}^{1} \int_{x / z}^{\infty} f_{Y} (y) d y d x + \int_{0}^{1} \int_{- \infty}^{0} f_{Y} (y) d y d x

$F_Z(z) = \int_0^1 \int_{x/z}^\infty f_Y(y) dy dx + \int_0^1 \int_{-\infty}^0 f_Y(y) dy dx$

f_{Y} (y)

$f_Y(y)$

Y

$Y$

ค้นหาฟังก์ชันการกระจายของโดยแยกความแตกต่างด้านบน $Z$

\begin{aligned} f_{Z} (z) & = \frac{d}{d z} \int_{0}^{1} [F_{Y} (\infty) - F_{Y} (\frac{x}{z})] d x \\ = \int_{0}^{1} \frac{\partial}{\partial z} [F_{Y} (\infty) - F_{Y} (\frac{x}{z})] d x \\ = \int_{0}^{1} \frac{x}{z^{2}} f_{Y} (\frac{x}{z}) d x \\ = \int_{0}^{1} \frac{x}{\sqrt{2 π} σ z^{2}} \exp (- \frac{{(\frac{x}{z} - μ)}^{2}}{2 σ^{2}}) d x \end{aligned}

$\begin{align*} f_Z(z) &= \frac{d}{dz}\int_0^1 \left[ F_Y(\infty) - F_Y\left(\frac{x}{z}\right) \right] dx \\ &= \int_0^1 \frac{\partial}{\partial z} \left[ F_Y(\infty) - F_Y\left(\frac{x}{z}\right) \right] dx \\ &= \int_0^1 \frac{x}{z^2} f_Y\left(\frac{x}{z}\right) dx \\ &= \int_0^1 \frac{x}{\sqrt{2\pi}\sigma z^2} \exp \left( - \frac{\left( \frac{x}{z}-\mu\right)^2}{2\sigma^2} \right) dx \end{align*}$

อินทิกรัลด้านบนสามารถประเมินได้โดยใช้ลำดับการแปลงดังนี้

ให้ $u=\frac{x}{z}$
ให้ $v=u-\mu$
แยกอินทิกรัลที่เกิดขึ้นเป็นอินทิเกรตสองตัวอันหนึ่งที่มีในเอกซ์โพเนนเชียลและอีกอันที่คูณด้วยเลขชี้กำลัง $v$ $v$

อินทิกรัลที่ได้สามารถทำให้

f_{Z} (z) = \frac{σ}{\sqrt{2 π}} [\exp (\frac{- μ^{2}}{2 σ^{2}}) - \exp (\frac{- {(\frac{1}{z} - μ)}^{2}}{2 σ^{2}})] + μ [Φ (\frac{\frac{1}{z} - μ}{σ}) - Φ (\frac{- μ}{σ})]

$f_Z(z) = \frac{\sigma}{\sqrt{2\pi}}\left[ \exp\left(\frac{-\mu^2}{2\sigma^2}\right)-\exp\left(\frac{-\left(\frac{1}{z}-\mu\right)^2}{2\sigma^2}\right) \right] + \mu \left[ \Phi\left(\frac{\frac{1}{z}-\mu}{\sigma}\right)-\Phi\left(\frac{-\mu}{\sigma}\right) \right]$

ที่นี่เป็นฟังก์ชันการแจกแจงสะสมของมาตรฐานปกติ ผลที่จะได้รับเหมือนกันสำหรับกรณี<0 $\Phi(x)$ $z<0$

คำตอบนี้สามารถตรวจสอบได้โดยการจำลอง สคริปต์ต่อไปนี้ใน R ทำงานนี้

n <- 1e7
mu <- 2
sigma <- 4

X <- runif(n)
Y <- rnorm(n, mean=mu, sd=sigma)

Z <- X/Y
# Constrain range of Z to allow better visualization 
Z <- Z[Z>-10]
Z <- Z[Z<10] 

# The actual density 
hist(Z, breaks=1000, xlim=c(-10,10), prob=TRUE)

# The theoretical density
r <- seq(from=-10, to=10, by=0.01)
p <- sigma/sqrt(2*pi)*( exp( -mu^2/(2*sigma^2)) - exp(-(1/r-mu)^2/(2*sigma^2)) ) + mu*( pnorm((1/r-mu)/sigma) - pnorm(-mu/sigma) )

lines(r,p, col="red")

นี่คือกราฟสำหรับการยืนยัน:

สำหรับ $Y\sim N(0,1)$
สำหรับ $Y\sim N(1,1)$
สำหรับ $y\sim N(1,2)$

การตัดคำตอบเชิงทฤษฎีที่เห็นในกราฟรอบอาจเป็นเพราะช่วงที่มีข้อ จำกัด มิฉะนั้นคำตอบทางทฤษฎีดูเหมือนว่าจะเป็นไปตามความหนาแน่นจำลอง $z=0$

— Comp_Warrior
แหล่งที่มา

+1 ดีมาก! หลักการพื้นฐานมาจากความพึงพอใจเสมอและกราฟิกช่วยให้ผู้อ่านเข้าใจได้ทันทีว่าคุณกำลังทำอะไรอยู่

— whuber

นอกเหนือจากการแบ่งปันการแบ่งสแลช (หรือการกระจายแบ็กสแลชของ @ Glen_b ของ) ซึ่งเป็นอัตราส่วนการแจกแจงแบบหนึ่งฉันไม่รู้ว่าจะเรียกมันว่าอะไร แต่ฉันจะจำลองหนึ่งเวอร์ชันในอาร์
เนื่องจากคุณระบุค่าบวก หมายถึงของ , ฉันจะใช้เพื่อให้ ในตัวอย่างส่วนใหญ่ของM แน่นอนว่ามีความเป็นไปได้อื่น ๆ ตัวอย่างเช่นใด ๆ ที่จะขยายช่วงของเกินกว่า 1 และแน่นอนว่าใด ๆ ที่จะขยายเป็นค่าลบ ^{(ลดขนาดสำหรับคอมพิวเตอร์ที่ช้า! หรือใช้}^{ถ้าคุณรู้วิธี!)} $Y$ $Y=\mathcal N(7,1)$ $\min(Y)>1$ $N\le1\rm M$ $Y<1$ $\frac X Y$ $Y<0$ set.seed(1);x=rbeta(10000000,1,1)/rnorm(10000000,7);hist(x,n=length(x)/50000)
^runif

ป้อนคำอธิบายรูปภาพที่นี่

— Nick Stauner
แหล่งที่มา

หางที่รุนแรงทำให้เสียความหนาแน่น การกระจายค่อนข้างเหมือน Cauchy (จากความอยากรู้อยากเห็นทำไมไม่ใช้runifมันดูเป็นสำนวนมากขึ้นและดูเหมือนว่าจะเร็วขึ้นด้วย)

— Glen_b

เพราะฉันยังไม่รู้เกี่ยวกับ R มากนัก! :) ขอบคุณสำหรับทิป!

— Nick Stauner

ไม่ต้องห่วง. ความแตกต่างของความเร็วไม่มากนัก แต่ด้วยองค์ประกอบ 10 ^ 7 เพียงพอที่จะสังเกตได้ คุณอาจพบฮิสโตแกรมที่น่าดู ( hist(x,n=length(x),xlim=c(-10,10))) (ประมาณ 96% ของการกระจายดูเหมือนจะอยู่ในขีด จำกัด เหล่านั้น)

— Glen_b

ว้าว! นั่นเองค่ะ ทำให้แผนการหนาแน่นเหล่านี้ค่อนข้างทำให้เข้าใจผิดฉันกลัว! ฉันจะแก้ไขในฮิสโตแกรมนั้น ...

— Nick Stauner

ตกลง. ไม่ต้องห่วง. คุณอาจต้องการทำให้ nclass มีขนาดเล็กลงในกรณีนี้ ฉันคิดว่าในอุดมคติแถบควรแคบมาก แต่ไม่ใช่แค่เส้นสีดำ

— Glen_b -Reinstate Monica