การแจกแจงจะมีค่าเฉลี่ยและความแปรปรวนไม่สิ้นสุดได้อย่างไร

35

มันจะได้รับการชื่นชมถ้าตัวอย่างต่อไปนี้จะได้รับ:

การแจกแจงที่มีค่าเฉลี่ยไม่สิ้นสุดและความแปรปรวนแบบไม่สิ้นสุด
การแจกแจงที่มีค่าเฉลี่ยไม่สิ้นสุดและความแปรปรวนแน่นอน
การกระจายที่มีค่าเฉลี่ย จำกัด และความแปรปรวนอนันต์
การแจกแจงที่มีค่าเฉลี่ยและความแปรปรวนแน่นอน

มันมาจากฉันเห็นคำศัพท์ที่ไม่คุ้นเคยเหล่านี้ (ค่าเฉลี่ยอนันต์, ความแปรปรวนอนันต์) ที่ใช้ในบทความที่ฉันอ่านอ่านและอ่านหัวข้อบนฟอรัม / เว็บไซต์ Wilmottและไม่พบคำอธิบายที่ชัดเจนเพียงพอ ฉันยังไม่พบคำอธิบายใด ๆ ในหนังสือเรียนของฉันเอง

distributions variance mean

— user1205901 - Reinstate Monica
แหล่งที่มา

1

กรณีที่ 2 ในรายการของคุณด้านบนเป็นไปไม่ได้

— kjetil b halvorsen

ที่เกี่ยวข้อง: stats.stackexchange.com/questions/94402/ …

— kjetil b halvorsen

1

สำเนาที่เป็น

— kjetil b halvorsen

2

ด้วยการขอตัวอย่างเฉพาะสี่ประการนี้ฉันคิดว่านี่เป็นคำถามที่แตกต่างและไม่ควรปิดซ้ำซ้อน - แม้ว่าคำถามอื่น ๆ นั้นเกี่ยวข้องและเป็นประโยชน์อย่างแน่นอน

— Silverfish

1

จาก 4 ตัวอย่างเพียง 1, 3 และ 4 เท่านั้นที่เป็นไปได้และตัวอย่างง่าย ๆ สำหรับ 1 และ 4 Cauchy เป็นตัวอย่างของ 1 และ Gaussian เป็นตัวอย่างของ 4 มันเป็นไปไม่ได้สำหรับความแปรปรวนที่จะถูกนิยามไว้อย่างดี ถ้า. mean ไม่มีอยู่ ดังนั้น 2 เป็นไปไม่ได้ ตัวอย่างของ 3 จะน่าสนใจในการสร้าง

— Michael Chernick

52

ค่าเฉลี่ยและความแปรปรวนถูกกำหนดในรูปของอินทิกรัล ความหมายหรือความแปรปรวนให้เป็นอนันต์หมายถึงอะไรเกี่ยวกับพฤติกรรมการ จำกัด สำหรับอินทิกรัลเหล่านั้น

ตัวอย่างเช่นค่าเฉลี่ยคือ (เมื่อพิจารณาสิ่งนี้ให้พูดเป็นส่วนประกอบสำคัญของ Stieltjes); สำหรับความหนาแน่นอย่างต่อเนื่องนี้จะเป็น (ตอนนี้เป็นส่วนประกอบของรีมันน์พูด) $\lim_{a,b\to\infty}\int_{-a}^b x\ dF$ $\lim_{a,b\to\infty}\int_{-a}^b x f(x)\ dx$

สิ่งนี้สามารถเกิดขึ้นได้เช่นถ้าหางมี "หนักพอ" ลองพิจารณาตัวอย่างต่อไปนี้สำหรับสี่กรณีของค่าเฉลี่ย / ไม่สิ้นสุดและความแปรปรวน:

การแจกแจงที่มีค่าเฉลี่ยไม่สิ้นสุดและความแปรปรวนแบบไม่สิ้นสุด

ตัวอย่าง: การแจกแจงพาเรโตพร้อม , การแจกซีตา (2) $\alpha= 1$
การแจกแจงที่มีค่าเฉลี่ยไม่สิ้นสุดและความแปรปรวนแน่นอน

เป็นไปไม่ได้.
การกระจายที่มีค่าเฉลี่ย จำกัด และความแปรปรวนอนันต์

ตัวอย่าง:กระจาย Pareto กับ{2} $t_2$ $\alpha=\frac{3}{2}$
การแจกแจงที่มีค่าเฉลี่ยและความแปรปรวนแน่นอน

ตัวอย่าง: ปกติใด ๆ ชุดใด ๆ (แน่นอนตัวแปรตัวแปรใด ๆ ที่มีช่วงเวลาทั้งหมด) t_3 $t_3$

นอกจากนี้คุณยังสามารถมีการแจกแจงที่อินทิกรัลไม่ได้นิยาม แต่ไม่จำเป็นต้องผ่านขอบเขตที่ จำกัด ทั้งหมดในขีด จำกัด

บันทึกย่อเหล่านี้โดย Charles Geyer พูดคุยเกี่ยวกับวิธีคำนวณอินทิกรัลที่เกี่ยวข้องด้วยเงื่อนไขง่าย ๆ ดูเหมือนว่าจะจัดการกับ integrals Riemann ที่นั่นซึ่งครอบคลุมเฉพาะกรณีต่อเนื่อง แต่คำจำกัดความทั่วไปของอินทิกรัล (Stieltjes เป็นต้น) จะครอบคลุมทุกกรณีที่คุณน่าจะต้องการ [Lebesgue Integration เป็นรูปแบบของการรวมที่ใช้ในทฤษฎีการวัด (ซึ่งเป็นพื้นฐานของความน่าจะเป็น) แต่จุดนี้ใช้ได้ดีกับวิธีการพื้นฐานเพิ่มเติม] มันยังครอบคลุม (วินาที 2.5, p13-14) ทำไม "2. " เป็นไปไม่ได้ (หมายถึงมีอยู่หากความแปรปรวนมีอยู่)

— Glen_b
แหล่งที่มา

7

+1 เหตุผลที่ (2) เป็นไปไม่ได้นั้นสำคัญ: ความแปรปรวนถูกกำหนดในแง่ของค่าเฉลี่ย ความจริงที่ลึกกว่าเล็กน้อยคือเมื่อวินาทีที่สองของมี จำกัด แล้วค่าเฉลี่ยจะต้องมี จำกัด เพราะว่าถ้าหมายถึงไม่มีที่สิ้นสุดแล้วfortioriขณะที่สองจะต้องไม่มีที่สิ้นสุดเพราะช่วงเวลาที่สองคือค่าน้ำหนักของโดยไม่เพียง แต่น่าจะเป็น แต่ยังโดยตัวเอง ( ) น้ำหนักเหล่านั้นเติบโตอย่างไม่มีข้อ จำกัด ทำให้วินาทีที่สองนั้นเกินกว่าค่าสัมบูรณ์ของช่วงเวลาแรกในที่สุด

X

$X$

X

$X$

X

$X$

X^{2} = X \times X

$X^2 = X\times X$

— whuber

4

@whuber แต่คุณสามารถกำหนดความแปรปรวนได้โดยไม่ต้องอ้างอิงค่าเฉลี่ย (เช่นในแง่ของความคาดหวังของความแตกต่างกำลังสองในคู่ของค่า) ดังนั้นปัญหาจึงไม่สำคัญเหมือนนั้น บางอย่างเช่นอาร์กิวเมนต์ที่สองของคุณต้องการจริง ๆ แล้ว

— Glen_b

3

นั่นเป็นประเด็นที่ดี แต่ถ้าเรายอมรับว่านิยามทางเลือกใด ๆ ของความแปรปรวนนั้นเทียบเท่ากับนิยามปกติทางพีชคณิตสำหรับการแจกแจงทั้งหมดแล้วถ้ามันไม่ได้นิยามตามนิยามหนึ่งที่จะดูเหมือนเป็นการสาธิตที่เพียงพอว่ามันไม่ได้กำหนดตาม ที่ห้างสรรพสินค้า. ในกรณีที่มีทางเลือกอื่น ๆ เช่นที่คุณพูดถึงมาก่อนนั้นอยู่ในการศึกษากระบวนการสโตแคสติกซึ่งคำจำกัดความต่าง ๆ นั้นไม่เทียบเท่ากัน

— whuber

2

ใช่ฉันทำ. ความแปรปรวนซึ่งเป็นความคาดหวังของตัวแปรสุ่มแบบไม่ลบนั้นเท่ากับส่วนที่สำคัญของ Lebesgue ของส่วนบวกเพียงอย่างเดียว ดังนั้นมันอาจเป็นจำนวน จำกัด หรือไม่มีที่สิ้นสุด (ในบรรทัดหมายเลขเพิ่มเติม) ไม่ว่าจะเกิดอะไรขึ้น คุณสมบัติของการไม่เป็นเชิงลบแตกต่างการวิเคราะห์ช่วงเวลาจากช่วงเวลาอื่น ๆ ซึ่งสามารถกำหนดได้

— whuber

2

ความหมายของความแปรปรวนก็คือว่ามันเท่ากับ2]

E [(X - E (X))^{2}]

$\mathbb{E}[(X-\mathbb{E}(X))^2]$

— whuber

5

การแจกแจงที่เสถียรให้ตัวอย่างที่ดีและพารามิเตอร์ของสิ่งที่คุณกำลังมองหา:

ค่าเฉลี่ยและความแปรปรวนอนันต์: $0 < \text{stability parameter} < 1$
N / A
ค่าเฉลี่ยที่แน่นอนและความแปรปรวนอนันต์: $1 \leq \text{stability parameter} < 2$
ค่าเฉลี่ยและความแปรปรวน จำกัด : (เสียน) $\text{stability parameter} = 2$

— Steve Schulist
แหล่งที่มา

1

ไม่มีใครพูดถึงความขัดแย้งในเซนต์ปีเตอร์สเบิร์กที่นี่; มิฉะนั้นฉันจะไม่โพสต์ในกระทู้เก่าที่มีหลายคำตอบอยู่แล้วรวมถึงหนึ่งคำตอบ "ยอมรับ"

หากเหรียญติดอันดับ "หัว" คุณชนะหนึ่งเซ็นต์

หาก "ก้อย" การชนะจะเพิ่มเป็นสองเท่าและถ้า "หัว" ในการโยนครั้งที่สองคุณชนะสองเซ็นต์

หาก "ก้อย" เป็นครั้งที่สองเงินชนะจะเพิ่มเป็นสองเท่าอีกครั้งและหาก "หัว" ในการโยนครั้งที่สามคุณชนะสี่เซ็นต์

และอื่น ๆ : ผลรวมของผลิตภัณฑ์คือดังนั้นนั่นคือค่าที่ไม่คาดคิด .

\begin{array}{rccc} outcome & winnings & probability & product \\ H & 1 & 1 / 2 & 1 / 2 \\ TH & 2 & 1 / 4 & 1 / 2 \\ TTH & 4 & 1 / 8 & 1 / 2 \\ TTTH & 8 & 1 / 16 & 1 / 2 \\ TTTTH & 16 & 1 / 32 & 1 / 2 \\ TTTTTH & 32 & 1 / 64 & 1 / 2 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \end{array}

$\begin{array}{|r|c|c|c|} \hline \text{outcome} & \text{winnings} & \text{probability} & \text{product} \\ \hline \text{H} & 1 & 1/2 & 1/2 \\ \text{TH} & 2 & 1/4 & 1/2 \\ \text{TTH} & 4 & 1/8 & 1/2 \\ \text{TTTH} & 8 & 1/16 & 1/2 \\ \text{TTTTH} & 16 & 1/32 & 1/2 \\ \text{TTTTTH} & 32 & 1/64 & 1/2 \\ \vdots\quad & \vdots & \vdots & \vdots \end{array}$

\frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \dots = + \infty,

$\dfrac 12 + \dfrac 12 + \dfrac 12+\cdots = +\infty,$

นั่นหมายความว่าถ้าคุณจ่ายล้านสำหรับการโยนเหรียญแต่ละครั้งหรือล้านล้าน ฯลฯ คุณจะออกมาข้างหน้าในที่สุด เมื่อเป็นไปได้ยากที่คุณจะชนะมากกว่าสองสามเซนต์ต่อครั้ง $\$1$ $\$1$

คำตอบคือโอกาสที่หายากมากครั้งหนึ่งคุณจะได้รับลำดับของหางที่ยาวเพื่อที่เงินรางวัลจะชดเชยคุณสำหรับค่าใช้จ่ายอันยิ่งใหญ่ที่คุณเกิดขึ้น เป็นเรื่องจริงไม่ว่าราคาที่คุณจ่ายสำหรับการโยนแต่ละครั้งจะสูงแค่ไหน

— Michael Hardy
แหล่งที่มา

-1

เกี่ยวกับการแจกแจงครั้งที่สองที่คุณกำลังมองหาให้พิจารณาตัวแปรสุ่ม จากนั้นคำตอบนั้นไม่มีที่สิ้นสุดพร้อมความน่าจะเป็นหนึ่ง การแจกแจงมีค่าไม่สิ้นสุด

X_{2} = number of times you can zoom in like 10cm into a fractal

$X_2 = \text{number of times you can zoom in like 10cm into a fractal}$

— นายโจ
แหล่งที่มา

พี่เป็นตัวอย่างที่น่าสนใจ แต่สำหรับการคำนวณที่คุณต้องการระบบจำนวนจริงขยายที่ 0

\infty - \infty = 0

$\infty - \infty=0$

— kjetil b halvorsen