เหตุใดการแจกแจงที่รู้จักทั้งหมดจึงไม่เหมือนกัน?

13

ฉันไม่ทราบว่ามีการแจกแจงแบบหลายรูปแบบใด ๆ

เหตุใดการแจกแจงที่รู้จักทั้งหมดจึงไม่เหมือนกัน? มีการกระจาย "มีชื่อเสียง" ที่มีมากกว่าหนึ่งโหมดหรือไม่

แน่นอนว่าการผสมของการแจกแจงมักจะต่อเนื่องหลายรูปแบบ แต่ฉันต้องการที่จะรู้ว่ามีการกระจาย "ไม่ผสม" ใด ๆ ที่มีมากกว่าหนึ่งโหมด

distributions mode

— Miroslav Sabo
แหล่งที่มา

5

คุณกำลังพูดถึงการแจกแจงแบบ "มาตรฐาน" มากกว่าการแจกแจงแบบ "รู้จัก"

— Stéphane Laurent

12

แล้วเบต้ากับล่ะ?

α = β = 0.5

$\alpha=\beta=0.5$

— อะมีบาพูดว่า Reinstate Monica

1

หากคุณไม่ทราบขอบเขตการกระจาย bimodalวิกิพีเดียยังกล่าวถึงU-กำลังสองและการกระจาย arcsine ผมคิดว่าสิ่งเหล่านี้เป็นเพียงกรณีพิเศษของการกระจายเบต้า แต่ ... วิกิพีเดียยังกล่าวถึงตัวอย่างบางส่วนของเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นตามธรรมชาติของการกระจายต่อเนื่อง

— Nick Stauner

12

@ StéphaneLaurent: ฉันชอบ"ดิสทริบิวชั่นแบรนด์เนม"สำหรับการถ่ายทอดว่าการตั้งชื่อไม่ได้บ่งบอกถึงสถานะพิเศษใด ๆ สำหรับการจัดจำหน่าย การแจกแจง "รู้จัก" ทำให้ดูเหมือนว่าที่เหลืออาจจะอยู่ที่นั่นที่ไหนสักแห่งที่รอการค้นพบเช่นสัตว์ประหลาด Loch-Ness หรือสสารมืด

— Scortchi - Reinstate Monica

5

ยอดเยี่ยม @Scortchi คำศัพท์ที่ยอดเยี่ยม! นักวิทยาศาสตร์ที่ไม่ใช่นักคณิตศาสตร์จำนวนมากที่ฉันพบเจออยู่ภายใต้ความประทับใจที่ไม่มีชื่อจำหน่าย บางทีอาจมีความจริงเกี่ยวกับปรัชญาที่ลึกซึ้งกว่านั้นความสับสนของชื่อและสิ่งที่เขียนโดยชื่อนี้ (ดังที่รัสเซลกล่าวว่า "คำว่า 'สุนัข' ไม่มีความคล้ายคลึงกับสุนัข")

— Stéphane Laurent

17

ส่วนแรกของคำถามที่ตอบในความคิดเห็นคำถาม: ความอุดมสมบูรณ์ของ "แบรนด์เนม" แจกแจงเนื่องหลายรูปแบบเช่นเบต้าใด ๆการกระจายกับและ1 ลองหันไปหาส่วนที่สองของคำถาม $(a,b)$ $a\lt 1$ $b\lt 1$

การกระจายแบบไม่ต่อเนื่องทั้งหมดเป็นการผสมกันอย่างชัดเจน (ของอะตอมซึ่งเป็นรูปแบบเดียว)

ฉันจะแสดงให้เห็นว่าการแจกแจงแบบต่อเนื่องส่วนใหญ่เป็นการผสมผสานของการกระจายแบบ unimodal สัญชาตญาณที่อยู่เบื้องหลังสิ่งนี้ง่ายมาก: เราสามารถ "ขจัด" การกระแทกจากกราฟที่เป็นหลุมเป็นบ่อของ PDF ทีละหนึ่งจนกว่ากราฟจะเป็นแนวนอน การกระแทกจะกลายเป็นส่วนประกอบของการผสมซึ่งแต่ละส่วนนั้นมีลักษณะแบบเดียวกับที่เห็นได้ชัด

ดังนั้นอาจมีการแจกแจงผิดปกติบางอย่างซึ่ง PDF นั้นไม่ต่อเนื่องสูงคำตอบสำหรับคำถามคือ "ไม่มี":การแจกแจงแบบหลายค่าทั้งหมดที่ต่อเนื่องอย่างไม่ต่อเนื่องหรือการรวมกันของสองอย่างนี้เป็นส่วนผสมของการแจกแจงแบบเดี่ยว

พิจารณาการแจกแจงแบบต่อเนื่องซึ่งไฟล์ PDF เป็นต่อเนื่อง (นี่คือการแจกแจง "ต่อเนื่อง" (ความต่อเนื่องไม่ใช่ข้อ จำกัด มากมันสามารถผ่อนคลายได้มากขึ้นโดยการวิเคราะห์อย่างระมัดระวังมากขึ้นโดยสมมติว่าจุดที่ไม่ต่อเนื่องนั้นแยกออกจากกัน) $F$ $f$

เพื่อรับมือกับ "plateaus" ของค่าคงที่ที่อาจเกิดขึ้นให้กำหนด "โหมด" ให้เป็นช่วง (ซึ่งอาจเป็นจุดเดียวที่ ) เช่นนั้น $m = [x_l, x_u]$ $x_l=x_u$

$f$ มีค่าคงที่ต่อพูดY $m,$ $y$
$f$ ไม่ได้อย่างต่อเนื่องในช่วงเวลาใด ๆ ที่มีอย่างเคร่งครัดเมตร $m$
มีอยู่ในเชิงบวกจำนวนดังกล่าวว่าค่าสูงสุดของบรรลุบนเท่ากับY $\epsilon$ $f$ $[x_l-\epsilon, x_u+\epsilon]$ $y$

ให้เป็นโหมดของการใด ๆฉเนื่องจากเป็นแบบต่อเนื่องจึงมีช่วงที่มีซึ่งไม่ได้ลดลงใน (ซึ่งเป็นช่วงเวลาที่เหมาะสมไม่ใช่แค่จุด) และไม่เพิ่มขึ้น (ซึ่งเป็นช่วงเวลาที่เหมาะสมเช่นกัน) ให้เป็นค่าที่น้อยที่สุดของค่าทั้งหมดและค่าสูงสุดของค่าดังกล่าวทั้งหมด $m = [x_l, x_u]$ $f$ $f$ $[x_l^\prime, x_u^\prime]$ $m$ $f$ $[x_l^\prime, x_l]$ $[x_u, x_u^\prime]$ $x_l^\prime$ $x_u^\prime$

การก่อสร้างนี้ได้กำหนดหนึ่ง "โคก" บนกราฟของยื่นออกมาจากที่จะx_uLetเป็นขนาดใหญ่ของและนายก) จากการก่อสร้างชุดของจุดในซึ่งเป็นช่วงเวลาที่เหมาะสมบรรจุอย่างเคร่งครัด(เพราะมีทั้งหรือ ) $f$ $x_l^\prime$ $x_u^\prime$ $y$ $f(x_l^\prime)$ $f(x_u^\prime)$ $x$ $[x_l^\prime, x_u^\prime]$ $f(x)\ge y$ $m^\prime$ $m$ $[x_l^\prime, x_l]$ $[x_u, x_u^\prime]$

รูป

ในภาพประกอบนี้ของ PDF แบบหลายมิติ, โหมดถูกระบุด้วยจุดสีแดงบนแกนนอน ขอบเขตแนวนอนของส่วนสีแดงของการเติมเป็นช่วง : มันเป็นฐานของโคกที่กำหนดโดยโหมดเมตรฐานของโคกที่อยู่ที่ความสูง0.16 PDF ต้นฉบับคือผลรวมของการเติมสีแดงและการเติมสีน้ำเงิน โปรดสังเกตว่าการเติมสีน้ำเงินมีเพียงโหมดเดียวใกล้ ; ลบโหมดดั้งเดิมที่แล้ว $m=[0,0]$ $m^\prime$ $m$ $y\approx 0.16$ $2$ $[0,0]$

เขียนสำหรับความยาวของ , define $|m^\prime|$ $m^\prime$

p_{m} = {Pr}_{F} (m^{'}) - y | m^{'} |

$p_m = {\Pr}_F(m^\prime) - y|m^\prime|$

และ

f_{m} (x) = \frac{f (x) - y}{p_{m}}

$f_m(x) = \frac{f(x) - y}{p_m}$

เมื่อและอย่างอื่น (ทำให้นี้ฟังก์ชั่นอย่างต่อเนื่องบังเอิญ.) เศษเป็นจำนวนเงินที่เพิ่มขึ้นสูงกว่าและหารอยู่ในพื้นที่ระหว่างกราฟของและYดังนั้นจึงไม่เป็นลบและมีพื้นที่ทั้งหมด : เป็น PDF ของการแจกแจงความน่าจะเป็น โดยการก่อสร้างจะมีโหมดที่ไม่ซ้ำกันเมตร $x \in m^\prime$ $f_m(x)=0$ $f_m$ $f$ $y$ $p_m$ $f$ $y$ $f_m$ $1$ $m$

ด้วยการก่อสร้างฟังก์ชั่น

f_{m}^{'} (x) = \frac{f (x) - p_{m} f_{m} (x)}{1 - p_{m}}

$f_m^\prime(x) = \frac{f(x) - p_mf_m(x)}{1 - p_m}$

เป็นรูปแบบไฟล์ PDF ที่มีให้1 (เห็นได้ชัดว่าถ้าไม่มีอะไรเหลืออยู่ของซึ่งจะต้องเริ่มต้นด้วย unimodal) ยิ่งไปกว่านั้นมันไม่มีโหมดในช่วง (ซึ่งเป็นค่าคงที่ซึ่งเป็นเหตุผลที่นิยามก่อนหน้านี้อย่างระมัดระวังของ จำเป็นต้องใช้โหมดตามช่วงเวลา) นอกจากนี้ $p_m\lt 1$ $p_m=1$ $f,$ $m^\prime$

f (x) = p_{m} f_{m} (x) + (1 - p_{m}) f_{m}^{'} (x)

$f(x) = p_m f_m(x) + (1-p_m)f_m^\prime(x)$

เป็นส่วนผสมของรูปแบบไฟล์ PDF unimodalและรูปแบบไฟล์ PDF f_m $f_m$ $f_m^\prime$

ทำซ้ำขั้นตอนนี้ด้วย (ซึ่งเป็นการรวมกันเชิงเส้นของฟังก์ชันต่อเนื่องยังคงเป็นฟังก์ชั่นต่อเนื่องทำให้เราสามารถดำเนินการได้เหมือนเดิม) สร้างลำดับโหมด ; ลำดับที่สอดคล้องกันของน้ำหนัก ; และ PDF มีข้อ จำกัด ของผลลัพธ์เนื่องจาก (a) ช่วงเวลาที่แบนรวมถึงช่วงเวลาที่เหมาะสมซึ่งไม่ได้ถูกแบนในก่อนหน้า $f_m^\prime$ $m=m_1, m_2, \ldots$ $p_1=p_m, p_2=p_{m_2}, \ldots$ $f_1=f_m, f_2=f_{m_2}, \ldots.$ $f_i$ $i-1$ การดำเนินงานและ (b) จำนวนจริงไม่สามารถแบ่งออกเป็นจำนวนที่มากกว่านับได้ของช่วงเวลาดังกล่าว ขีด จำกัด ไม่สามารถมีโหมดใด ๆ และดังนั้นจึงเป็นค่าคงที่ซึ่งจะต้องเป็นศูนย์ ดังนั้นจึงถูกแสดงออกมา (อาจจะไม่ซ้ำกันเพราะลำดับที่เลือกโหมดจะมีความสำคัญ) เป็นส่วนผสม $f$

f (x) = \sum_{i} p_{i} f_{i} (x)

$f(x) = \sum_i p_i f_i(x)$

ของการกระจาย unimodal, QED

— whuber
แหล่งที่มา

7

ฉันคิดว่า OP ชัดแจ้งโดยชัดแจ้งว่ามีโหมดตกแต่งภายในเพียงโหมดเดียว (เช่นไม่รวมโซลูชันมุม) คำถามจึงถามจริง ๆ ...

why is it that brand name distributions do NOT have more than one interior mode?

$\text{why is it that brand name distributions do NOT have more than one interior mode?}$

นั่นเป็นเหตุผลว่าทำไมการกระจายชื่อแบรนด์ส่วนใหญ่จึงมีลักษณะดังนี้:

... บวกหรือลบความเบ้หรือความไม่ต่อเนื่องบ้างไหม? เมื่อคำถามถูกวางดังนั้นการกระจายเบต้าจะไม่เป็นตัวอย่างการนับที่ถูกต้อง

ดูเหมือนว่าการคาดคะเนของ OP มีความถูกต้อง: การแจกแจงชื่อแบรนด์ทั่วไปส่วนใหญ่ไม่อนุญาตให้ใช้โหมดตกแต่งภายในมากกว่าหนึ่งโหมด อาจมีเหตุผลทางทฤษฎีสำหรับสิ่งนี้ ตัวอย่างเช่นการแจกจ่ายใด ๆ ที่เป็นสมาชิกของครอบครัวเพียร์สัน (ซึ่งรวมถึงเบต้า) จะต้องเป็นแบบ unimodal (ภายใน) (ภายใน) ซึ่งเป็นผลมาจากความแตกต่างของผู้ปกครองที่กำหนดทั้งครอบครัว และตระกูลเพียร์สันนั้นเป็นที่รู้จักกันดีในชื่อแบรนด์ส่วนใหญ่

อย่างไรก็ตามนี่คือตัวอย่างตัวนับชื่อแบรนด์ ...

ตัวอย่างเคาน์เตอร์

ตัวอย่างเคาน์เตอร์แบรนด์หนึ่งคือการกระจายพร้อม pdf: $\text{Sinc}^2$

f (x) = \frac{\sin^{2} (x)}{π x^{2}}

$f(x)=\frac{\sin ^2(x)}{\pi x^2}$

กำหนดไว้ในสายจริง นี่คือเนื้อเรื่องของ pdf: $\text{Sinc}^2$

เราอาจเพิ่มตระกูลของ cardiod และดิสทริบิวชันที่เกี่ยวข้องกับคลาสนี้ ... ด้วยรูปแบบไฟล์ PDF เช่น:

ตระกูลของการแจกแจงชื่อแบรนด์ที่สะท้อนอาจจะเป็นชื่อแบรนด์ที่เป็นไปได้ (แม้ว่าสิ่งเหล่านี้อาจคิดว่าเป็น 'สูตรโกง' ... แต่พวกเขายังคงเป็นชื่อแบรนด์) เช่น Reflected Weibull แสดงไว้ที่นี่:

— wolfies
แหล่งที่มา

1

ของฉัน, พล็อตของแน่นอนว่ามันมีค่าลบ! (นั่นอาจเป็นสิ่งประดิษฐ์พล็อตหรือไม่) ... และการแจกแจงแบบคาร์ดิโอดดูเหมือนว่าพวกมันจะมีโหมดการตกแต่งภายในเพียงโหมดเดียวเท่านั้น

{Sinc}^{2}

$\text{Sinc}^2$

— whuber

1

สวัสดี @whuber ... ต้องยอมรับสิ่งประดิษฐ์ที่วางแผนใหม่ (ฉันจะใช้มันกับMathematica SE!) ครอบครัวที่มีหัวใจซ้ำ: ความคิดคือใคร ๆ ก็สามารถขยายขอบเขตของครอบครัวให้เป็นหนึ่งเดียวได้โปรดและเช่นเดียวกับคลื่นไซน์มันยังคงให้ :)

— Wolfies

1

(+1) มันเป็นสิ่งประดิษฐ์แปลก ๆ : พล็อตสุดท้ายของคุณ (จากการแจกแจงแบบสะท้อน) ดูเหมือนจะไม่แสดง คุณอาจติดตามการสร้างพล็อตจุดในพล็อตเพื่อดูว่าพวกเขาอยู่ที่ไหน ฉันสงสัยว่าค่าลบเล็กน้อยอาจเป็นการปรับแก้เส้นโค้งจำนวนจุดเล็ก ๆ

{Sinc}^{2}

$\text{Sinc}^2$

— whuber

ฉันคิดว่ามันเป็นเพราะเส้นที่พล็อตหนากว่าเส้นแกนดังนั้นดูเหมือนว่า 'แหกคอก' แกนเมื่อใกล้ถึงศูนย์ หากเส้นถูกบางลงสิ่งประดิษฐ์จะหายไป

— wolfies

แต่ไม่มีสิ่งประดิษฐ์ดังกล่าวในรูปด้านล่างของคุณซึ่งมีเส้นหนากว่าแกน

— whuber

3

การที่คุณไม่คิดว่าสิ่งใดไม่ได้หมายความว่าจะไม่มีเลย

ฉันสามารถตั้งชื่อ "รู้จัก" การแจกแจงที่ไม่ใช่ unimodal

ยกตัวอย่างเช่นการกระจายเบต้ากับและทั้ง<1 $\alpha$ $\beta$ $<1$

http://en.wikipedia.org/wiki/Beta_distribution

ยังเห็น

http://en.wikipedia.org/wiki/U-quadratic_distribution

(นี่ไม่ใช่กรณีพิเศษของการเผยแพร่เบต้าแม้ว่าจะมีความคิดเห็นที่ระบุว่าเป็นอย่างไรก็ตามทั้งสองตระกูลมีการทับซ้อนกันบ้าง)

การกระจายตัวของส่วนผสมเป็นที่รู้จักกันอย่างแน่นอนและหลายคนเป็นหลายต่อเนื่อง

— Glen_b -Reinstate Monica
แหล่งที่มา

U-quadratic เป็นการแจกแจงแบบเบต้าที่ถูกปัดเศษ

— becko

1

การแจกแจงแบบอัลฟ่าปกติ(Elal-Olivero 2010)มี PDF:

\frac{{(1 - α \frac{x - μ}{σ})}^{2} + 1}{2 + α^{2}} φ (\frac{x - μ}{σ}),

$\frac{\left(1-\alpha\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2+1}{2+\alpha^2} \varphi\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right),$

โดยที่เป็น PDF ของ Gaussian มาตรฐาน $\varphi$

สำหรับการแจกแจงนั้นคือ bimodal พล็อตตัวอย่างสำหรับ : $|\alpha|>1.34$ $\mu=1,\sigma=0.5,a=2$

— corey979
แหล่งที่มา