การกระจายระยะทางแบบยุคลิดระหว่างตัวแปรสุ่มแบบกระจายสองตัวคืออะไร?

สมมติว่าคุณจะได้รับวัตถุทั้งสองมีสถานที่ที่แน่นอนไม่เป็นที่รู้จัก แต่จะมีการกระจายไปตามการแจกแจงปรกติกับพารามิเตอร์ที่รู้จักกัน (เช่นและ(วีที)) เราสามารถสันนิษฐานได้ว่าสิ่งเหล่านี้เป็นทั้งบรรทัดฐาน bivariate เช่นตำแหน่งที่ถูกอธิบายโดยการกระจายข้ามพิกัด ( (เช่นและเป็นเวกเตอร์ที่มีพิกัดคาดหวังสำหรับและตามลำดับ) เราจะถือว่าวัตถุนั้นเป็นอิสระ$a \sim N(m, s)$$b \sim N(v, t))$$(x,y)$$m$$v$$(x,y)$$a$$b$

ไม่มีใครรู้ว่าการกระจายตัวของปริภูมิแบบยุคลิดแบบสแควร์ระหว่างวัตถุสองชิ้นนี้คือการแจกแจงแบบพารามิเตอร์หรือไม่? หรือวิธีการหา PDF / CDF สำหรับฟังก์ชั่นนี้วิเคราะห์?

คำตอบของคำถามนี้สามารถพบได้ในหนังสือรูปแบบสมการกำลังสองในตัวแปรสุ่มโดย Mathai และ Provost (1992, Marcel Dekker, Inc. )

ในฐานะที่เป็นความคิดเห็นชี้แจงคุณจะต้องพบการกระจายตัวของที่ Z = - ขดังนี้การกระจายปกติ bivariate ที่มีค่าเฉลี่ยμและแปรปรวนเมทริกซ์Σ นี้เป็นรูปแบบสมการกำลังสองในสองตัวแปรตัวแปรสุ่มZ$Q = z_1^2 + z_2^2$$z = a - b$$\mu$$\Sigma$$z$

สั้น ๆ หนึ่งผลลัพธ์ทั่วไปที่ดีสำหรับกรณี -dimensional ซึ่งz ∼ N p ( μ , Σ )และQ = p ∑ j = 1 z 2 j คือการสร้างฟังก์ชั่นโมเมนต์คือ E ( e t Q ) = e t ∑ p j = 1 b 2 j λ $p$$z \sim N_p(\mu, \Sigma)$

$$Q = \sum_{j=1}^p z_j^2$$ ที่λ1,...,λPมีค่าลักษณะเฉพาะของΣและBเป็นฟังก์ชันเชิงเส้นของμ ดูทฤษฎีบท 3.2a.2 (หน้า 42) ในหนังสือที่อ้างถึงข้างต้น (เราสมมติว่าΣไม่ใช่เอกพจน์) การเป็นตัวแทนที่มีประโยชน์อื่นคือ 3.1a.1 (หน้า 29) Q=p∑j= $$E(e^{tQ}) = e^{t \sum_{j=1}^p \frac{b_j^2 \lambda_j}{1-2t\lambda_j}}\prod_{j=1}^p (1-2t\lambda_j)^{-1/2}$$ $\lambda_1, \ldots, \lambda_p$$\Sigma$$b$$\mu$$\Sigma$ ที่ U 1 , ... , ยูพีจะ IID N ( 0 , 1 ) $$Q = \sum_{j=1}^p \lambda_j(u_j + b_j)^2$$ $u_1, \ldots, u_p$$N(0, 1)$

บทที่ 4 ทั้งหมดในหนังสือเล่มนี้อุทิศให้กับการเป็นตัวแทนและการคำนวณความหนาแน่นและฟังก์ชั่นการกระจายซึ่งไม่ได้เป็นเรื่องเล็กน้อย ฉันคุ้นเคยกับหนังสือเพียงผิวเผินเท่านั้น แต่ความประทับใจของฉันก็คือการเป็นตัวแทนทั่วไปในแง่ของการขยายซีรี่ส์ที่ไม่มีที่สิ้นสุด

ดังนั้นในทางหนึ่งคำตอบของคำถามคือใช่การกระจายตัวของปริภูมิแบบยุคลิดแบบสแควร์ระหว่างสองเวกเตอร์ bivariate ปกตินั้นเป็นของคลาส (และศึกษากันดี) การแจกแจงพาราเมาท์โดยพารามิเตอร์ทั้งสี่และข1 , ข2 ∈ R อย่างไรก็ตามฉันค่อนข้างมั่นใจว่าคุณจะไม่พบการแจกจ่ายนี้ในตำรามาตรฐานของคุณ$\lambda_1, \lambda_2 > 0$$b_1, b_2 \in \mathbb{R}$

หมายเหตุยิ่งไปกว่านั้นและbไม่จำเป็นต้องเป็นอิสระ ความปกติของการมีส่วนร่วมก็เพียงพอแล้ว (ซึ่งเป็นไปโดยอัตโนมัติถ้าพวกมันเป็นอิสระและเป็นเรื่องปกติ) จากนั้นความแตกต่างa - bตามการแจกแจงแบบปกติ$a$$b$$a-b$

$\mu_d = \mu_1 - \mu_2$$\Sigma_d = \Sigma_1 + \Sigma_2$ $\Sigma_d = \mathrm{J} \Sigma_{12} \mathrm{J}^T$$\Sigma_{12} = \begin{bmatrix} \Sigma_1 & \\ & \Sigma_2 \end{bmatrix}$$\mathrm{J} = \begin{bmatrix} +\mathrm{I}, & -\mathrm{I} \end{bmatrix}$

ประการที่สองค้นหาการกระจายของความยาวเวกเตอร์ที่ต่างกันหรือระยะทางรัศมีจากจุดกำเนิดซึ่งก็คือฮอยต์ที่กระจายตัว :

รัศมีรอบค่าเฉลี่ยที่แท้จริงในตัวแปรสุ่มปกติที่มีความสัมพันธ์แบบ bivariate กับความแปรปรวนที่ไม่เท่ากันอีกครั้งที่เขียนใหม่ในพิกัดขั้วโลก (รัศมีและมุม) ตามการกระจายฮอยต์ pdf และ cdf ถูกกำหนดในรูปแบบปิดการค้นหารูทแบบตัวเลขจะใช้ในการค้นหา cdf ^ −1 ลดการกระจาย Rayleigh หากความสัมพันธ์เป็น 0 และความแปรปรวนเท่ากัน

การกระจายทั่วไปเกิดขึ้นถ้าคุณยอมให้มีความแตกต่างแบบเอนเอียง (ต้นกำเนิดที่เปลี่ยน) จาก Ballistipedia :

ทำไมไม่ลองทดสอบดูล่ะ?

set.seed(347)
x <- rnorm(10000)
y <- rnorm(10000)
x2 <- rnorm(10000)
y2 <- rnorm(10000)

qdf <- data.frame(x,y,x2,y2)
qdf <- data.frame(qdf,(x-x2)^2+(y-y2)^2)
colnames(qdf)[5] <- "euclid" 

plot(c(x,y),c(x2,y2))
plot(qdf$euclid)
hist(qdf$euclid) 
plot(dentist(qdf$euclid))