เงื่อนไข homoskedasticity เทียบกับ heteroskedasticity

จากเศรษฐมิติโดย Fumio Hayashi (Chpt 1):

ไม่มีเงื่อนไข Homoskedasticity:

• ช่วงเวลาที่สองของข้อผิดพลาด E (εᵢ²) เป็นค่าคงที่ตลอดการสังเกต
• รูปแบบการทำงาน E (εᵢ² | xi) เป็นค่าคงที่ตลอดการสังเกต

เงื่อนไข Homoskedasticity:

• ข้อ จำกัด ที่ช่วงเวลาที่สองของข้อผิดพลาด E (εᵢ²) เป็นค่าคงที่ตลอดการสังเกตถูกยกขึ้น
  • ดังนั้นช่วงเวลาที่สองตามเงื่อนไข E (εᵢ² | xi) สามารถแตกต่างกันในการสังเกตผ่านการพึ่งพาที่เป็นไปได้ในxᵢ

ดังนั้นคำถามของฉัน:

เงื่อนไข Homoskedasticity แตกต่างจาก Heteroskedasticity อย่างไร

ความเข้าใจของฉันคือว่ามี heteroskedasticity เมื่อช่วงเวลาที่สองแตกต่างจากการสังเกต (xᵢ)

ฉันจะเริ่มต้นด้วยการอ้างอิงจากฮายาชิเพื่อช่วยเหลือใครก็ตามที่ต้องการแสดงความคิดเห็น ฉันพยายามรักษารูปแบบและหมายเลขสมการดั้งเดิม

เริ่มต้นคำพูดจากฮายาชิหน้า 126 ตอนที่ 2.6:

เงื่อนไขเทียบกับ Homoskedasticity ไม่มีเงื่อนไข

ข้อสันนิษฐาน homoskedasticity เงื่อนไขคือ:

Assumption 2.7 (เงื่อนไข homoskedasticity): start ข้อสันนิษฐานนี้แสดงถึงช่วงเวลาที่สองที่ไม่มีเงื่อนไขเท่ากับโดยกฎแห่งความคาดหวังทั้งหมด เพื่อให้ชัดเจนเกี่ยวกับความแตกต่างระหว่าง homoskedasticity ที่ไม่มีเงื่อนไขและเงื่อนไขให้พิจารณาตัวอย่างต่อไปนี้ [ตัวอย่าง 2.6 (ข้อผิดพลาด homoskedastic แต่ข้อผิดพลาด heteroskedastic เงื่อนไข) ... ]

$$\begin{align*} \tag{2.6.1} E(\epsilon_i^2|\mathbf{x}_i)=\sigma^2>0. \end{align*}$$ $E(\epsilon_i^2)$$\sigma^2$

จบคำพูด

สมการที่เกี่ยวข้องจากฮายาชิหน้า 11-14 (ส่วน 1.1):

$$\begin{align*} \tag{1.1.12} E(\epsilon_i^2|\mathbf{X})=\sigma^2>0 \quad (i=1,2,\ldots,n) \\\ \tag{1.1.17} E(\epsilon_i^2|\mathbf x_i)=\sigma^2>0 \quad (i=1,2,.\ldots,n). \end{align*}$$

ส่วนย่อย "แบบจำลองการถดถอยแบบคลาสสิกสำหรับตัวอย่างแบบสุ่ม" ในหน้า 12 อธิบายถึงความหมายของตัวอย่างที่เป็นไอดอล การอ้างอิงจากฮายาชิหน้า 12-13: "ความหมายของลักษณะการแจกแจงแบบเดียวกันของตัวอย่างแบบสุ่มคือการกระจายข้อต่อของไม่ขึ้นอยู่กับดังนั้นวินาทีที่ไม่มีเงื่อนไขเป็นค่าคงที่ใน (นี่เรียกว่าhomoskedasticity แบบไม่มีเงื่อนไข ) และรูปแบบการทำงานของโมเมนต์ที่สองที่มีเงื่อนไขนั้นเหมือนกันทั่วอย่างไรก็ตามสมมติฐาน 1.4 --- ราคา$(\epsilon_i,\mathbf x_i)$$i$$E(\epsilon_i^2)$$i$$E(\epsilon_i^2|\mathbf x_i)$$i$ของวินาทีที่มีเงื่อนไขนั้นเหมือนกันข้าม --- ไม่ปฏิบัติตาม ดังนั้นข้อสันนิษฐาน 1.4 ยังคงมีข้อ จำกัด สำหรับกรณีตัวอย่างแบบสุ่ม โดยไม่ได้เงื่อนไขที่สองขณะสามารถแตกต่างกันไปผ่านการพึ่งพาอาศัยกันเป็นไปได้ในวันที่x_i เพื่อเน้นความแตกต่างข้อ จำกัด ของช่วงเวลาที่สองตามเงื่อนไข (1.1.12) และ (1.1.17) จึงเรียกว่าhomoskedasticity แบบมีเงื่อนไข "$i$$E(\epsilon_i^2|\mathbf x_i)$$i$$\mathbf x_i$

[ไม่มีคำพูดใด ๆ จากฮายาชิเพียงความเข้าใจของฉันหลังจากจุดนี้]

ฉันคิดว่าคำถามเดิมเกี่ยวกับการสนทนาข้างต้นในหน้า 12-13 ในกรณีนี้ฉันคิดว่าสัญลักษณ์แสดงหัวข้อย่อยแรกภายใต้ "Condos Homoskedasticity" นั้นไม่ถูกต้องทางเทคนิค (แม้ว่าฉันจะเข้าใจว่าคุณหมายถึงอะไร): Hayashi พูดว่า (1.1.17) คือ "homoskedasticity ตามเงื่อนไข" และถ้าจากนั้นในขณะที่ Hayashi notes ในหน้า 126 (homoskedasticity แบบมีเงื่อนไขนั้นหมายถึง homoskedasticity แบบไม่มีเงื่อนไขตามกฎแห่งความคาดหวังโดยรวม) E ( ϵ 2 i ) = E [ E ( ϵ 2 i | x i ) ] = E [ σ 2 ] = σ $E(\epsilon_i^2|\mathbf x_i)=\sigma^2$$E(\epsilon_i^2)=E[E(\epsilon_i^2|\mathbf x_i)]=E[\sigma^2]=\sigma^2$

ดังนั้นฉันคิดว่าส่วนหนึ่งของปัญหาอาจเป็นการตีความคำแถลงของฮายาชิ homoskedasticity เงื่อนไขว่า (1.1.17) แม้กระทั่งสำหรับการที่แตกต่างกันความแปรปรวนของคือค่าคงที่เดียวกัน 2 homoskedasticity ที่ไม่มีเงื่อนไขคือคำแถลงที่อ่อนแอซึ่งคุณสามารถมีแต่ ; ตัวอย่าง 2.6 (หน้า 127) แสดงสิ่งนี้ มันอาจจะตอบคำถามของการทับซ้อนระหว่าง homo- และ heteroskedasticity: มันเป็นตัวอย่างที่มีความเหมือนกันโดยไม่มีเงื่อนไขเช่นเดียวกับ heteroskedasticity เงื่อนไขϵ i σ 2 E( ϵ 2 i )= σ 2 E( ϵ 2 i | x i )≠ σ $\mathbf x_i$$\epsilon_i$$\sigma^2$$E(\epsilon_i^2)=\sigma^2$$E(\epsilon_i^2|\mathbf x_i)\ne\sigma^2$

นี่เป็นแนวคิดที่สับสนโดยเฉพาะอย่างยิ่งที่ไม่มีประสบการณ์มากกับการคาดหวัง / การแจกแจงแบบมีเงื่อนไข แต่หวังว่านี่จะเพิ่มความชัดเจน (และแหล่งข้อมูลสำหรับการอภิปรายในอนาคต)