กำลังสองของการแจกแจงแบบปกติที่มีความแปรปรวนเฉพาะ

การกระจายของสแควร์ของตัวแปรสุ่มแบบกระจายที่ปกติด้วยคืออะไร ฉันรู้เป็นอาร์กิวเมนต์ที่ถูกต้องสำหรับเมื่อยกกำลังสองการแจกแจงแบบปกติมาตรฐานแต่สิ่งที่เกี่ยวกับกรณีของความแปรปรวนที่ไม่ใช่หน่วย? $X^2$ $X\sim N(0,\sigma^2/4)$
$\chi^2(1)=Z^2$

distributions normal-distribution

— CodeTrek
แหล่งที่มา

ทำไมไม่เพียงแค่คำนวณสิ่งนี้โดยตรงจากสมการปกติจากนั้นจึงวางแผนฟังก์ชั่นผลลัพธ์

ฉันกำลังมองหาคำอธิบายเชิงทฤษฎีที่นี่ ...

— CodeTrek

เขียน ... หรือเท่าZ คุณสามารถทำได้ตอนนี้หรือไม่

Z = \frac{X}{σ / 2}

$Z = \frac{X}{\sigma/2}$

X = \frac{σ}{2} \cdot Z

$X=\frac{\sigma}{2}\cdot Z$

— Glen_b -Reinstate Monica

σ^{2} / 4 * χ^{2} (1)

$\sigma^2/4∗\chi^2(1)$ ? ดังนั้นไม่มีอะไรในสิ่งไคสแควร์ที่ไม่ได้เจียระไนแฟนซี?

— CodeTrek

ตราบใดที่ค่าเฉลี่ยคือจะไม่มีสิ่งไคสแควร์ที่ไม่ใช่ศูนย์กลาง เพียงวานิลลาธรรมดาปรับขนาดกระจาย Glen_b ชี้ให้เห็น

0

$0$

χ^{2}

$\chi^2$

— Dilip Sarwate

เพื่อปิดอันนี้:

X \sim N (0, σ^{2} / 4) \Rightarrow \frac{X^{2}}{σ^{2} / 4} \sim χ_{1}^{2} \Rightarrow X^{2} = \frac{σ^{2}}{4} χ_{1}^{2} = Q \sim Gamma (1 / 2, σ^{2} / 2)

$X\sim N(0,\sigma^2/4) \Rightarrow \frac {X^2}{\sigma^2/4}\sim \mathcal \chi^2_1 \Rightarrow X^2 = \frac {\sigma^2}{4}\mathcal \chi^2_1 = Q\sim \text{Gamma}(1/2, \sigma^2/2)$

กับ

E (Q) = \frac{σ^{2}}{4}, Var (Q) = \frac{σ^{4}}{8}

$E(Q) = \frac {\sigma^2}{4},\;\; \text{Var}(Q) = \frac {\sigma^4}{8}$

— Alecos Papadopoulos
แหล่งที่มา

นี่เป็นสิ่งที่ผิด ถ้าแล้วแต่ไม่ได้2} คุณกำลังหารด้วยปัจจัยที่ผิด ดูที่นี่: en.wikipedia.org/wiki/…

X \sim N (μ, σ^{2})

$X\sim N(\mu, \sigma^2)$

\frac{X - μ}{σ} \sim χ_{1}^{2}

$\frac{X - \mu}{\sigma}\sim \chi_1^2$

\frac{X - μ}{σ^{2}}

$\frac{X-\mu}{\sigma^2}$

X

$X$

— Euler_Salter

@Euler_Salter คุณเคยดูว่าตัวแปรถูกกำหนดในคำถามของ OP ไหม?

X

$X$

— Alecos Papadopoulos

โอ้ฉันคิดถึงสิ่งนั้น! อ่านเร็วเกินไป! ขอโทษ

— Euler_Salter

@Euler_Salter นอกจากนี้ตัวแปรได้มาตรฐานดังต่อไปนี้ไคกระจายen.wikipedia.org/wiki/Chi_distribution คุณต้องยกกำลังสองมันเพื่อรับไคสแควร์

— Alecos Papadopoulos